均值不等式

精选优质文档-倾情为你奉上均值不等式归纳总结1. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）5.若，则（当且仅当时取“=”） (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx解题技巧技巧一：凑项例. 已知，求函数的最大值。 技巧二：凑系数例. 当时，求的最大值。变式：设，求函数的最大值。技巧三： 分离（或换元）例. 求的值域。技巧四：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。例：求函数的值域。练习1求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1） （2） (3)2 已知，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是 .变式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2.已知，且，求的最小值。变式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧六已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.下面将x，分别看成两个因式：技巧七：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式。变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧八.取平方1、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.变式: 求函数的最大值。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数，求证：1） 正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc2） 已知a、b、c，且。求证：应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .专心-专注-专业