考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：(18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)(1)下列反常积分中收敛的是+m1Jr+5加了(A)L(B)一；f+rn1.r4-coX(C)(D).【答案】D【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。s&x=2占寅=+；r+ociblXr+,1*J；7dx=与出斓(比幻=|工二十8；白0吟=1口。*=+8；：8天加x-xe-J|+2+7Xdx-2_wTr二3e-2因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是Do【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分(2)函数/)=lim(1+)在(-8,+oo)内(A)连续(B)有可去间断点（C）有跳跃间断点(D)有无穷间断点【解析I这是“型极限，直接有= fl + t-o .X*宝）在犬=0处无定义,m理xhm =c，kM0)lim f(x) liin 砂=1,所以x =。是fg的可去间断点，选 Bo综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一函数、极限、连续一两个重要极限xacos产0,x 0*.与主0（口0/。）.若f（X）在# = 0处连续，则(A) 一(B)(C)(D)0a - p1,0,HE。f；(0)=lim=limx,T-1cos再有f-(0)=0竹0）存在061,此时内0）=0.lirncos,M-0limp%int。因此，r（M）在K=o连续oa01。选A综上所述，本题正确答案是C。（A）,（B）（C）（D）【答案】C【解析】f（均在（-8,+8）内连续，除点发外处处二阶可导。y=/G）的可疑拐点是（玲=o的点及不存在的点。的零点有两个，如上图所示，a点两侧roo恒正，对应的点不是y=/5）拐点，b点两侧r”a）异号，对应的点就是y=r（幻的拐点。虽然广（）不存在，但点父二0两侧/异号，因而（。（。）是y=f（K）的拐点。综上所述，本题正确答案是Co【考点】高等数学一函数、极限、连续一函数单调性，曲线的凹凸性和拐点（5）设函数寅内）满足/G+必）=尤2-广则他4:；与而依次是11（A）1（B）1 1(C)-1(D)1【答案】D【解析】先求出.厂x+y,x=U2向2U2(l-v)2于是I11因此11:叫2121而Ik广-存口1)二一综上所述，本题正确答案是Do【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2盯二lxy=1与直线=声围成的平面区域，函数寅可)在/nf(y)dxdy=D上连续，则口Ffi:1(A)(B)f(rcos6,rsin0)rdr4Zsui20fl1yf(rcos日sinG)rdriJZsiri29(C)fl (res Gxsin 9)dr42in26ifl1(D)所产f(rcosH,rsinG)dr5姬tin加【解析】D是第一象限中由曲线=l，4xy=1与直线y二凡y二邪围成的平面区域，作极坐标变换，将小)”的化为累次积分。D的极坐标表示为因此fl1JJr)f(KFy)dxdy-f(rcos6,rsinG)rdr4Jsln29综上所述，本题正确答案是Bo【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。1111r1I12cid设矩阵A=4，b=d,。若集合口二L,则线性方程Ax=b有无穷多解的充分必要条件为(B)(C)；： 二 d二，(D)(A)-【答案】D【解析】rIAl是一个范德蒙德行列式，值为aD(3-2)，如果a叫则1A|注0,A)=3,此时Z=b有唯一解，排除(a),(b)类似的，若d至。，则r(A|b)=3,排除当L0时式A|b)=r(A)=2Ax=h有无穷多解综上所述，本题正确答案是Do【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。(8)设二次型乂小讨3)在正交变换二产下的标准形为+y?-白上，其中P=(2),若Q=eL_/声）在正交变换发二Qf下的标准形为(A)：一./(B)2y/ + y22 - ya2(C)：:(D)2yi2 + yz2 + V32【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,则200PAP=PJAP=01000-1可见El及声3都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1,于是-（也是A的特征向量，特征值为-1,因此200QrAQ=QTj4Q=0-10OOIA因此在正交变换发二Qy下的标准二次型为2ylM-yj+yj综上所述，本题正确答案是Ao【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。二、填空题：（9T4）小题，每小题4分，共24分。(x=acrtant,史(9)设y=31十科贝UZI.【解析】由参数式求导法=3(1+t2)再由复合函数求导法则得力-|=II22以-48=12Ml+t2r,壮炉一综上所述，本题正确答案是48。【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导(10)函数fW=X。在X=。处的n阶导数f(n)(o)=答案.，；.【解析】解法1用求函数乘积的质阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式*例=屋以丘严圻其中扇=焉%.注意(.儿=0=0/手2)，服二型,于是fCn)(0)=-2-(22)1_=n(n-l)(ln2)n-2(n2)1Xu/(O)=0因此./.I.解法2利用泰勒展开I,V时2n+2R00出“_m八一京二厂而中irf*-2z由于泰勒展开系数的唯一性，得可得-1综上所述，本题正确答案是:I-【考点】高等数学一一元函数微分学一高阶导数，泰勒展开公式(11)设函数f(均连续，用=/；犷。)仇.若甲=1,中(1)=5,则f(l)=【答案】2【解析】改写卬=工4,由变限积分求导法得0,D是由曲线段歹=乩配乳()工0。及直线=03=3所围成的平面区域，?分别表示D绕算轴与绕丁轴旋转所成旋转体的体积。若二炉J求A的值【解析】r-勺)一cos2jeh2A2V-nJAsinx1江同上2d工由A0可得Vz=2ir/1x-AsinxdxK-2nAJ拉dcosx=；一.：5，:,)=二-二又修二叱可得a=【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的应用(17)已知函数/(爸y)满足fxy(x.y)=2(y+1)巴匕8。)=0+1=yz+2y求fa，)的极值。【解析】由f；yy)=z(y+i),得fr(xfy)=(y+1)%+平又已知f；50)=俗+1)”可得ex+(p(x)=(二+l)e得双口二二/，从而f；a9)=(y+l)zex-xex对工积分得g)=+1户屋+(，-1)/+叭V)又八0y)=y*+药,所以W(y)=。所以1-于是：,.,令匕（工）=0,fy（y）=。得驻点（0,-1）,所以A=0,所以极小值为八一I）=-1【考点】高等数学一多元函数微分学一二元函数的无条件极值（18）计算二重积分0/（%+y）d的，其中D=.二,【解析】因为区域D关于y轴对称,所以儿产期切=0原式=产一九），；7二白=-2J2J2-x2dx-2_f；%工一令支=4心叫则1=i:-；,=.，二；“一=心又TT2所以二重积分=一【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分的计算（19）已知函数1口）=C+*由+睚求寅制的零点个数【解析】fw+271+#1令f(x)=0,得驻点X=；,1当时，f3)HU,f。)单调减少；1当q时,f(x)0,f(M)单调增加；1因为箕1)=。，所以式划在G+8)上存在唯一零点。limf(x)=+1又0.解得T=Ce-kt+20将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100/nlO将:.htlCT=Me20令T=21,得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30(min)【考点】高等数学一常微分方程一一阶常微分方程，微分方程应用（21）已知函数f。）在区间国十网上具有2阶导数，0/30.设匕曲线y二”工）在点（瓦fS）处的切线与x轴的交点是（*2口）,证明【解析】曲线y=t,a）在点JS）处的切线方程是,解得切线与工轴交点的横坐标为f（b）xq=b-fW由于/5）0,故fQ）单调增加。由b口可知/g）=0.又/而A0,故篇0,即有劭方*。一&=b-南5=一病一由拉格朗日中值定理得fW=（b）-f（a）=/俗-aaEb因为广（幻）。，所以/（外单调增加，从而（力人”故f（b）/而（b-a）由此可知须一即综上所述，【考点】高等数学一一元函数微分学一微分中值定理a10,（22）设矩阵,=:;J,且月LH求口的值;(2)若矩阵X满足X-T42-内乂+丹犬总工=营，其中E为三阶单位矩阵，求X【解析】(1)由于总3=0,所以4110A=1口-1=a3=001a(2)由于X工-用4十月*由2=E所以1,由(1)知E-A-1 0111 A2-1 100101(1-102因为E-AE-均可逆，所以X=(E-AyE-Ay1-nrzo101010lr111-21【考点】线性代数一矩阵一矩阵方程相似与矩阵二(101d-0_1(23)设矩阵A=i(1)求的值;(2)求可逆矩阵P,使ZMP1为对角矩阵。【解析】(1)由于矩阵用与矩阵B相似，所以trA=trBfA=B于是：:,解得102-311-20(2)由知矩阵,=-JJ?/,ff=QI;由于矩阵用与矩阵。相似，所以E-A=|A-F|=(A-1)2(A-5)故力的特征值为无二七二L加二5.当箝二入1,解方程组二口，得线性无关的特征向量2、1，七0d当心二.解方程组5(E-月口=0,得特征向量ioo,令9f01100PAP-1=010005,故P为所求可逆矩阵。【考点】线性代数一矩阵的特征值与特征向量一矩阵的相似对角化