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2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则集合（ ）A B C D【答案】D【解析】2.设复数z满足，则（ ）A B C D【答案】A【解析】3.已知，则（ ）A B C D【答案】C【解析】4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则 B若，则C若，则 D若，则【答案】B【解析】5.设是非零向量，已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）A B C D【答案】A【解析】命题p为假，命题q为真，所以A正确。选A6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120 C72 D24【答案】D【解析】7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】8.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）A B C D【答案】C【解析】9.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间上单调递减 B在区间上单调递增C在区间上单调递减 D在区间上单调递增【答案】B【解析】10.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）A B C D【答案】D【解析】11.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】12.已知定义在上的函数满足：；对所有，且，有.若对所有，则k的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入，则输出 . 【答案】【解析】14.正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .【答案】【解析】15.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 . 【答案】12【解析】16.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .【答案】-2【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】 （1） （2） 【解析】（1）（2）18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.【答案】 （1） 0.108 （2） 1.8,0.72【解析】（1）（2）X0123P0.0640.2880.4320.21619. （本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】 （1） 省略（2） 【解析】（1）（2）20. （本小题满分12分）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程【答案】 （1） （2） 【解析】（1）（2）.21. （本小题满分12分）已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2） 存在唯一，使，且对（1）中的.【解析】（1）（2）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED.【答案】 【解析】（1）(2)23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.
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