数学第五章 数列 第6讲 直接证明与间接证明配套 理

第6讲直接证明与间接证明考纲要求考点分布考情风向标1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点2015年新课标第24题不等式的有关证明；2015年新课标第17题考查数列的有关证明；2016年上海考查演绎推理在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的1.直接证明(1)综合法.定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)(2)分析法.定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2.间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.1.下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5解析：由分析法、综合法、反证法的定义知都正确.D2.用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于 60”时，应假设()BA.三个内角都不大于 60B.三个内角都大于 60C.三个内角中至多有一个大于 60D.三个内角中至多有两个大于 60B3.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcac.其证明过程如下：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.又a，b，c不全相等，2(a2b2c2)2(abbcac).a2b2c2abbcac.此证法是( ) A.分析法 B.综合法C.反证法 D.分析法与综合法并用A.分析法C.间接证法B.综合法D.分析法与综合法并用A考点 1 综合法【互动探究】1.在锐角三角形 ABC 中，求证：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.考点 2 分析法只需证c2a2acb2.又ABC的三个内角A，B，C成等差数列，故B60.由余弦定理，得b2c2a22accos 60.即b2c2a2ac.故c2a2acb2成立.于是原等式成立.【互动探究】考点 3 反证法例3：若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形C.A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形解析：由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形.【规律方法】反证法主要适用于以下两种情形：要证的条件和结论之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面出发，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少几种情形.这与三角形内角和为180相矛盾.所以假设不成立，又显然A2B2C2不是直角三角形.所以A2B2C2是钝角三角形.答案：D【互动探究】3.已知 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，对命题“若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”.(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.证明：(1)逆命题：已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0.(用反证法证明)假设 ab0，则有 ab，ba.f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a).f(a)f(b)f(a)f(b)，这与题设中 f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立.从而 ab0 成立.逆命题为真.(2)逆否命题：已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0.原命题为真，证明如下：ab0，ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a).f(a)f(b)f(b)f(a)f(a)f(b).原命题为真命题.其逆否命题也为真命题.难点突破 信息给予题答案：D【互动探究】A.B.C.D.解析：方法一，利用等比数列定义，设数列an的公比为 q.答案：C