全国高中数学联赛试题及解析 苏教版12

1992年全国高中数学联赛试卷第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=03设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=(Si)/S，则一定满足( ) (A)24 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.54在ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x4)的根，则ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)126设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数二、填空题(每小题5分共30分)1设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，成等差数列，则+的值是_2在区间0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是_3从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_4设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg()3的值是_5设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+L+a100的值是_6函数f(x)= 的最大值是_三、(20分)求证：161) 2.用数学归纳法证明： fn(x)= 第二试一、(35分) 设A1A2A3A4为O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置 二、(35分) 设集合Sn=1,2,L,n若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集 1求证Sn的奇子集与偶子集个数相等 2求证：当n3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3当n3时，求Sn的所有奇子集的容量之和三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|2,|yi|2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三点不在同一条直线上试证：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于21992年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解：y=(n+1)x1)(nx1)， |AnBn|=，于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=，选B2已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0解：(x-)=0表示y轴右边的半圆，(y+)=0表示x轴下方的半圆，故选D3设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=(Si)/S，则一定满足( ) (A)24 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.5解： Si4S，故Si4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，Si接近2S，故选A4在ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x4)的根，则ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形解：x2=4x4根为x=2 C=2A，B=1803A，sinB=2sinAsin3A=2sinA，34sin2A=2A=30，C=60，B=90选B 5设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12解：=cosisin |z2|=8，z1、z2的夹角=60S=48=8选A6设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数解：f(20x)=f10+(10x)=f10(10x)=f(x)=f(20+x) f(40+x)=f20+(20+x)=f(20+x)=f(x) 是周期函数； f(x)=f(40x)=f(20+(20x)=f(20(20x)=f(x) 是奇函数选C二、填空题(每小题5分共30分)1设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，成等差数列，则+的值是_ 解：16y2=15xz，y=，164x2z2=15xz(x+z)2由xz0，得=，+=2在区间0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是 解：7x=5x+2k，或7x=5x+2k，(kZ)x=k，x=k (kZ)，共有7解3从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是 解：正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线(如图)，故所求k的最大值=44设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg()3的值是_解：cosOZ1Z3=即OZ1Z3=120， arg()=或 arg()3=5设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+L+a100的值是_.解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，相减，得anan+1an+2(a4an)=an+4an，由anan+1an+21，得an+4=an又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4 a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=2006函数f(x)= 的最大值是_解：f(x)= ，表示点(x，x2)与点A(3，2)的距离及B(0，1)距离差的最大值由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于|AB|=即所求最小值为三、(20分)求证：1617证明：=2()于是得2()1+2()即 161+2(1)1) 2.用数学归纳法证明： fn(x)=证明： 由yfn(x)-fn1(x)= =fn+1(x)故证 f1(x)= x+，f2(x)=x2+1+x2=(x+)21=y21故命题对n=1，2 成立设对于nm(m2，m为正整数)，命题成立，现证命题对于n=m+1成立1 若m为偶数，则m+1为奇数由归纳假设知，对于n=m及n=m1，有fm(x)= ymCym2+C ym4+(1)iCym2i+(1)Cy fm1(x)= ym1Cym3+(1)i1Cym+12i+(1)Cy yfm(x)fm1(x)=ym+1+(1)i(C+C)ym+12i+(1)(C+C)y = ym+1Cym1+(1)iCym+12i+(1)Cy即命题对n=m+1成立2若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设知，对于n=m及n=m1，有fm(x)= ym1Cym2+(1)iCym2i+(1)C y fm1(x)= ym1Cym3+(1)i1Cym+12i+(1)C 用y乘减去，同上合并，并注意最后一项常数项为(1)C=(1)C=(1)于是得到yfm(x)fm1(x)=ym+1Cm1ym1+(1)，即仍有对于n=m+1，命题成立综上所述，知对于一切正整数n，命题成立第二试一、(35分) 设A1A2A3A4为O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置 证明：连A2H1，A1H2，取A3A4的中点M，连OM，由上证知A2H1OM，A2H1=2OM，A1H2OM， A1H2=2OM，从而H1H2A1A2是平行四边形，故H1H2A1A2 ，H1H2=A1A2同理可知，H2H3A2A3，H2H3=A2A3； H3H4A3A4，H3H4=A3A4； H4H1A4A1，H4H1=A4A1故 四边形A1A2A3A4四边形H1H2H3H4由四边形A1A2A3A4有外接圆知，四边形H1H2H3H4也有外接圆取H3H4的中点M1，作M1O1H3H4，且M1O1=MO，则点O1即为四边形H1H2H3H4的外接圆圆心又证：以O为坐标原点，O的半径为长度单位建立直角坐标系，设OA1、OA2、OA3、OA4与OX正方向所成的角分别为、d，则点A1、A2、A3、A4的坐标依次是(cos，sin)、(cos，sin)、(cos，sin)、(cosd，sind)显然，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的外心都是点O，而它们的重心依次是(cos+cos+cosd)，(sin+sin+sind)、(cos+cosd+cos)，(sin+sind+sin)、(cosd+cos+cos)，(sind+sin+sin)、(cos+cos+cos)，(sin+sin+sin)从而，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心依次是H1(cos+cos+cosd， sin+sin+sind)、H 2 (cos+cosd+cos，sin+sind+sin)、H 3 (cosd+cos+cos，sind+sin+sin)、H 4 (cos+cos+cos，sin+sin+sin)而H1、H2、H3、H4点与点O1(cos+cos+cos+cosd，sin+sin+sin+sind)的距离都等于1，即H1、H2、H3、H4四点在以O1为圆心，1为半径的圆上证毕二、(35分)设集合Sn=1,2,L,n若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集 1求证Sn的奇子集与偶子集个数相等 2求证：当n3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3当n3时，求Sn的所有奇子集的容量之和证明： 对于Sn的每个奇子集A，当1A时，取B=A1，当1A时，取B=A1，则B为Sn的偶子集.反之，若B为Sn的偶子集，当1B时，取A=B1，当1B时，取A=B1，于是在Sn的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，故Sn的奇子集与偶子集的个数相等. 对于任一iSn，i1，含i的Sn的子集共有2n-1个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而每个数i，在奇子集的和与偶子集的和中，i所占的个数是一样的.而对于元素1，只要把Sn的所有子集按是否含有3配对(即在上证中把1换成3来证)，于是也可知1Sn的所有奇子集的容量的和，与所有偶子集的容量的和相等. 由于每个元素在奇子集中都出现2n-2次，故奇子集的容量和=(1+2+3+n)2n-2=n(n+1)2n-3三、(35分) 在平面直角坐标系中，任取6个格点Pi(xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)满足： |xi|2，|yi|2(i=1，2，3，4，5，6)； 任何三点不在一条直线上试证明：在以Pi(i=1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形的面积不大于2证明 如图，满足条件的格点只能是图中A、B、Y这25个格点中的6个把这25个格点分成三个矩形：矩形AEFJ、KOWU、MNYX若所取的6个点中有三个点在上述三个矩形中的某一个中，则此三点即满足要求若三个矩形中均无所取6点中的3点，则必是每个矩形中有所取的2个点 若E、F、D、G、O、R、W中有所取的点，则此点与矩形MNYX中的两点满足要求； 若上述7点均未取，则A、B、C、H、I、J中必有两点，此时若L、K中有所取的点，则亦有三点满足要求； 若L、K亦未取，则必在P、Q、V、U中取了2点，矩形ACHJ中取了2点：此时取P、Q两点，或Q、V两点，或V、U两点，或U、P两点，或Q、U两点，则无论ACHJ中取任一点，与之组成三角形面积均满足要求若取P、V两点，则矩形ACHJ中必有一点异于C，取此点与P、V满足要求综上可知，必有满足要求的3点存在