全国高中数学联赛试题及解析 苏教版5

1985年全国高中数学联赛试题第一试1选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) 假定有两个命题： 甲：a是大于0的实数；乙：ab且a1b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要条件 B甲是乙的必要而不充分条件 C甲是乙的充分必要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 PQ为经过抛物线y2=2px焦点的任一弦，MN为PQ在准线l上的射影，PQ绕l一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面积为S2，则下面结论中，正确的是( ) AS1S2 BS1S2，有时S1=S2，有时S1S2 已知方程arccosarccos()=arcsinx，则( ) Ax= Bx= Cx=0 D这样的x不存在 在下面四个图形中，已知有一个是方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(m0，n0)在同一坐标系中的示意图，它应是( ) 设Z、W、为复数，|1，关于Z的方程Z=W有下面四个结论：Z=是这个方程的解； 这个方程只有一解；这个方程有两解； 这个方程有无穷多解则( ) A只有、正确 B只有、正确 C只有、正确 D以上A、B、C都不正确 设0ab且a1b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要条件 B甲是乙的必要而不充分条件 C甲是乙的充分必要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：由于ab且a1b1成立时，必有a0，bS2 BS1S2，有时S1=S2，有时S1S2解：设PQ与x轴夹角=，|PF|=1，|QF|=2，则|PM|=1，|QN|=2则S1=(PM+QN)PQ=(1+2)2，S2=|MN|2=(1+2)2sin2 S1S2，当且仅当=90时等号成立选C 已知方程arccosarccos()=arcsinx，则( ) Ax= Bx= Cx=0 D这样的x不存在 解：即arcsinx=2 arccos设arccos=，则cos=，sin= sin2=2sincos=即2为锐角2故选D 在下面四个图形中，已知有一个是方程与 (m0，n0)在同一坐标系中的示意图，它应是( )解：由y2=x，若m、n均为正数，则此抛物线开口向左，且mx2+ny2=1表示椭圆，mn，|1故否定B、D 若m、n符号相反，则抛物线开口向右且mx+ny2=0图形是双曲线，m0，m=n故选A 设Z、W、为复数，|1，关于Z的方程Z=W有下面四个结论：Z=是这个方程的解； 这个方程只有一解；这个方程有两解； 这个方程有无穷多解则( ) A只有、正确 B只有、正确 C只有、正确 D以上A、B、C都不正确 解：原式两端取共轭：Z=，乘以再取共轭：|l|2Z=W，相加，由|l|1，得方程有唯一解Z=选A 设0a1，若x1=a，x2=a，x3=a，xn=a，则数列xn( ) A是递增的 B是递减的 C奇数项递增，偶数项递减 D偶数项递增，奇数项递减 解：作y=ax的图象，在图象上取点x1，x2，x3，x4，由0a1，知x1x3a，得BAA=BA，B=2A，C=4A或A+BA=(不可能) B= 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非负整数解共有 组解：x1=1时，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1，共有9解；x1=0时，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3，共有9+A+C=9+72+84=165解 共有174解 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 解：把这些数mod 11得1，4，3，1，5，3，1，3，3，1依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1其中相等的和有7对(3对1，3对2，1对5)，这表示原数列中共有7组相邻数之和能被11整除 对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数都有x*d=x，则d= 解：ax+bd+cxd=x取x=0，代入得，bd=0，但d0，故b=0a+2b+2c=3，2a+3b+6c=4a=5，c=1取x=1代入，得d=4经验算：x*y=5xxy，对于一切x，有x*4=5x4x=x成立故d=4第二试(本试共有4题，每题满分15分)1在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数OA与x轴正方向的夹角大于45，OB与x轴正方向的夹角小于45，B在x轴上的射影为B，A在y轴上的射影为A，OBB的面积比OAA的面积大33.5，由x1，y1，x2，y2组成的四位数=x1103+x2102+y210+y1试求出所有这样的四位数，并写出求解过程解：x2y2x1y1=67x1y2且x1，y1，x2，y2都是不超过10的正整数 x2y267， x2y2=72或81但x2y2，故x2y2=91舍去 x2y2=72x2=9，y2=8 x1y1=7267=5x1=1，y1=5， =19852如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1FFA=12求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角解：设AB=1，则BE=，A1F=，故B1E=，B1F=，EF= S=而B1EF在平面A1C1上的射影面积= cos=，即所求角=arc cos又解：设平面B1EF与平面AD1交于FG，(G在AD上)，则由平面AD1平面BC1，得FGB1E于是，延长GF、D1A1交于P，则P为截面与平面A1C1的公共点，故PB1为所求二面角的棱AG=A1H=，A1P=，PB1=作GHA1D1于H，则GH平面A1C1作HKPB1，连GK则GKH为所求二面角的平面角 HKPB1=A1B1HP HK=，tanGKH=即所求角=arc tan3某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论证明：用32个点表示这32个队，如果某两队比赛了一场，则在表示这两个队的点间连一条线否则就不连线由于，这些队比赛场次最多30场，最少0场，共有31种情况，现除A城甲队外还有31个队，这31个队比赛场次互不相同，故这31个队比赛的场次恰好从0到30都有就在表示每个队的点旁注上这队的比赛场次考虑比赛场次为30的队，这个队除自己与同城的队外，与不同城有队都进行了比赛，于是，它只可能与比赛0场的队同城；再考虑比赛29场的队，这个队除与同城队及比赛0场、1场(只赛1场的队已经与比赛30场的队赛过1场，故不再与其它队比赛)的队不比赛外，与其余各队都比赛，故它与比赛1场的队同城；依次类推，知比赛k场的队与比赛30k场的队同城，这样，把各城都配对后，只有比赛15场的队没有与其余的队同城，故比赛15场的队就是A城乙队即A城乙队比赛了15场4平面上任给5个点，以表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：2sin54 证明 若此五点中有三点共线，例如A、B、C三点共线，不妨设B在A、C之间，则AB与BC必有一较大者不妨设ABBC则22sin54 设此五点中无三点共线的情况 若此五点的凸包为正五边形则其五个内角都=108五点的连线只有两种长度：正五边形的边长与对角线，而此对角线与边长之比为2sin54 若此五点的凸包为凸五边形则其五个内角中至少有一个内角108设EAB108，且EAAB，则AEB36，= =2cosE2cos36=2sin54 若此五点的凸包为凸四边形ABCD，点E在其内部，连AC，设点E在ABC内部，则AEB、BEC、CEA中至少有一个角120108，由上证可知，结论成立 若此五点的凸包为三角形ABC，则形内有两点D、E，则ADB、BDC、CDA中必有一个角120，结论成立综上可知，结论成立