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二一年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题后的括号内每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分1已知a为给定的实数，那么集合M=x| x2-3x-a2+2=0，xR的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定【答】（C）【解】方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式=1+4a20，方程有两个不相等的实数根由M有2个元素，得集合M有22=4个子集2 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; 命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 （A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个 【答】（B）【解】只有命题1对 3在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|【答】（D）【解】y=sin|x|不是周期函数y=cos|x|=cosx以2为周期y=|ctgx|在（0，）上单调递减只有y=lg|sinx|满足全部条件4如果满足ABC=60，AC=12， BC=k的ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A） k= （B）0k12 （C） k12 （D） 0k12或k= 【答】（D） 【解】根据题设，ABC共有两类如图 易得k=或024,4x+5yx+3y=a24,4x+5y=b3y 也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上7椭圆的短轴长等于【解】 故从而8若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，则z1z2=【解】由3z1-2z2=可得本题也可设三角形式进行运算9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是【解】作正方体的截面BB1D1D，则A1C1面BB1D1D设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OHBD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=10. 不等式的解集为【解】 等价于或 即或此时或或解为x 4或0x1 或 1x即解集为11函数的值域为【解】两边平方得，从而且由或任取，令，易知，于是且任取，同样令，易知，于是且因此，所求函数的值域为12 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案【解】考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4333=108种方法考虑A、C、E种二种植物，此时共有343322=432种方法考虑A、C、E种三种植物，此时共有P43222=192种方法故总计有108+432+192=732种方法三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13设an为等差数列，bn为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1a2） ，又试求an的首项与公差【解】设所求公差为d，a10由此得a12(a1+2d)2=(a1+d)4化简得2a12+4a1d+d2=0解得d=() a1.5分而0，故a10若d=() a1，则； 若d=()a1，则；10分但存在，故|q|1于是不可能从而所以a1=，d=() a1=()()=20分14设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P 求实数m的取值范围（用a表示）； O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a时，试求OAP的面积的最大值（用a表示）【解】 由消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0 设f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2，问题转化为方程在x(-a，a)上有唯一解或等根只须讨论以下三种情况：1 =0得 m=此时 xp= -a2，当且仅当-a-a2a，即0a1时适合；2 f(a)f(-a)0当且仅当ama；3 f(-a)=0得m=a此时 xp=a-2a2，当且仅当-a a-2a2a，即0a1时适合f(a)=0得m=-a，此时 xp=-a-2a2，由于-a-2a2-a，从而m-a综上可知，当0a1时，m=或-ama； 当a1时，-ama.10分【解】 OAP的面积S=ayp0a，故-a0，从而取值最大，此时yp=2，S=a当m=时，xp=-a2，yp=，此时S=a下面比较a与a的大小：令a=a，得a=.故当0a时 , 此时Smax= 当aa2a3a4a5a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论 【解】 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG当Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小5分证明如下1设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1R2R1R3R22设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：R3R4R1R2显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个3设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：若记，则S1、S2为定值于是只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4R3，R3R2，R3R1，即得总电阻的阻值最小15分4对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替要使RFG最小，由3必需使R6R5；且由1，应使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5 R4，且应使RCD最小E而由3，要使RCD最小，应使R4 R3 R2且R4 R3 R1G这就说明，要证结论成立20分图3R1AR2R4R6R3R5BCDFGE二一年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次一如图，ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M， FD和AC交于点N求证：（1）OBDF，OCDE（2）OHMN【证明】（1）A，C，D，F四点共圆，BDF=BAC又OBC=(180-BOC)=90-BAC，OBDF同理OCDE10分（2） CFMA，MC 2-MH 2=AC 2-AH 2BENA，NB 2-NH 2=AB 2-AH 2DABC，BD 2-CD 2=BA 2-AC 2OBDF，BN 2-BD 2=ON 2-OD 2OCDE，CM 2-CD 2=OM 2-OD 230分-+-，得NH 2-MH 2=ON 2-OM 2MO 2-MH 2=NO 2-NH 2所以OHMN50分二设（i=1，2，n），且，求的最大值与最小值【解】先求最小值，因为1，等号成立当且仅当存在i使得 xi =1，xj =0，ji的最小值为110分再求最大值，令，设M =令则30分令an+1=0，则M=由柯西不等式得M等号成立（k=1，2，n）由于，从而，即所求最大值为50分三将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形每个正方形的边均平行于矩形的相应边试求这些正方形边长之和的最小值【解】记所求最小值为f（m，n），可以证明f（m，n）=m+n-(m，n) (*)其中(m，n)表示m和n的最大公约数10分事实上，不妨设mn(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为m+n-(m，n)当m=1时,命题显然成立 假设当mk时，结论成立（k1）当m=k+1时，若n= k+1，则命题显然成立若n k+1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D（如图），由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m-n+n-(m-n，n)= m-(m，n).于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为m+n- (m，n)20分(2)关于m归纳可以证明(*)成立当m=1时,由于n=1，显然f (m，n)=1= m+n- (m，n)假设当mk时，对任意1nm有f (m，n)= m+n- (m，n)若m=k+1，当n= k+1时显然f（m，n）= k+1= m+n- (m，n)当1nk时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为a1，a2，ap，不妨设a1a2ap显然a1=n或a1n若a1 m+n- (m，n)若a1=n，则一个边长分别为m-n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，ap的正方形，由归纳假设a2+apm-n+n-(m-n，n)= m- (m，n)从而a1+a2+apm+n-(m，n)于是当m=k+1时，f（m，n）m+n- (m，n)再由(1)可知f (m，n)=m+n- (m，n)50分
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