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第第2 2讲基本初等函数、函数与方程讲基本初等函数、函数与方程考情分析考情分析总纲目录考点一 基本初等函数的图象与性质考点二 函数的零点考点三 函数的实际应用考点一 基本初等函数的图象与性质1.指数与对数式的七个运算公式(1)aman=am+n;(2)(am)n=amn;(3)loga(MN)=logaM+logaN;(4)loga=logaM-logaN;(5)logaMn=nlogaM;(6)=N;(7)logaN=.(a0且a1,b0且b1,M0,N0)MNlogaNaloglogbbNa2.指数函数与对数函数的增减性指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)的增减性分0a1两种情况,当a1时,在定义域内都为增函数,当0a1时,在定义域内都为减函数.典型例题典型例题(1)(2017课标全国,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称(2)(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.bac C.cba D.cab21log5答案答案(1)C(2)C解析解析(1)函数f(x)=ln x+ln(2-x)=lnx(2-x),其中0 xlog24.1220.8,且y=f(x)在R上为增函数,f(log25)f(log24.1)f(20.8),即abc,故选C.方法归纳方法归纳研究指数、对数函数图象应注意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.(2)研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.跟踪集训跟踪集训1.(2016课标全国,8,5分)若ab0,0c1,则()A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb 答案答案 B0cb1时,logaclogbc,A项错误;0cb0,logcalogcb,B项正确;0cb0,acbc,C项错误;0cb0,ca0可得x4或x0,且a1)的反函数的图象经过点.若函数g(x)的定义域为R,当x-2,2时,有g(x)=f(x),且函数g(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是()A.g()g(3)g() B.g()g()g(3)C.g()g(3)g() D.g()g()0,且a1)的反函数的图象经过点,=,a=,g(x+2)是偶函数,g(-x+2)=g(x+2),g(3)=g(1),g()=g(4-),4-1g(1)g(),即g()g(3)0,且a1).当2a3b4时,函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN*,则n=()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2017课标全国,12,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.- B. C. D.1121312答案答案(1)B(2)C解析解析(1)2a3b4,f(1)=loga1+1-b=1-b0,f(2)=loga2+2-b1,-13-b0,即f(2)f(3)200,则lg130(1+12%)n-1lg 200,lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2,2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n,又nN*,n5,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.(2)设年利润为L(x)万元.每件产品的售价为0.05万元,x千件产品的245答案答案(1)B(2)1 000销售额为0.051 000 x=50 x万元.当0 x80时,年利润L(x)=50 x-x2-10 x-250=-x2+40 x-250=-(x-60)2+950,当x=60时,L(x)取得最大值,且最大值为L(60)=950;当x80时,L(x)=50 x-51x-+1 450-250=1 200-1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值1 000,由于9501 000,当产量为100千件时,该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大,最大年利润为1 000万元.13131310 000 x10 000 xx10 000 xx10 000 x方法归纳方法归纳解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参数变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解.跟踪集训跟踪集训1.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有某型号电脑6台,乙分公司现有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元.从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.若总运费不超过1 000元,则调运方案的种数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案答案 C设总运费为y元,甲地调运x台电脑至B地,则剩下(6-x)台电脑调运至A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,调运12-(8-x)=(x+4)台电脑(0 x6,xN)至A地.则总运费y=30 x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20 x+960,y=20 x+960(0 x6,xN).若y1 000,则20 x+9601 000,得x2.又0 x6,xN.0 x2,xN.x=0,1,2,即有3种调运方案.2.(2017湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P=P0e-kt.如果在前5小时消除了10%的污染物,那么污染物减少19%需要花费的时间为 小时.答案答案10解析解析前5小时污染物消除了10%,此时污染物剩下90%,即t=5时,P=0.9P0,则(e-k)5=0.9,e-k=0.,P=P0e-kt=P0(0.)t.当污染物减少19%时,污染物剩下81%,此时P=0.81P0,代入得0.81=(0.)t,解得t=10,即需要花费10小时.50.91591591591.函数y=的定义域为()A. B.C.(1,+) D.(1,+)0.51log(43)x3,143,43,14随堂检测随堂检测答案答案 A要使函数有意义,需满足解得x0, f(4)=-2=-0.所以在给出的区间中,包含f(x)零点的是(2,4),故选C.6x32123.(2017湖北武昌调研)已知函数f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1), f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-,-3)(1,+) B.(-,-3)C.(-3,1) D.(1,+)答案答案 A当a=0时,显然不成立,当a0时,由题意知f(-1)f(1)0,即(-3a+3)(a+3)0,解得a1.故选A.4.(2017贵州适应性考试)已知函数f(x)=当1a2时,关于x的方程ff(x)=a实数解的个数为()A.2 B.3 C.4 D.51,0,|ln|,0,xaxx x答案答案 C令u=f(x),则f(u)=a,由f(x)的图象可知,若u0,解得u1或2eue2,显然,当x0,u0,2eue2时, f(x)=u也有2个解,因此ff(x)=a有4个实数解. 21e1e21e1e
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