数学第八章 立体几何初步 第45讲 空间点、线、面之间的位置关系

考试要求1.平面的基本性质及其简单应用(证明一些空间图形的位置关系的简单命题)(A级要求)；2.空间点、线、面的位置关系(A级要求).第第45节节 空间点、线、面之间的位置关系空间点、线、面之间的位置关系1.下列命题中正确的个数为_.梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.解析中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确.答案2诊诊 断断 自自 测测2.(必修2P23练习2改编)用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面内”为_.解析考查点、线、面之间的符号表示.答案Pl，l3.(必修2P31习题5改编)下列说法中正确的是_(填序号).两两相交的三条直线共面；四条线段首尾相接，所得的图形是平面图形；平行四边形的四边所在的四条直线共面；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD不一定异面.解析当三条直线交于一点时有可能不共面；四条线段首尾相接，所得的图形可以构成空间四边形；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD一定异面，可反证.答案答案45605.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中正确命题的序号是_解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案1.四个公理公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的_.公理3：经过_的三点，有且只有一个平面.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_.知知 识识 梳梳 理理两点一条直线不在同一条直线上平行2.直线与直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，把直线a与b所成的_叫做异面直线a，b所成的角.平行相交任何锐角(或直角)3.直线与平面的位置关系有_、_、_三种情况.4.平面与平面的位置关系有_、 _两种情况.5.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的_，那么这两个角相等.直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行平行相交两边分别平行并且方向相同考点一平面基本性质的应用【例1】 (1)(2016山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件.E、F、G、H四点共面；三直线FH、EG、AC共点.(1)解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.答案充分不必要(2)证明连接EF，GH，如图所示，E，F分别是AB，AD的中点，EFBD.GHBD，EFGH，E、F、G、H四点共面.易知FH与直线AC不平行，但共面，设FHACM，M平面EFHG，M平面ABC.又平面EFHG平面ABCEG，MEG，FH、EG、AC共点.规律方法共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，四边形BCHG为平行四边形.四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C、D、F、E四点共面.考点二判断空间两直线的位置关系【例2】 (1)(2015广东改编)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_(填序号).l与l1，l2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是_(填序号).MN与CC1垂直；MN与AC垂直；MN与BD平行；MN与A1B1平行.(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).解析(1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交.(2)连接B1C，B1D1，如图所示，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，又BDB1D1，MNBD.CC1B1D1，ACB1D1，MNCC1，MNAC.又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行.(3)图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.所以图中GH与MN异面.答案(1)(2)(3)规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.【训练2】 (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线.其中正确结论的序号是_(注：把你认为正确结论的序号都填上).解析(1)在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立.答案(1)1(2)考点三求两条异面直线所成的角【例3】 (2018南京模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_.解析如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的角，规律方法用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【训练3】 (2018盐城模拟)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_.解析画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EFBD，则FEC就是异面直线CE与BD所成的角.ABC为等边三角形，则CEAB，故CECF.因为OEOF，所以COEF.