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1 1. .3 3命题及其关系、充要条件命题及其关系、充要条件-2-知识梳理双基自测2341自测点评1.命题 真假 -3-知识梳理双基自测自测点评23412.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系(2)四种命题的真假关系互为逆否的两个命题(或).互逆或互否的两个命题.等价 同真 同假 不等价 -4-知识梳理双基自测自测点评23413.充分条件、必要条件与充要条件的概念 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 -5-知识梳理双基自测自测点评23414.常用结论(1)在四种形式的命题中,真命题的个数只能是0或2或4.(2)p是q的充分不必要条件等价于 q是 p的充分不必要条件.其他情况依此类推.(3)集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件AB;p是q的必要不充分条件AB;p是q的充要条件A=B.2-6-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(2)命题“若x2-3x+20,则x2或xb”是“a3b3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析关闭因为ab能推出a3b3,a3b3也能推出ab.所以“ab”是“a3b3”的充要条件,故选C. 答案解析关闭C-8-知识梳理双基自测自测点评234153.(2017山东潍坊期末)已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有()A.0个 B.1个C.2个 D.3个 答案解析解析关闭原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选B. 答案解析关闭B-9-知识梳理双基自测自测点评234154.设p:实数x,y满足x1且y1,q:实数x,y满足x+y2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 答案关闭A -10-知识梳理双基自测自测点评234155.(教材习题改编P10T3(2)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的条件. 答案解析解析关闭x=a(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立.因此,“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的必要不充分条件. 答案解析关闭必要不充分-11-知识梳理双基自测自测点评1.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论;命题的否定只否定结论.2.因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,所以当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.3.“p是q的充分不必要条件”即为“pq且q p”;“p的充分不必要条件是q”即为“qp且p q”.-12-考点1考点2考点3例1(1)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是()A.若a2+b20,则a0且b0B.若a2+b20,则a0或b0C.若a=0且b=0,则a2+b20D.若a0或b0,则a2+b20(2)原命题为“ ,nN*,则an为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假? 答案解析解析关闭 答案解析关闭-13-考点1考点2考点3解题心得1.在判断四种命题的关系时,要分清命题的条件与结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种命题;当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保持不变.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出反例.当一个命题的真假直接判断不易时,可转化为判断其等价命题的真假.-14-考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数(2)(2017河南郑州模拟)给出以下四个命题:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;“全等三角形的面积相等”的否命题;“若q-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中真命题是.(只填序号) 答案解析解析关闭(1)由于“x,y都是偶数”的否定是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.(2)命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故为真命题;若ab是正整数,则a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故为假命题. 答案解析关闭(1)C(2)-15-考点1考点2考点3例2设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)22,q:实数x,yA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件思考充要条件的判断有哪几种方法? 答案解析解析关闭 答案解析关闭-16-考点1考点2考点3解题心得充要条件的三种判断方法:(1)定义法:根据pq,qp进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.-17-考点1考点2考点3对点训练对点训练2(2017湖南娄底二模)“a1”是“不等式2xa-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.a3B.a4D.aa-x,则2x+xa.设f(x)=2x+x,可知函数f(x)在R上为增函数.根据题意“不等式2x+xa成立,即f(x)a成立”能得到“x1”,并且反之不成立.当x1时,可知f(x)3.故a3. 答案解析关闭A -23-考点1考点2考点31.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真同假的关系来判定.2.充要关系的几种判断方法:(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.(3)集合法:设A=x|p(x),B=x|q(x),利用集合A,B的关系来判断.-24-考点1考点2考点31.当一个命题有大前提时,要写出其他三种命题,必须保留大前提,也就是大前提不动.2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式.3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.-25-思想方法等价转化思想在充要条件中的应用等价转化是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已有知识范围内可解”的求解策略,本节内容蕴含着丰富的等价转化思想,对于一个难以入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等价命题,每一个等价命题都能提供一个解题思路.因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是等价转化的前提,同时也是灵活解题的基础.-26-要不充分条件,求实数m的取值范围.分析：先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q之间的关系列出关于m的不等式或不等式组得出结论.解：(方法一)由q:x2-2x+1-m20(m0),得1-mx1+m,-27-所以p是q的充分不必要条件.由q:x2-2x+1-m20(m0),得1-mx1+m,则q:Q=x|1-mx1+m,m0.-28-则p:P=x|-2x10.因为p是q的充分不必要条件,则PQ,即m9或m9.故m9. -29-反思提升本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及参数的取值范围的充要条件问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是解此类问题的关键.
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