对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题

对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题（一）冲量定理法（二）傅立叶级数法齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题（一）方程和边界条件同时齐次化 非齐次方程的求解思路?用分解原理得出对应的齐次问题?解出齐次问题?求出任意非齐次特解?叠加成非齐次解方法一冲量定理法前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的（初始条件均 取零值）。基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为（无穷多个）自由振动 问题的叠加.2Utt -a Uxx 二 f （x,t） j(2 n 1)二 as in( l )sin 方法二：傅立叶级数法前提条件：齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题，必须是齐次的边界条件中心思想：首先要想办法找到一组本证函数:Xn(x), n 23,卜，如果这组 函数是完备的，那么就可以将u(x,t)以及原非齐次方程的非齐次项f(x,t)，都按 照本征函数展开简单选法：对本征函数的选法最简单的是，选择Xn (x), n= 1,2,3，匚为相应 齐次定解问题的本征函数，即要满足由齐次偏微分方程和齐次边界条件分离变量法得出的结果提示：把所求的解本身展开为傅里叶级数U(X,t)八(t)Xn(X)n基本函数族Xn(x)为该定解问题的齐次方程在所给齐次边界条件下的本 征函数注意：傅里叶系数Tn(t)不是常数，是时间t的函数5u(x, tk V X)毛(W，x t；：2V2 亠r = a 2 f (x,t),0 ： x ：0,ct次V(0,t) =V(l,t) =0, t0,V(x,0) =V(x,0)=0,0 乞x ml,l戲W(x,t)的解可以直接由分离变量法求得W(0,t)=W(l,t)=0,W(x,0) =(x)严x,0).:tJ(x)W(x,t)八(CncostDnsin t)sinnJll(n =1,2,3,)由于Vn(t)是一元函数，满足常微分方程，比求偏微分方程简单，因此只需设法求出Vn (t )即可.eV 2 eV=a TT+f(x,t),SttxV(0,t) =V(l,t0, V(x,0)=g0, :t0 ： x ： l,t 0,t 0,0辽xl,#解：相应的齐次问题的固有函数Xn(x)二 sin -p xcd设 V = vn(t)sin代入定解问题中#cO vn (t)sinn经n2兀2l2Vn (t )sinx +f(x,t)#八-anT _n2兀2打厂 Vn(t)sinQO亠二 fn(t)sinxn dlf(x,t)八 fn(t)sinn Tfn(t) =2 0 f (x,t)sin yxdx再根据本征函数的正交性，就可以得到Vn(t)所满足的常微分方程#当二- - 2 :：: 0X =AeBe22 22 n ttVn(t) aVn(t) - fn(t) =0将代入初始条件：V(X,0) _ 二jtn =Vn(0)sin 0n兀V(x,0) -vn(0)sinx=0l根据本征函数的正交性，得Vn(0) =0Vn(0)=07当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2运用求解非齐次常微分方程的常数变易法解出Vn(t ).#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2.：u 2a；:t-2例题1求下列定解问题:u2 sin t 0 ： x ： l ,t 0 x#当二- - 2 :：: 0X =AeBe27(0,t) _ (l,t)；xu(x,0) =0,:x=0, t 00 _x _l#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2c2u解：先解对应的齐次问题0 :： x ： l,t 0-：u 2a - 2 :x#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2exu(x,0) =0,.x0 _x _lu(x,t)= X(x)T(t)代入TX二 a2TX#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2T _ a2?XX X =0，代入边界条件X X =00 x l.X(0) =0, X(l) =0#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2X 二0当一0X =B0当一 1 2X = Asin x B cosl-xI2l n,n -1,2,3,9当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2X n = Bn COS X,n = 1,2,3,#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2-2.:u 2 Ua2 sin ，t .x.1.:u(0,t)fu(l ,t)0 ： x ：丨,t 0x u(x,0) =0,:x=0,0 _x _丨Xn = Bn cos x, n,1,2,3,u _、vn(t)cos -p xn -0#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2vn (t) cos一 x=sin cot8_f 2nVn(t)a -n =0 .l#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2u(x,0)八 vn(0)cos 亍 x=0n =0#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2Vn(0)当n =0v0(t) =si nt1v0(t)cos tco#当二- - 2 :：: 0X =AeBe22 2.2 n冗vn(t) a 丁 vn(t) =0Vn(t) =Cevn(t)=01U = 1 - cos t 方法三：方程和边界条件同时齐次化基本思路：根据叠加原理，非齐次方程的通解可分解为齐次方程的解与非齐次方程的特解之和。 将偏微分方程和边界条件同时齐次化。u(x,t)二v(x,t) (x,t)，关键注意点：在处理非齐次方程变齐次化的同时， 保证原有方程的齐次边界条件不变。解方程求得的特解V(x,t).满足适用于形式比较简单的方程f(x,t)解：通常，首先求出原非齐次方程的一个特解v(x,t)-2 -2； u 2U2 -a . 2 f (x,t). .t :x试设u(x,t) =v(x,tp (x,t)，11当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2则-(x,t)便是对应齐次偏微分方程的解，-22C2書02 _ a 2 =ex为便于用分离变量法求解，让(x,t)满足下列条件(x,t) xzt =0.所以，我们要寻求的特解v(x,t)还应满足齐次边界条件,v(x,t) x=0 =0 ,v(x,t) x=0。#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2#当二- - 2 :：: 0X =AeBe2一旦求得了这样的特解，就可以求出-(x,t)的一般解#n兀n兀nn，(x,t)二 (Cn sin at Dn cosat)sinx ,nIII所以n兀n兀nn：u(x,t)二v(x,t)(Cnsinat Dn cos at)sin x ,n=丨II代入初始条件，n _ DnSin x =v(x,t) 7 , n 4I利用本证函数的正交归一性，定出叠加系数2Cn :-：v(x,t)1;:tn 二x=0 sin 亍 xdx，n二 a2丿D - 0v(x,0)sin这种解法便是方程和边界条件同时齐次化n 二xdx.IF面通过例题1来应用一下这种求解非齐次偏微分方程的方法例题3求定解问题-2:-u2 Psi n t a.:t2-22U-2 ，.xxi =0，t=0，.:u.:tt=o =0，0 ： x ： I， t 0，t -0，Ox乞I，其中a， A0及均为已知常数.解：设u(x,t) =v(x,t) ，(x,t)，根据题意，将齐次化函数v(x,t)化为v(x,t)二 f (x)sin -t .使得v(x,t)满足非齐次方程及齐次边界条件,：2 - 2； v2 二 v2 二 Psi n t a 2，0 ： x ： I t 0，-t:x#v x=0 ,v x丄=0 ,t 3 ,也就是选择f(X)，使得- 2 f (x) - a2 f (x)二 P ,f() =,f(l)= .则这个非齐次常微分方程的通解为f (x) = -P2 M sin x N cos x . coaa代入齐次边界条件可以得出N=-P2tan-2a于是f(X)/P LxA aol otan si n x2a a-l /1cos(x) a)1这样就能导出-(x,t)所满足的定解问题,-222 = a 2 .t:x-2 G CO ： x ： I， t ，x= =,t =，.:tt =0-f (x)，_x_l，它的一般解为n 二(x,t)Cn sinat Dn cos atn# L llinl利用上面的初始条件就可以定出Dn=，Cnna13可以看出，只有当n =0时，Cn才不为0,即(x,t)=4P J32二 a15#詈一 112n+1 2n+1222 si n : xs in: atn：o|L(2n 1)2(2 n 1)二a2-( J)2llu(x,t)Pcos (x _ 1 2)acos( J 2a)sin 鎖-4P l32: a亠 乙 2.sin.xsin.at n 卫 |L(2n1)2(2 n 1)二a2-(1)211特殊情形：强迫力的角频率正好是弦的某些固有频率，（2k 1ai ,k为某个确定的非负整数时，弦在强迫力的作用下会发生共振现象#1 ,v0(t)1 - cos tCD2 ln 二.0 f (x)sin xdx#