材料力学：第四章弯曲内力

材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University工程问题中，有很多杆件是承受工程问题中，有很多杆件是承受弯曲变形弯曲变形的。的。材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University受力特点：受力特点：变形特点：变形特点：外力垂直于杆件的轴线外力垂直于杆件的轴线轴线由直线变为曲线轴线由直线变为曲线l 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件 称为称为梁梁材料力学课件材料力学课件Fuzhou University对称轴对称轴# 梁的横截面至少有一个对称轴梁的横截面至少有一个对称轴所有的截面的对称轴构成纵向对称面所有的截面的对称轴构成纵向对称面# 所有外力都作用在梁的纵向对称面内所有外力都作用在梁的纵向对称面内材料力学课件材料力学课件Fuzhou University研究矩形截面梁的对称弯曲研究矩形截面梁的对称弯曲矩形截面梁有一个纵向对称面矩形截面梁有一个纵向对称面当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲变形后的轴线成当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲变形后的轴线成为位于该对称面内的平面曲线，称之为为位于该对称面内的平面曲线，称之为对称弯曲对称弯曲。材料力学课件材料力学课件Fuzhou University固定铰支座固定铰支座可动铰支座可动铰支座材料力学课件材料力学课件Fuzhou University固定端固定端材料力学课件材料力学课件Fuzhou University悬臂梁悬臂梁材料力学课件材料力学课件Fuzhou University简支梁简支梁外伸梁外伸梁材料力学课件材料力学课件Fuzhou University悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityF1F2FRAABxaMFSmmFRBF1a(x)(x)竖向力竖向力 剪力剪力力偶力偶 弯矩弯矩F3xyFRA材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityMFSF1a(x)(x)FRAx0OMR1( )0AM xF xFxaR1( )AM xF xF xa0yF R1S( )0AFFF xSR1( )AF xFF计算指定截面的剪力和弯矩计算指定截面的剪力和弯矩O材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityl剪力和弯矩的符号规定剪力和弯矩的符号规定mmmmFSFSFSFS使梁段使梁段顺时针顺时针转动的剪力为转动的剪力为正正(+)使梁段使梁段逆时针逆时针转动的剪力为转动的剪力为负负(-)材料力学课件材料力学课件Fuzhou University使梁段使梁段凸向下凸向下的弯矩为的弯矩为正正(+)使梁段使梁段凸向上凸向上的弯矩为的弯矩为负负(-)mmMmmM材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityR0.0.0yAAAFFFMMRS1S1R0,0yAAFFFFFFR11R0,0OAAAAMMF aMMF aMFaABaa2FFRAMAFRAMAM1FS1Me2=4FaMe1=FaF2211材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityRS2S2R0,02yAAFFFFFFFFR122Re10,02OAAAAMMF aMMMF aMMFaFRAMAM2FS2Me1=FaFABaa2FFRAMAMe2=4FaMe1=FaF1221材料力学课件材料力学课件Fuzhou University任一截面的剪力任一截面的剪力 FS =SS截面一侧横向力的代数值截面一侧横向力的代数值 计算指定截面的剪力和弯矩法则：计算指定截面的剪力和弯矩法则：左上右下为正，反之为负左上右下为正，反之为负任一截面的弯矩任一截面的弯矩 M =SS截面一侧外力对截面形心之矩的代数值截面一侧外力对截面形心之矩的代数值 左顺右逆为正，反之为负左顺右逆为正，反之为负材料力学课件材料力学课件Fuzhou University表示剪力和弯矩沿杆轴变化规律的图形称为表示剪力和弯矩沿杆轴变化规律的图形称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。SS( )( )FF xMM x材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityMxFlFlF: :ABx任意截面任意截面m- mS( )(0)F xFxl ( )(0)M xFxxl FSx(0)0,( )MM lFl 材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitylqxSR( )2AF xFqxqlqxRR12ABFFqlS(0)/2FqlS( )/2F lql (0)xlFSxql /2AB: :FRAFRBql /2材料力学课件材料力学课件Fuzhou University(0)xl(0)0,( )0MM l2( / 2)/8M lqlql2/8l /2lqxABFRAFRBFSxql /2ql /2R2( )222AxM xF xqxqlqxxMx材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityx1x2FCABablFRARAbFFlRBaFFlS1RAbFFFl1(0)xa1R11AbMF xFxl1(0)xaS2RBaFFFl 2(0)xb2R22BaMF xFxl2(0)xb: :FRB材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityabF/lbF/laF/lS1bFFl1(0)xa11bMFxl1(0)xaS2aFFl 2(0)xb22aMFxl2(0)xbx1x2FCABablFRAFRBFSxMx材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitylbaABx1x2CeRAMFleRBMFleS1RAMFFl1(0)xae1R11AMMF xxl1(0)xaeS2RBMFFl2(0)xbe2R22BMMF xxl 2(0)xbMe: :FRAFRB材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityMeb /lMea /lMe /leS1MFl1(0)xae11MMxl1(0)xaeS2MFl2(0)xbe22MMxl 2(0)xbBlbaABx1x2CMeFRAFRBFSxMx材料力学课件材料力学课件Fuzhou University2aa2qaqACB0AM2R320BFaqaaqa约束反力约束反力R/3( )BFqa0BMR5/3( )AFqax1S1R115/3AFFqxqaqx221R1111/25/3/2AMF xqxqaxqxRAFRBF材料力学课件材料力学课件Fuzhou University2aa2qaqACBRAFRBFx2S2R/3BFFqa 222R22/3BMF xqaqaqax材料力学课件材料力学课件Fuzhou University2aa2qaqACBRAFRBFx2S2/3Fqa 222/3Mqaqax21115/3/2MqaxqxS115/3Fqaqx5qa/34qa2/325qa2/18qa/3qa25 /3aFSxMx材料力学课件材料力学课件Fuzhou University总结总结FS、M 图的基本画法：图的基本画法：1 1、用静力学平衡方程求解出支座反力、用静力学平衡方程求解出支座反力2 2、研究、研究FS、M 的分段情况的分段情况 分段端点通常为：分段端点通常为：# # 集中力或集中力偶的作用处集中力或集中力偶的作用处# # 分布载荷的起始和终点处分布载荷的起始和终点处3 3、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的、根据分段情况，选择任意截面，写该截面的FS、M方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧方程，（既可选用左侧的外力，也可选择右侧的外力）的外力）材料力学课件材料力学课件Fuzhou University4 4、按写出的、按写出的FS、M 方程，画方程，画FS、M 图图5 5、检查、检查FS、M 图的正确性图的正确性6 6、注意图形的极值点（有、位置、极值）、注意图形的极值点（有、位置、极值）总结总结FS、M 图的基本画法：图的基本画法：材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityq=q(x)Oxyxdxq(x)FS(x)M(x)FS(x)+ dFS(x)M(x)+dM(x)C材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitySd( )d( )( )( )d( )d02xM xM xM xF xxq xxq(x)FS(x)M(x)FS(x)+ dFS(x)M(x)+dM(x)CdxSd( )( )dF xq xxSd( )( )dM xF xx0yF SSS( )( )d( )d( )0F xq xxF xF x0CM材料力学课件材料力学课件Fuzhou University22d( )( )dM xq xxSd( )( )dF xq xxSd( )( )dM xF xx材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityq=q(x)Oxyxdxq(x)FS(x)M(x)FS(x)+ dFS(x)M(x)+dM(x)C2211Sd( )( )dxxxxF xq xx22d( )( )dM xq xxSd( )( )dF xq xxSd( )( )dM xF xx对于对于x1 x2 区间区间21S2S1()()( )dxxF xF xq xx2211Sd( )( )dxxxxM xF xx2121S()()( )dxxM xM xF xx材料力学课件材料力学课件Fuzhou University对于对于x1 x2 区间区间21S2S1()()( )dxxF xF xq xx2121S()()( )dxxM xM xF xx注意注意 ：x1 x2 区间不应有集中力和集中力偶区间不应有集中力和集中力偶材料力学课件材料力学课件Fuzhou University用于检查用于检查F FS S、M M 图的形态图的形态用于检查区间用于检查区间F FS S、M M 的增量的增量22d( )( )dM xq xxSd( )( )dF xq xxSd( )( )dM xF xx21S2S1()()( )dxxF xF xq xx2121S()()( )dxxM xM xF xx材料力学课件材料力学课件Fuzhou University总结总结F FS S、MM图的变化规律：图的变化规律：1 1、在、在q=0 的区段，的区段，FS图为平直线，图为平直线， M图为斜直线。图为斜直线。2 2、在、在q=C 的区段，的区段，FS图为斜直线，图为斜直线， M图为二次抛物线。图为二次抛物线。3 3、在集中力作用处，、在集中力作用处，FS图发生突变，突变值等于集中力图发生突变，突变值等于集中力值，值，M图产生折角。在集中力偶作用处，图产生折角。在集中力偶作用处，M图有突变，图有突变，突变值等于集中力偶矩值，突变值等于集中力偶矩值，FS图无变化。图无变化。4 4、在、在FS=0 的截面处，的截面处，M图有极值，极值的数值可用（无图有极值，极值的数值可用（无集中力偶）一侧集中力偶）一侧FS图面积的代数和计算（注意右侧图面积的代数和计算（注意右侧FS图图面积的区别）。面积的区别）。材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityCABD40kNm2.5m20kN15kN25kNFSx31.25kNm20kNm20kNmMx4m1m10kN/mq 20kN35kN25kNSDMDBF（区间图面积）1( 25kN) 2.5m231.25kNm 材料力学课件材料力学课件Fuzhou University1 1、计算支反力（清楚全梁的受力情况）、计算支反力（清楚全梁的受力情况）步骤：步骤：2 2、研究、研究FS 、M图的分段情况图的分段情况3 3、根据微分关系研究、根据微分关系研究FS 、M图形态图形态直线曲线；增减性；凸凹性直线曲线；增减性；凸凹性4 4、计算、计算FS 、M图的段端值图的段端值根据突变关系，积分关系根据突变关系，积分关系难点：难点：M段端值段端值5 5、根据曲线形态和段端值画、根据曲线形态和段端值画FS 、M图图材料力学课件材料力学课件Fuzhou University解：解：1 1、解支座反力、解支座反力RR35kN ()25kN ()ABFF（方法：单独载荷反力叠加法）（方法：单独载荷反力叠加法）2 2、研究分段、研究分段 两段两段CA、AB段段3 3、图形的形态和段端值计算、图形的形态和段端值计算FSMCCA段段A-0A+0AB段段B平直线平直线斜直线斜直线 斜直线斜直线抛物线抛物线-20-2015-254m1m10kN/mq 20kNCAB35kN25kN40kNm材料力学课件材料力学课件Fuzhou University20kN15kN25kN# FS图按横向力走向可直接画图按横向力走向可直接画FSMCCA段段A-0A+0AB段段B平直线平直线斜直线斜直线 斜直线斜直线抛物线抛物线-20-2015-25DFSx40kN25kN2.5m10kN/m4m1m10kN/mq 20kNCAB35kN25kN40kNm材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityMx31.25kNm20kNm2.5m20kNmFSMCCA段段A-0A+0AB段段B平直线平直线斜直线斜直线 斜直线斜直线抛物线抛物线-20-2015-250-200204m1m10kN/mq 20kNCAB35kN25kN40kNmD20kN15kN25kNFSx1(15 1.5)11.252 1( 25) 2.531.252# 难点：难点：M的段端值的段端值（用（用FS图面积计算）图面积计算）材料力学课件材料力学课件Fuzhou University2aaqACBqa/2qa5/2qa材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFSx3qa/2qa/2qa斜直线斜直线抛物线抛物线/2a21()( )2228qaaqa2qaaqa qa2/8qa22aaqACBqa/2qa5/2qaMx材料力学课件材料力学课件Fuzhou University1.1. 两端的弯矩两端的弯矩 M 值值引起注意的内容：引起注意的内容：自由端、铰支端，无集中力偶作用时自由端、铰支端，无集中力偶作用时M = 02.2. 关于关于 M 图的凸凹性和极值点图的凸凹性和极值点注意注意M 图导数；补算极值图导数；补算极值3.3. 难点：难点：M 段端值段端值（FS 图面积计算）图面积计算）左侧左侧FS 图面积的代数和图面积的代数和 = M 数值数值右侧右侧FS 图面积的代数和图面积的代数和M 数值数值区间内不应有集中力偶作用区间内不应有集中力偶作用4.4. 检查集中力偶作用处检查集中力偶作用处 M 图突变图突变关于的关于的F FS S、MM的要求：的要求：不写剪力弯矩方程，直接画图不写剪力弯矩方程，直接画图M材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityaaaaCABq2qaED注意到结构对称，载荷对称，支反力应是对称的注意到结构对称，载荷对称，支反力应是对称的解：解：RR( )ABFFqaqaqa研究分段：四段研究分段：四段CA、AE、EB、BD按横向力的自然走向画剪力图按横向力的自然走向画剪力图弯矩图在各段内均是二次抛物线弯矩图在各段内均是二次抛物线材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityaaaaCABq2qaEDqaqaFSxqaqaqaqaMxqa2/2qa2qa2/2CA段段FS图面积图面积 -qa2/2 BD段段FS图面积图面积 -qa2/2材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityl剪力图面积法计算剪力图面积法计算弯矩图的段端值弯矩图的段端值结构对称、载荷对称结构对称、载荷对称剪力图反对称、弯矩图对称剪力图反对称、弯矩图对称材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityaaACBqqqa2/2注意到结构对称，载荷反对称，形成一个力偶注意到结构对称，载荷反对称，形成一个力偶解：解：FRA和和FRB也应形成一个力偶也应形成一个力偶FRA按横向力的自然走向画剪力图按横向力的自然走向画剪力图FRB22RR/224ABqaqaFFqaa弯矩图在各段内均是二次抛物线弯矩图在各段内均是二次抛物线材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityAD段段FS图面积图面积 qa2/32aaACBqqqa2/2qa/4qa/4FSxqa/43qa/4qa/4MxDE/4aqa2/32AC段段FS图面积图面积代数和代数和qa2/4qa2/32qa2/4材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityl剪力图面积法计算剪力图面积法计算弯矩图的段端值弯矩图的段端值结构对称、载荷反对称结构对称、载荷反对称剪力图对称、弯矩图反对称剪力图对称、弯矩图反对称材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityAB CEq=5kN/mF=24kN6m2m2m2m注意到这是一个物系平衡问题注意到这是一个物系平衡问题解：解：12kN12kN12kN31kN11kN研究研究FS、M图分段：图分段：4段段DC材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityAB CEq=5kN/mF=24kN6m2m2m2m12kN31kN11kNDFSx11kN19kN12kN12kNMx2.2m12.1kNm24kNm面积面积相等相等24kNm材料力学课件材料力学课件Fuzhou University弯矩必等于零弯矩必等于零铰链处（包含中间铰）铰链处（包含中间铰）若无集中力偶作用若无集中力偶作用l剪力图面积法计算剪力图面积法计算弯矩图的段端值弯矩图的段端值材料力学课件材料力学课件Fuzhou University杆与杆之间通过刚节点连接的杆系结构，称为刚架杆与杆之间通过刚节点连接的杆系结构，称为刚架全部杆在一个平面之内，全部杆在一个平面之内，且载荷与约束反力均位于且载荷与约束反力均位于此平面内，称为此平面内，称为平面刚架平面刚架材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFABCFa1.5ax111x11F1AM(x1)FS (x1)S1()F xF11()M xFx材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFABCFax111x222取上段为研究对象取上段为研究对象FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)考虑平衡考虑平衡0 xF S2()0F xF0yF N2()0FFx0OM22()0M xFxFaS2()F xF N2()FxF22()M xFaFx（右侧受压）（右侧受压）材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityx11F1AM(x1)FS (x1)FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)l可知：对于平面刚架，内力通常包括轴力、剪力和弯矩可知：对于平面刚架，内力通常包括轴力、剪力和弯矩J符号规定：符号规定：轴力：拉伸为正，压缩为负轴力：拉伸为正，压缩为负剪力：使研究对象顺时针转动为正，反之为负剪力：使研究对象顺时针转动为正，反之为负弯矩：不规定正负号弯矩：不规定正负号约定：约定：弯矩图画在构件的弯矩图画在构件的受压侧受压侧材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityS1()F xF11()M xFxS2()F xF N2()FxF22()M xFaFx（右侧受压）（右侧受压）x11F1AM(x1)FS (x1)FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)FN图图FABCFa1.5ax111x222F材料力学课件材料力学课件Fuzhou University（右侧受压）（右侧受压）S1()F xF11()M xFxS2()F xF N2()FxF22()M xFaFxx11F1AM(x1)FS (x1)FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)FS图图FABCFax111x222FF材料力学课件材料力学课件Fuzhou University（右侧受压）（右侧受压）S1()F xF11()M xFxS2()F xF N2()FxF22()M xFaFxx11F1AM(x1)FS (x1)FABFx222M(x2)FN(x2)FS(x2)M图图FABCFa1.5ax111x222FaFaFa/2材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityl注意节点处注意节点处FN、FS和和M的特点的特点M1=FaFS1=FFS2=FFN2=FBFM2=Fa在节点在节点B处，处，AB段和段和BC段的弯矩段的弯矩应是相同的，亦即应是相同的，亦即M1M2FF材料力学课件材料力学课件Fuzhou University杆的轴线为平面曲线，且载荷与约束反力均位于此杆的轴线为平面曲线，且载荷与约束反力均位于此平面内，称为平面内，称为平面曲杆平面曲杆aFmmj jFmmj jFSFNM材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityaFmmj jnt考虑研究对象的平衡考虑研究对象的平衡0nF Nsin0FFj0tF Scos0FFj0OMsin0MFaj解出解出NsinFFj ScosFFjsinMFaj（内侧受压）（内侧受压）Fmmj jFSFNM材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFaaFmmj jNsinFFj ScosFFjsinMFaj（内侧受压）（内侧受压）FN图图FFS图图FM图图材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityl内力图仍包括轴力、剪力和弯矩内力图仍包括轴力、剪力和弯矩l注意图形的画法注意图形的画法# 对于简单的刚架、曲杆，写轴力、剪力和弯矩方程画对于简单的刚架、曲杆，写轴力、剪力和弯矩方程画FN、FS、M图图要求：要求：材料力学课件材料力学课件Fuzhou University测验：测验：材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University思考和研究一个问题：思考和研究一个问题：# 梁的内力图和刚架内力图的关系？梁的内力图和刚架内力图的关系？# 如何定性地检查刚架内力图的正确性？如何定性地检查刚架内力图的正确性？材料力学课件材料力学课件Fuzhou University