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的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，时，随的增大网增大;yhxxhx有最随的增大而减小；时，yyhxx小值.k向下X=h时，随的增大而减小；时，yhhxxx有最时，的增大而增大；随yyhxx大值.k的绝对值越大，抛物线的开口越小。a三、二次函数图象的平移平移步骤：1.确定其顶点坐将抛物线解析式转化成顶点式，方法一：kyahx标；k,h处，具体平移保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到2kh,axy方法如下：2.平移规律值正右移，负左移；值正上移，负下移”.在原有函数的基础上“kh概括成八个字“左加右减，上加下减”.数单二元二次函第二十方法二：一、二次函数概念：22变成：向上（下）平移个单位，沿轴平移cbxyyaxbxcaxym）的是常数，1.二次函数的概念：一般地，形如（2cbxaxycb,a,0a22（或）mbxaxcbxcmaxyy这里需要强调：和一元二次方程类似，函数，叫做二次函数。22变成个单位，沿轴平移：向左（右）平移caxyaxbxcbxym,而二次项系数可以为零.二次函数的定义域是全体实数.cb,0a22(或)c)mb(xcm)b(xm)mya(xya(x2.二次函数的结构特征:2caxy bx 2与四、二次函数的比较2k x yahcy ax bx.的最高次数是2的二次式，等号左边是函数，右边是关于自变量xx2是两种不同的表达形式，后从解析式上看，与2khayxcaxbxy是二次项系数，是常数，是一次项系数，是常数项.cab,bca222b4bacbb4ac.其中者通过配方可以得到前者，即，yxa,hka2a4a2a4二、二次函数的基本形式五、二次函数图象的画法2cbxax中的性质：二次函数的基本形式khxay,22确定五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式kh）cya（yaxxbx线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小.aIa一般我们选左右对称地描点画图.其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，、与取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点yc20,c,0,ch2.一次项系数b.轴的交点轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）（若与，0xx,0,xx2i.轴的交点画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与yx在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴.ba六、二次函数的性质2cbxyaxb在轴左边则，在的符号的判定：对称轴轴的右侧yyxOabab-a2b,顶点坐标为当时，抛物线开口向上，对称轴为1.Oaxa2则，概括的说就是“左同右异”0ab2b4acb3.常数项决定了抛物线与轴交点的位置.ycca4a2bb总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.的增大而增大；的增大而减小；当随时，随时，当c,a,byyxxxxa2a22b4acb二次函数解析式的确定：当时，.有最小值yx-a4a2b根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数，顶点坐标为2.当时，抛物线开口向下，对称轴为Oaxa2法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才xx x x能使解题2bacb4bb的增时，的增大而增大；当时，.当随随yy,a42aaa22简便.一般来说，有如下几种情况：？bac4b有最大值时，.大而减小；当yxa4a21.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；七、二次函数解析式的表示方法()为常数，1.一般式：，；2cbxyax0abca2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；,(为常数，；)2.顶点式：2khxay()0ahka3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x轴两交点的横坐，(是抛物线与3.两根式：0axx)(xxay(xxx22ii.标)4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.但并非所有的二注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，时，次函数都可以写成交点式，轴有交点，只有抛物线与即20b4acx九、二次函数与一元二次方程：二次函数解析式的这三种形式抛物线的解析式才可以用交,点式表示.1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)：x.可以互化22bxyaxc当函数值一元二次方程是二次函数时的特殊情况.0bxcax0y八、次函数的图象与各项系数之间的关系图象与轴的交点个数：x1.二次项系数a决定了抛物二次函数中，.显然作为二次项系数，2cybxax0aaa22是时，图象与，其中的轴交于两点当0xABx,0,04acbxxx),(xx1)()a()0a(&12121(2)aaac4b2 I xx AB当.一元二次方程的两根.这两点间的距离ac00axbx12a(3)0,babab(a0时，当.时，图象与当轴没有交点轴只有一个交点；时，图象与000a1xx轴当时，图象落在；图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有aa0y0a2xxx(4)00,b(abb.的下方，无论为任何实数，者B有0yx5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，2；轴一定相交，交点坐标为的图象与2.抛物线，ycyaxbx)c(0有括号的先算括号里的 （或先去括号）3. 二次函数常用解题方法总结： 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的图象与X一元二次方程第二单元求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化一、一元二次方程为顶点式；1、一元二次方程的符号，或由二次，根据图象的位置判断二次函数，中2caxbxybca的整式方程叫做一元二次方程。含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合；bca2、一元二次方程的一般形式二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点的点坐标，或已知与x2）a0（bxc0ax的二次多，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x.坐标2叫做一次项，a叫做二次项系数；项式，等式右边是零，其中bx叫做二次项，ax第一单元二次根式c叫做常数项。b叫做一次项系数；1、二次根式二、一元二次方程的解法；被0）叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“a式子（a1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方必须是非负数。开方数a、最简二次根式22b）（xa的一元二次方程。根据平方根的定义法。直接开平方法适用于解形如若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。babxxaax时，可知，当时，是b的平方根，当b0时，一元二次方程有1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x,y)关于原点的2个相同的实数根；时，一元二次方程有当=0对称点为P(-x,-y)2、关于x轴对称的点的特征时，一元二次方程没有实数根当0两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x,y)关于x轴的对称点为P(x,-y)四、一元二次方程根与系数的关系3、关于y轴对称的点的特征b2两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x,)(0a0cbxaxx,xxx,那么的两个实数根是如果方程一2121-)关于y轴的对称点为P(-x,y)cxx。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程第四单元圆一21a的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次一、圆的相关概念项系数所得的商。1 、圆的定义第三单元旋转旋转一周，绕它固定的一个端点。在一个个平面内，线段OA叫做圆OA随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点另一个端点一、旋转叫做半径。心，线段OA1、定义、圆的几何表示2叫做旋转中转动一个角度的图形变换叫做旋转，。把一个图形绕某一点其中OO为圆心的圆记作“。0，读作”圆O以点心，转动的角叫做旋转角。二、弦、弧等与圆有关的定义2、性质）弦（11（）对应点到旋转中心的距离相等。）（如图中的连接圆上任意两点的线段叫做弦。AB（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。2）直径（二、中心对称）CD（如途中的经过圆心的弦叫做直径。.1、圆周角直径等于半径的2倍。顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。）半圆（32、圆周角定理圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（4）弧、优弧、劣弧推论圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。AB”或“弧，读作“圆弧”，BAB为端点的弧记作“弧用符号“c”表示，以a推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径。推论3”。：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三AB角形。；小于半圆的弧叫做劣弧（多用大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）七、点和圆的位置关系两个字母表示）设。O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有：三、垂径定理及其推论点P在。dr（八、过三点的圆）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（31 、过三点的圆：圆的两条平行弦所夹的弧相等。推论2不在同一直线上的三个点确定一个圆。垂径定理及其推论可概括为：2 过圆心、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。垂直于弦3 、三角形的外心知二推三平分弦直径三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角平分弦所对的优弧形的外心。平分弦所对的劣弧4 、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆内接四边形对角互补。九、反证法圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。先假设命题中的结论不成立，2然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设、圆的中心对称性不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。十、直线与圆的位置关系五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理直线和圆有三种位置关系，具体如下：、圆心角1（顶点在圆心的角叫做圆心角。1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；、弦心距2（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆从圆心到弦的距离叫做弦心距。的切线，、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理3（在同圆或等圆中，3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。所对的弦想等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦如果。的半径为r心距相等。，圆心O到直线l的距离为d,那么：dr相离。与。l直线六、圆周角定理及其推论十一、切线的判定和性质各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系、切线的判定定理1只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这个圆就是这个正多边形的外接圆。2、切线的性质定理十六、与正多边形有关的概念圆的切线垂直于经过切点的半径。1十二、切线长定理、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。、切线长12这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切在经过圆外一点的圆的切线上，、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。线长。3、正多边形的边心距2、切线长定理正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两从圆外一点引圆的两条切线，4条切线的夹角。、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。十三、三角形的内切圆十七、正多边形的对称性1、三角形的内切圆1、正多边形的轴对称性与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，2、三角形的内心每条对称轴都通过正n边形的中心。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内2心。、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。十四、圆和圆的位置关系3、正多边形的画法、圆和圆的位置关系1先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。十八、弧长和扇形面积相切分为外切和内切两如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，1、弧长公式种。rn如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。n0的圆心角所对的弧长l的计算公式为l2、圆心距1802、扇形面积公式两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。其中n是扇形的圆心角度数，R3、圆和圆位置关系的性质与判定是扇形的半径，l是扇形的弧长。3dr和R设两圆的半径分别为，圆心距为，那么、圆锥的侧面积是圆锥的地面半径。rdR+r两圆外离是圆锥的母线长，l其中d=R+r两圆外切（两圆相交R-rdR（两圆内切d=R-r）Rr）Rr（两圆内含dR-r、两圆相切、相交的重要性质4对称轴是两圆它们是轴对称图形，那么切点一定在连心线上，如果两圆相切，的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。十五、正多边形和圆、正多边形的定义1.
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