数学第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合与集合的运算

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合与集合的运算高考数学高考数学考点一集合及其关系考点一集合及其关系1.元素与集合的关系2.集合中元素的特征 ,.aAaA属于 记为不属于 记为知识清单确定性一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关,如a,b,c与b,c,a是相同的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系3.集合的分类:无限集、有限集.特别地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记作.4.常用数集及其表示符号名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号 N N*或N+ Z Q R 5.集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.6.集合间的关系名称自然语言描述符号语言表示Venn图表示子集如果集合A中所有元素都是集合B中的元素,则称集合A为集合B的子集AB(或BA)真子集如果集合AB,但存在元素aB,且a A,则称集合A是集合B的真子集 A B(或B A) 集合相等集合A与集合B中元素相同,那么就说集合A与集合B相等A=B考点二集合的运算1.集合间的运算名称自然语言描述符号语言表示Venn图表示并集对于两个给定集合A、B,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合AB=x|xA,或xB交集对于两个给定集合A、B,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 AB=x|xA,且xB 补集对于一个集合A,由全集U中所有属于集合U但不属于集合A的元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集,记作UAUA=x|xU,且x A交集ABAABBAA=AA=AB=BA并集ABAABBAA=AA=AAB=BA补集U(UA)=AUU=U=U(UA)A=(UA)A=U2.集合间的逻辑运算3.两个常用结论AB=AAB;AB=BAB.4.设有限集合A,card(A)=n(nN*),则(1)A的子集个数是2n ;(2)A的真子集个数是2n-1 ;(3)A的非空子集个数是2n-1 ;(4)A的非空真子集个数是2n-2 . 集合的概念和基本关系的解题策略集合的概念和基本关系的解题策略1.解答集合间的关系问题:先正确理解两个集合的含义,认清集合元素的属性,再依据元素的不同属性采用不同的方法进行解答:若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.2.当题目中有条件BA时,不要忽略B=的情况.例1 (2017浙江名校新高考研究联盟测试一,1)已知集合A=x|-ax2a,a0,集合B=y|y=x3,xA.若BA,则a的取值范围是()A. B. C.1,+) D.(0,11,210,2方法技巧方法1B解题导引 由函数的单调性得集合B由集合间的关系得结论解析y=x3在区间-a,2a上单调递增,y-a3,8a3,由BA,得解得0a,又a0,所以a的取值范围是,故选B. 33,82 ,aaaa 1210,2例2若集合A=x|x2-2x-3=0,B=x|x2-2mx-3m=0,且AB=A,则实数m的取值范围是 .-3m0或m=1解题导引 解析依题意得A=-1,3,且BA.当B=时,=4m2+12m0-3m0,符合题意.当B时,若-1B,可得m=1,此时B=-1,3,符合题意;若3B,可得m=1,此时B=-1,3,符合题意.综合可得-3m0或m=1. 集合的基本运算的解题策略1.数轴和韦恩(Venn)图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结合是解答集合问题的常用方法.因此,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化.尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.2.在解含参变量的有关集合问题时,有时需对参变量进行分类讨论.同时在解题过程中,最易忽略集合元素的互异性,从而导致解题的错误.因此求出参变量后,一定要代入检验.3.分类讨论要注意分类标准的寻求和层次的划分,做到分类标准合理、自然,层次划分明确、清晰,对讨论的问题的分类做到不重不漏.方法2例3 (2017浙江镇海中学模拟卷(二),9)已知全集U=R,设A=x|lg(x-1)1,B=x|x2-5x-60,则AB= ;(UA)B= .-1,11)-1,1解题导引 解对数函数得A解一元二次不等式得B由交集、并集、补集的运算得结论解析由题可知,A=(1,11),B=-1,6,所以AB=-1,11),UA=(-,111,+),因此(UA)B=-1,1. 与集合有关的新概念问题的解题策略与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,这类试题的特点是:通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的情境下完成某种推理证明,这是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.解此类题的一般思路:1.理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义.2.利用学过的数学知识进行逻辑推理.3.对选项进行筛选、验证、定论.例4 (2016浙江名校协作体测试,8)在n元数集S=a1,a2,an中,设x(S)=,若S的非空子集A满足x(A)=x(S),则称A是集合S的一个12naaan方法3“平均子集”,并记数集S的k元“平均子集”的个数为fS(k).已知集合S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,T=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,则下列说法错误的是( )A.fS(4)=fS(5) B.fS(4)=fT(5)C.fS(1)+fS(3)=fT(5) D.fS(2)+fS(3)=fT(4)C解析由题意,易知fT(k)=fS(k),k=1,2,9.再由对称性知fT(k)=fT(9-k),k=1,2,9,故A,B正确.现在仅考虑集合T,利用列举法,当k=1时,“平均子集”A:0,故fT(1)=1;当k=2时,“平均子集”A可取-a,a,其中a=1,2,3,4,故fT(2)=4;当k=3时,“平均子集”A可取-4,0,4,-4,1,3,-3,-1,4,-3,0,3,-3,1,2,-2,-1,3,-2,0,2,-1,0,1,故fT(3)=8;当k=4时,“平均子集”A可取-4,-3,3,4,-4,-2,2,4,-4,-1,1,4,-4,-1,2,3,-4,0,1,3,-3,-2,1,4,-3,-2,2,3,-3,-1,1,3,-3,-1,0,4,-3,0,1,2,-2,-1,0,3,-2,-1,1,2,故fT(4)=12.利用对称性知,fT(5)=12.所以D正确、C错误,故选C.