数学第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件高考数学高考数学考点一命题及其关系考点一命题及其关系1.命题:可以判断真假的语句叫做命题.2.一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用p和q分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式如下:原命题:若p,则q(pq);逆命题:若q,则p(qp);否命题:若p,则q(pq);逆否命题:若q,则p(qp).知识清单3.四种命题的关系4.原命题的真假与其他三种命题的真假有如下四种关系:a.原命题为真,它的逆命题不一定为真;b.原命题为真,它的否命题不一定为真;c.原命题为真,它的逆否命题一定为真;d.逆命题为真,否命题一定为真.考点二充分条件与必要条件考点二充分条件与必要条件1.“若p,则q”是真命题,即pq;“若p,则q”为假命题,即pq.2.(1)若pq,则p是q的充分条件;(2)若qp,则p是q的必要条件;(3)若pq,但p q,则p是q的充分不必要条件;(4)若pq,但p q,则p是q的必要不充分条件;(5)若pq,且p q,则p是q的充要条件;(6)若pq,且p q,则p是q的既不充分也不必要条件.3.从集合角度理解若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x),则关于充分、必要条件又可叙述为:若AB,则p是q的充分条件;若AB,则p是q的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件;若A B,则p是q的充分不必要条件;若A B,则p是q的必要不充分条件;若A B,且A B,则p是q的既不充分也不必要条件.命题真假判断的解题策略命题真假判断的解题策略1.逆命题、否命题与逆否命题也可以叙述为:(1)交换原命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的逆命题.(2)同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的否命题.(3)交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题.2.常用的正面叙述词语及其否定词语方法技巧方法1正面词语等于大于小于是否定词语不等于不大于不小于不是正面词语都是任意的所有的任两个否定词语不都是某个某些某两个正面词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个3.命题真假的判断(1)判定一个命题是真命题,要通过严格的推理论证,而要说明一个命题是假命题,只需举一反例.(2)利用“等价命题”判断真假由于互为逆否的两个命题是等价命题,它们同真或同假,所以当一个命题不易直接判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例1(2017浙江嘉兴基础测试,4)对于空间的三条直线m,n,l和三个平面,下列命题为假命题的是()A.若m,n,则mn B.若,m,则mC.若,=l,则l D.若m,n,则mnD解题导引由线面垂直的性质和面面平行的性质知A,B正确由面面垂直的性质和线面垂直的判定与性质知C正确举反例知D错解析由线面垂直的性质知,A正确.由面面平行的性质知,B正确.对于选项C,在平面内任取一点P,过点P分别作平面,的垂线b,c,由l和b,得bl,同理有cl,故l,即C正确.D选项,直线m,n还可能异面,相交.故选D.由命题真假求相应参数的取值范围的解题策略由命题真假求相应参数的取值范围的解题策略对于已知简单命题的真假,求参数范围问题,常转化为恒成立问题解决.例2已知命题p:“对于任意的实数x,存在实数m,使得4x-2x+1+m=0”,且命题p是假命题,则实数m的取值范围为.方法2解题导引当命题p是真命题时,求出实数m的取值范围当命题p是假命题时得结论解析设t=2x,则t0,所以f(t)=-4x+2x+1=-t2+2t在区间(0,1上为增函数,在区间1,+)上为减函数,则对于任意的实数x,有-4x+2x+11,当命题p是真命题时,有m=-4x+2x+11.从而当命题p是假命题时,实数m的取值范围为m1.答案m1 充要条件的解题策略充要条件的解题策略1.判断命题的充要关系有三种方法:(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.(2)等价法:利用AB与BA,BA与AB,AB与BA的等价关系判断.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.2.已知充分必要条件,求参数值(范围)问题,常利用集合间的关系,列出关于参数的不等式(组)求解.例3(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,3)在ABC中,“0”是“ABC为锐角三角形”的()ABAC方法3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件例3(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,3)在ABC中,“0”是“ABC为锐角三角形”的()ABACB解题导引利用向量数量积的性质和充要条件判断得结论.解析由0可知角A为锐角,但不能确保ABC为锐角三角形,故充分性不成立;反之,若ABC为锐角三角形,则角A为锐角,故0,必要性成立.故选B.ABACABAC例4(2016浙江模拟训练卷(一),1)已知p:-2x6;q:-1+mx3+m,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是()A.(-1,3)B.-1,3C.(-,-1)(3,+)D.(-,-13,+)B解题导引把必要不充分条件转化为集合关系利用集合间的包含关系得结论解析依题意有qp,但p/q,即x|-1+mx3+m x|-2x6,则有得-1m3.故选B.21,36,mm