数学第八章 立体几何初步 第7课时 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 理

第第7节立体几何中的向量方法节立体几何中的向量方法(一一)证明平行与垂直证明平行与垂直0101020203030404考点三考点三考点一考点一考点二考点二例例1 训练训练1利用空间向量证明平利用空间向量证明平行问题行问题利用空间向量证明垂利用空间向量证明垂直问题直问题用空间向量解决探索用空间向量解决探索性问题性问题(多维探究多维探究)诊断自测诊断自测例例2 训练训练2例例3-1 例例3-2 训练训练3恰当建立坐标系，准确表示各点与恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键明平行和垂直的关键Oyzx恰当建立坐标系，准确表示各点与恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键明平行和垂直的关键Oyzx恰当建立坐标系，准确表示各点与恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键明平行和垂直的关键OyzxF恰当建立坐标系，准确表示各点与恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键明平行和垂直的关键OyzxF考点一利用空间向量证明平行问题证明证明(1)取取BC的中点的中点O，连接，连接PO，平面平面PBC底面底面ABCD，BC为交线，为交线，PO 平面平面PBC，PBC为等边三角形为等边三角形，即即POBC，PO底面底面ABCD.以以BC的中点的中点O为坐标原点，以为坐标原点，以BC所在直线为所在直线为x轴，轴，过点过点O与与AB平行的直线为平行的直线为y轴，轴，OP所在直线为所在直线为z轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示建立空间直角坐标系，如图所示.OxyzOxyzOxyzM考点二利用空间向量证明垂直问题xyz(1)证明证明因为平面因为平面PAD平面平面ABCD，ABAD，所以所以AB平面平面PAD，所以，所以ABPD.又因为又因为PAPD且且ABPAA，PA，AB平面平面PAB，所以所以PD平面平面PAB.(2)解解取取AD的中点的中点O，连接，连接PO，CO.因为因为PAPD，所以，所以POAD.又因为又因为PO 平面平面PAD，平面，平面PAD平面平面ABCD，所以所以PO平面平面ABCD.O因为因为CO 平面平面ABCD，所以，所以POCO.因为因为ACCD，所以，所以COAD.如图，建立空间直角坐标系如图，建立空间直角坐标系O - xyz.由题意得，由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).设设M是棱是棱PA上一点，上一点，Oxyz(1)证明证明平面平面ADEF平面平面ABCD，平面平面ADEF平面平面ABCDAD，AFAD，AF 平面平面ADEF，AF平面平面ABCD.又又AC 平面平面ABCD，AFAC.过过A作作AHBC于于H，ABAFA，AB，AF 平面平面FAB，AC平面平面FAB，BF平面平面FAB，ACBF.Hx轴，轴，y轴，轴，z轴正方向，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz，则则A(0，0，0)，B(2，0，0)，假设假设在线段在线段BE上存在一点上存在一点P满足题意，满足题意，则易知点则易知点P不与点不与点B，E重合，重合，(2)解解存在存在. 由由(1)知，知，AF，AB，AC两两垂直，两两垂直，xyzxyz证明证明(1)因为因为AA1C1C为正方形，所以为正方形，所以AA1AC.因为平面因为平面ABC平面平面AA1C1C，AA1 平面平面AA1C1C，且且AA1垂直于这两个平面的交线垂直于这两个平面的交线AC，所以所以AA1平面平面ABC.(2)由由(1)知知AA1AB，AA1AC.由题知由题知AB3，BC5，AC4，所以，所以ABAC.如图，以如图，以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系A - xyz.则则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4).xyzxyz