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3.2.3立体几何中的向量方法一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”（1 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（化为向量问题）（化为向量问题）（2 2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（进行向量运算）（3 3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（回到图形）（回到图形）向量的有关知识：3、平面的法向量：、平面的法向量：_1、两向量数量积的定义：、两向量数量积的定义：a b= _2、两向量夹角公式：、两向量夹角公式：cos a,b = _ |a|b| cosa,b与平面垂直的向量与平面垂直的向量baba 例1：在RtAOB中，AOB=90，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。ABOF1B1O1A1D1二、知识讲解与典例分析二、知识讲解与典例分析ABOF1B1O1A1D1 解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，并设OA=1,则：A(1,0,0)B(0,1,0)F1( ,0,1)21D1( , ,1)2121),1 , 0 ,21(1AF所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为1030 例1：在RtAOB中，AOB=90，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。xyz) 1 ,21,21(1BD23451041111111,cosBDAFBDAFBDAF1030点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤建系求两异面直线的方向向量求两方向向量的夹角的余弦值得两异面直线所成角的余弦值 例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点， (1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值; (2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解： (1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1),0 , 1 , 0(11CB)0 , 1 , 1 (),1 , 0 , 1 (1ACAB设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)33C001 ACnABn,则故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为3331010111111,cosCBnCBnCBn点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤建系求直线的方向向量求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值得直线与平面所成角的正弦值求平面的法向量xyzADCA1D1C1B1BFE 例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。取y2=1,得x2=z2=-2(2)由题意知)0,1 ,21(),21,1 ,0(FE)0 , 1 ,21(),21, 1 , 0(AEAF设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2),所以02122zy02122 yx故m=(-2, 1,-2)又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1) 观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值为320, 0AEmAFm则32132111,cosAAmAAmAAm点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤建系求两平面的法向量求两法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值abo过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a与b，那么直线a与b 所成的不大于90的角 ，叫做异面直线a与b 所成的角。异面直线所成的角异面直线所成的角 （范围：（范围： ）2,0ab（1）当 与 的夹角不大于90时，异面直线a、b 所成的角 与 和 的夹角mnmn用向量法求异面直线所成角用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为 和 ，mnababocosnm,cosn相等相等m互补互补ababonmcosnm,cos（2）当 与 的夹角大于90时，异面直线a、b 所成的角 与 和 的夹角mnnm所以，异面直线所以，异面直线a a、b b所成的角的余弦所成的角的余弦值为值为nmnm 用向量法求异面直线所成角用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为 和 ，mnnm,coscos222222212121212121zyxzyxzzyyxx直线与平面所成的角直线与平面所成的角 （范围：（范围： ）2,0=sinnAB,cosBAOn nBAOn n相等相等=nAB,cos=)2cos()2cos(互补互补nAB,cos所以，直线与平面所成的角的正弦值为 的余角与的关系？问题1 的余角与的关系？问题2二面角二面角（范围：（范围： ）,0n n1 1n n2 221,nn21,nncos21,cosnncos21,cosnnn n1 1n n2 2 例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值. abcd ABCD 解：如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算222)(DBCDACABd DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得22222dcbaDBCA 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角.CADB 因此.cos22222dcbaab 所以.2cos2222abdcba 回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba )(2222DBCDDBACCDACBDCDACl 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，直线直线SO平面平面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求： 异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； 直线直线OS与平面与平面SAB所成角所成角的正弦值；的正弦值； 二面角二面角BASO的余弦值的余弦值. .OABCS三、巩固练习三、巩固练习 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO平面平面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求求异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； OS与平面与平面SAB所成角所成角的正弦值；的正弦值； 二面角二面角BASO的余弦值的余弦值. .A（2，0，0）；于是我们有OABCS=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），则O（0，0，0）；解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示xyzC（0，1，0）；510252OBSAOBSAOBSA,cos).1 (所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为510（3）由（2）知面SAB的法向量 =（1，1，2） 1n又OC平面AOS，OC 是平面AOS的法向量，令)0, 1 ,0(2 OCn则有二面角BASO的余弦值为66020zxyx取x=1，则y=1，z=2；故)2 , 1 , 1 (n（2）设平面SAB的法向量),(zyxn 显然有0, 0SAnABn36612,cossinnOSnOSnOS66161,cos212121nnnnnnababocosnm,cosnmababonmcosnm,cosmnnm四、课堂小结四、课堂小结1.异面直线所成角： cos|cos,| a b2.直线与平面所成角： sincos, n AB|ABOnnlcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA3.二面角：ll 1n 1n 2n 2n cos12cos, n ncos12cos, n n 五、布置作业：五、布置作业：课本课本P112P112、A A组第组第6 6题题
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