物理第九章 磁场 9.3 带电粒子在复合场中的运动

第3讲带电粒子在复合场中的运动 【知识导图】动能定理场力电场力洛伦玆力牛顿运动定律能量守恒定律【微点拨】1.带电粒子在复合场中运动性质的确定:取决于带电粒子所受的合外力以及初始状态的速度。2.灵活选择规律:(1)动力学观点:常用来解决复合场中匀变速直线运动、匀速圆周运动等。(2)动量观点:解决“打击”“碰撞”“粘合”等问题。(3)能量的观点:常用于处理带电粒子在磁场中的变加速运动、复杂的曲线运动等,但要注意三力做功的特点。【慧眼纠错】(1)带电粒子在匀强磁场中只受洛伦兹力和重力时,可能做匀加速直线运动。纠错:_。若粒子做匀加速直线运动,在垂直运动的方向上,洛伦兹力变大,合力不可能总为零,与粒子做直线运动矛盾(2)带电粒子在复合场中不可能做匀速圆周运动。纠错:_。当带电粒子所受的重力与电场力等大反向时,粒子可能在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动(3)不同比荷的粒子在质谱仪磁场中做匀速圆周运动的半径可能相同。 纠错:_。由qU= ,qvB=m 可得R= 。R不可能相同21mv22vR22UmqB(4)粒子在回旋加速器中做圆周运动的半径、周期都随粒子速度的增大而增大。纠错:_。 根据R= ,粒子在回旋加速器中做圆周运动的半径随粒子速度的增大而增大,周期不变mv2 mTqBqB、(5)在速度选择器中做匀速直线运动的粒子的比荷都相同。纠错:_。带电粒子在速度选择器中做匀速直线运动的条件是v= ,与其比荷大小无关EB考点1带电粒子在组合场中的运动【典题探究】【典例1】(2018日照模拟) 如图所示,坐标平面第象限内存在大小为E=4105 N/C、方向水平向左的匀强电场,在第象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量与电荷量之比为 =410-10 kg/C的带正电mq粒子从x轴上的A点以初速度v0=2107 m/s垂直x轴射入电场,OA=0.2 m,不计重力。求:导学号04450211(1)粒子经过y轴时的位置到原点O的距离。(2)若要求粒子不能进入第象限,求磁感应强度B的取值范围。(不考虑粒子第二次进入电场后的运动情况)【解题探究】(1)带电粒子在第象限内做_运动,在第象限内做_运动。(2)粒子恰不能进入第象限的条件是运动轨迹与x轴_。类平抛匀速圆周相切【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动,设粒子在电场中运动的时间为t,粒子经过y轴时的位置与原点O的距离为y,沿电场方向:qE=masOA= at2垂直电场方向:y=v0t联立解得a=1.01015 m/s2;t=2.010-8 s;y=0.4 m12(2)粒子经过y轴时在电场方向的分速度为:vx=at=2107 m/s粒子经过y轴时的速度大小为:v= 107 m/s与y轴正方向的夹角为,则=arctan =4522x0vv2 2 x0vv要使粒子不进入第象限,如图所示,此时粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R,由几何关系得:R+ Ry在磁场中由牛顿第二定律得qvB=m 联立解得B(2 +2)10-2 T。答案:(1)0.4 m(2)B(2 +2)10-2 T22222vR【通关秘籍】1.组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,电场、磁场交替出现。2.分析思路:(1)划分过程:将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段,对不同的阶段选取不同的规律处理。(2)找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。(3)画运动轨迹:根据受力分析和运动分析,大致画出粒子的运动轨迹图,有利于形象、直观地解决问题。3.组合场中的两种典型偏转:【考点冲关】如图所示,两块平行极板AB、CD正对放置,极板CD的正中央有一小孔,两极板间距离AD为d,板长AB为2d,两极板间电势差为U,在ABCD构成的矩形区域内存在匀强电场,电场方向水平向右。在ABCD矩形区域外有垂直于纸面向里的范围足够大的匀强磁场。极板厚度不计,电场、磁场的交界处为理想边界。将一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子在极板AB的正中央O点由静止释放。不计带电粒子的重力。(1)求带电粒子经过电场加速后,从极板CD正中央小孔射出时的速度大小。(2)为了使带电粒子能够再次进入匀强电场,且进入电场时的速度方向与电场方向垂直,求磁场的磁感应强度的大小。(3)通过分析说明带电粒子第二次离开电场时的位置,并求出带电粒子从O点开始运动到第二次离开电场区域所经历的总时间。【解析】(1)设带电粒子经过电场加速后,从极板CD正中央小孔射出时的速度大小为v由动能定理 qU= mv2,解得v= 122qUm(2)带电粒子第一次从电场中射出后,在磁场中做匀速圆周运动,若能够再次进入匀强电场,且进入电场时的速度方向与电场方向垂直,运动方向改变270,由此可知在磁场中的运动轨迹为四分之三圆,圆心位于D点,半径为d,由A点垂直射入电场。带电粒子在磁场中运动时,洛伦兹力充当向心力。由牛顿第二定律Bqv=m ,解得B= 2vdmv1 2mUqddq(3)带电粒子由A点垂直于电场方向射入电场之后做类平抛运动。若能够射出电场,运动时间t1= ,沿电场方向的侧移s= a ,= ,解得s=d2d2mdvqU12EqUqmdm21t因此带电粒子恰能从C点射出。轨迹如图所示。带电粒子第一次在电场中加速,运动时间为t1带电粒子在磁场中偏转,运动时间为t2。洛伦兹力充当向心力。由牛顿第二定律Bqv= , T= =d t2= T= d 224 dT2 mBq2mqU2mqU3434带电粒子第二次在电场中偏转,运动时间也为t1因此带电粒子运动从O点到C点的总时间t总=2t1+t2=(2+ )d 。答案:(1) (2) (3)(2+ )d 2mqU341 2mUdq2qUm342mqU【加固训练】如图所示,板间距为d、板长为L的两块平行金属板EF、GH水平放置,在紧靠平行板右侧的正三角形区域内存在着垂直纸面的匀强磁场,三角形底边BC与GH在同一水平线上,顶点A与EF在同一水平线上。一个质量为m、电量为-q的粒子沿两板中心线以初速度v0水平射入,若在两板之间加某一恒定电压,粒子离开电场后垂直AB边从D点进入磁场,BD= AB,并垂直AC边射出(不计粒子的重力),求:14(1)上下两极板间的电势差UEG;(2)三角形区域内匀强磁场的磁感应强度。(3)若两板间不加电压,三角形区域内的磁场方向垂直纸面向里,要使粒子进入磁场区域后能从AB边射出,试求所加磁场的磁感应强度最小值。【解析】(1)粒子以v0速度进入偏转电压为U的偏转电场,做类平抛运动,设加速度为a1,则有L=v0t,vy=a1t,a1= 解得vy= 由几何关系得tan30 = 故U= 0qULmdv （）qUdmy0vv203mdv3qL由粒子带负电并且在电场中向下偏转可知,下极板带正电,板间电场场强的方向垂直平行板向上。所以上下两极板间的电势差UEG=- 203mdv3qL(2)如图1所示,垂直AB边进入磁场,由几何关系得,粒子离开电场时速度偏向角为=30,则粒子离开电场时瞬时速度的大小为 00v2 3vcos3由几何关系得:LAB= = d设在磁场中运动半径为r1,则r1= LAB= d三角形区域内磁感应强度的大小为B,由牛顿第二定律得B1qv= ,联立解得B1= ,方向为垂直纸面向外。dcos302 32323421mvr04mv3qd(3)当粒子刚好与BC边相切时,磁感应强度最小值为B2,设粒子的运动半径为r2,如图2所示,由几何关系知:r2= 由牛顿第二定律得qv0B2=m 解得 B2= 答案:(1)- (2) 方向为垂直纸面向外(3) d4202mvr04mvqd203mdv3qL04mv3qd04mvqd考点2带电粒子在交变电、磁场中的运动 【典题探究】【典例2】如图(a)所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中,电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图象如图(b)所示,y轴正方向为E的正方向,垂直于纸面向里为B的正方向。t=0时刻,带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出,它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量,图(b)中 ,在0t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为( )。求: 导学号044502120020E8vB0 00 02v t2v t，(1)粒子P的比荷。(2)t=2t0时刻粒子P的位置。(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。【题眼直击】(1)带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出。(2)0t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为( )。0 00 02v t2v t，【解析】(1)0t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动,当粒子所在位置的纵、横坐标相等时,粒子在磁场中恰好经过 圆周,所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R,即R= ,又qv0B0= ,140 02v t02mvR代入 解得 0020E8vB00 04vqmE t(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T,则T= , 联立解得T=4t0,即粒子P做 圆周运动后磁场变为电场,粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动,设t02t0时02 Rv14间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1,则x1=v0t0= ,y1= a ,其中加速度a= 由解得y1= =R,因此t=2t0时刻粒子P的位置坐标为( v0t0,0),如图中的b点所示。2 RR421202t0qEm0 02v t2(3)分析知,粒子P在2t03t0时间内,电场力产生的加速度方向沿y轴正方向,由对称关系知,在3t0时刻速度方向为x轴正方向,位移x2=x1=v0t0;在3t05t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动,往复运动轨迹如图所示,由图可知,带电粒子在运动中距原点O的最远距离L即O、d间的距离L=2R+2x1,解得L= 2v0t0答案:(1) (2)( v0t0,0)(3) 2v0t02200 04vE t2【通关秘籍】解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路先读图先读图看清、并明白场的变化情况看清、并明白场的变化情况受力分析受力分析分析粒子在不同的变化场区的受力情分析粒子在不同的变化场区的受力情况况过程分析过程分析 分析粒子在不同时间内的运动情况分析粒子在不同时间内的运动情况找衔接点找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量找出衔接相邻两过程的物理量选规律选规律联立不同阶段的方程求解联立不同阶段的方程求解【考点冲关】(2018合肥模拟)如图甲所示,带正电粒子以水平速度v0从平行金属板MN间中线OO连续射入电场中。MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压UMN,两板间电场可看作是均匀的,且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B,分界线为CD,EF为屏幕。金属板间距为d,长度为l,磁场的宽度为d。已知:B=510-3 T,l=d=0.2 m,每个带正电粒子的速度v0=105 m/s,比荷为 =108 C/kg,重力忽略不计,在每个粒子通过电场区域的极短时间内,电场可视作是恒定不变的。试求:qm(1)带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径。(2)带电粒子射出电场时的最大速度。(3)带电粒子打在屏幕上的范围。【解析】(1)t=0时刻射入电场的带电粒子不被加速,进入磁场做圆周运动的半径最小。粒子在磁场中运动时qv0B= 则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径02minmvrrmin= =0.2 m,其运动的径迹如图中曲线所示。5083mv10 mqB105 10 (2)设两板间电压为U1,带电粒子刚好从极板边缘射出电场,则有 代入数据,解得U1=100 V在电压低于100 V时,带电粒子才能从两板间射出电场,电压高于100 V时,带电粒子打在极板上,不能从两板间2210Uqd11at)222 dm v（l射出。带电粒子刚好从极板边缘射出电场时,速度最大,设最大速度为vmax,则有 解得vmax= 105 m/s=1.414105 m/s。201max2U11mvmvq2222(3)由第(1)问计算可知,t=0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径rmin=d=0.2 m,径迹恰与屏幕相切,设切点为E,E为带电粒子打在屏幕上的最高点,则 =rmin=0.2 m带电粒子射出电场的速度最大时,在磁场中做圆周运动的半径最大,打在屏幕上的位置最低。OE设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为rmax,打在屏幕上的位置为F,运动径迹如图中曲线所示。qvmaxB= 则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径rmax= 2maxmaxmvr5max83mv2 102m mqB105 10 5 由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上,如图中Q点所示,并且Q点必与M板在同一水平线上。则 带电粒子打在屏幕上的最低点为F,则 d0.2OQ m 0.1 m22 max2OF rOQ0.1 m 0.18 m5 即带电粒子打在屏幕上O上方0.2 m到O下方0.18 m的范围内。答案:(1)0.2 m(2)1.414105 m/s(3)O上方0.2 m到O下方0.18 m的范围内考点3带电粒子在叠加场中的运动 【典题探究】【典例3】(2017全国卷)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里,三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等,质量分别为ma、mb、mc。已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是()导学号04450213A.mambmc B.mbmamcC.mcmambD.mcmbma 【解析】选B。设电场强度为E、磁感应强度为B、三个微粒的带电量均为q,它们受到的电场力Eq方向均竖直向上。微粒a在纸面内做匀速圆周运动,有Eq=mag;b在纸面内向右做匀速直线运动,有Eq+Bqvb=mbg;c在纸面内向左做匀速直线运动,有Eq-Bqvc=mcg;可得:mbmamc。【迁移训练】 迁移1:叠加场中的匀速圆周运动(多选)在空间某一区域里,有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B,且两者正交。有两个带电油滴,都能在竖直平面内做匀速圆周运动,如图所示,则两油滴一定相同的是()A.带电性质B.运动周期C.运动半径D.运动速率【解析】选A、B。油滴受重力、电场力、洛伦兹力做匀速圆周运动。由受力特点及运动特点知,得mg=qE,结合电场方向知油滴一定带负电且两油滴比荷 。洛伦兹力提供向心力,有周期T= ,所以两油滴周期相等,故选A、B。由r= 知,速度v越大,半径则越大,故不选C、D。qgmE2 mqBmvqB迁移2:叠加场中的匀速直线运动(2016北京高考)如图所示,质量为m,电荷量为q的带电粒子,以初速度v沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场,在磁场中做匀速圆周运动。不计带电粒子所受重力。(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R和周期T。(2)为使该粒子做匀速直线运动,还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场,求电场强度E的大小。【解析】(1)粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有f=qvB=m 解得粒子做匀速圆周运动的半径R= 粒子做匀速圆周运动的周期T= 2vRmvqB2 R2 mvqB(2)粒子受电场力F=qE,洛伦兹力f=qvB,粒子做匀速直线运动,由二力平衡可知,qE=qvB。解得电场强度的大小E=vB。答案:(1) (2)vBmvqB2 mqB迁移3:带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动(多选)(2018赣州模拟) 如图所示,在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中,有一竖直足够长固定绝缘杆MN,小球P套在杆上,已知P的质量为m、电荷量为+q,电场强度为E,磁感应强度为B,P与杆间的动摩擦因数为,重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中()A.小球的加速度一直减小B.小球的机械能和电势能的总和保持不变C.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v= D.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v= 2 qE mg2 qB2 qE mg2 qB【解析】选C、D。开始时对小球受力分析如图所示,则mg-(qE-qvB)=ma,随着v的增加,小球加速度先增大,当qE=qvB时达到最大值,amax=g,继续运动,mg-(qvB-qE)=ma,随着v的增大,a逐渐减小,所以A错误。因为有摩擦力做功,机械能与电势能总和在减小,B错误。若在前半段达到最大加速度的一半,则mg-(qE-qvB)=m ,得v= ;若在后半段达到最大加速度的一半,则mg-(qvB-qE)=m ,得v= ,故C、D正确。2 qE mg2 qB2 qE mg2 qBg2g2【通关秘籍】1.带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类:(1)洛伦兹力、重力并存。若重力和洛伦兹力平衡,则带电粒子做匀速直线运动。若重力和洛伦兹力不平衡,则带电粒子将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒,由此可求解问题。(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)。若电场力和洛伦兹力平衡,则带电粒子做匀速直线运动。若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电粒子将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,可用动能定理求解问题。(3)电场力、洛伦兹力、重力并存。若三力平衡,一定做匀速直线运动。若重力与电场力平衡,一定做匀速圆周运动。若合力不为零且与速度方向不垂直,将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,可用能量守恒定律或动能定理求解问题。2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动:带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道约束的情况下,常见的运动形式有直线运动和圆周运动,分析时应注意:(1)分析带电粒子所受各力尤其是洛伦兹力的变化情况,分阶段明确物体的运动情况。(2)根据物体各阶段的运动特点,选择合适的规律求解。【加固训练】(多选) 地球大气层外部有一层复杂的电离层,既分布有地磁场,也分布有电场。假设某时刻在该空间中有一小区域存在如图所示的电场和磁场;电场的方向在纸面内斜向左下方,磁场的方向垂直纸面向里。此时一带电宇宙粒子恰以速度v垂直于电场和磁场射入该区域,不计重力作用,则在该区域中,有关该带电粒子的运动情况可能的是()A.仍做直线运动B.立即向左下方偏转C.立即向右上方偏转 D.可能做匀速圆周运动【解析】选A、B、C。比较Eq与Bqv,因二者开始时方向相反,当二者相等时,A正确;当EqBqv时,向电场力方向偏转,当Eq99%,解得d 。答案:(1) (2) (3)dr0,则它进入区域时仍将沿直线通过D.若密度相同的纳米粒子的半径rr0,它进入区域时仍沿直线通过,则区域的电场强度与原电场强度之比为 00q Um0rr【解析】选A、D。设半径为r0的粒子加速后的速度为v,则有q0U= m0v2,设区域内电场强度为E,由题意可知洛伦兹力等于电场力,即q0vB=q0E,联立解得E=B ,则 = 区域左右两极板的电势差为Ed=Bd ,故A正确,B错误;若纳米粒子的半径rr0,设半径为r的粒子的质量为m、带电荷量为q、加速后12002q UmEB002q Um002q Um的速度为v,则m= m0,而q= q0,由 mv2=qU,解得v= v,故粒子进入区域后受到的洛伦兹力小于受到的电场力,粒子向左偏转,故C错误;由于v= ,由E=Bv可得,区域的电场与原电场的电场强度之比为 ,故D正确。30rr（ ）20rr（ ）12【加固训练】(多选)如图所示,导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间,线圈中电流为I,线圈间产生匀强磁场,磁感应强度大小B与I成正比,方向垂直于霍尔元件的两侧面,此时通过霍尔元件的电流为IH,与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压UH满足:UH= ,式中k为霍尔系数,d为霍尔元件两侧面间的距离。电阻R远大于RL,霍尔元件的电阻可以忽略,则()A.霍尔元件前表面的电势低于后表面B.若电源的正负极对调,电压表将反偏C.IH与I成正比D.电压表的示数与RL消耗的电功率成正比【解析】选C、D。导电物质为电子,由左手定则可判定,霍尔元件的后表面积累负电荷,电势较低,故A错误;由电路关系可知,当电源的正、负极对调时,通过霍尔元件的电流IH和所在空间的磁场方向同时反向,前表面的电势仍然较高,故B错误;由电路可见, ,则IH= I,故C正确;RL的热功率PL= ,因为B与I成正比,故有 ,可得知UH与RL消耗的电功率成正比,故D正确。带电粒子在复合场中的运动 【经 典 案 例】 (19分)(2018天水模拟)如图甲所示,在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场,变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正)。在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v0,方向沿y轴正方向的带负电粒子。已知v0、t0、B0,粒子的比荷为 ,不计粒子的重力。导学号044502160 0B t(1)t=t0时,求粒子的位置坐标。(2)若t=5t0时粒子回到原点,求05t0时间内粒子距x轴的最大距离。(3)若粒子能够回到原点,求满足条件的所有E0值。 【思维轨迹】【规范解答】 解: (1)由粒子的比荷 = ,则粒子做圆周运动的周期T= =2t0(1分)则在0t0内转过的圆心角=(2分)由牛顿第二定律qv0B0= (2分)得r1= ,0 0B tqm02 mBq201vmr0 0v t位置坐标为( ,0)。(2分)(2)粒子在t=5t0时回到原点,轨迹如图所示r2=2r1,r1= ,r2= (3分)得v2=2v0,又 = ,r2= (2分)粒子在t02t0时间内做匀加速直线运动,2t03t0时间内做匀速圆周运动,则在05t0时间内粒子距x轴的最大距离:hm= t0+r2=( )v0t0。(2分) 0 02v t00mvBq20mvBq0 0B tqm0 02v t00v2v2322(3)如图所示,设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1,在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r2,由几何关系可知,要使粒子经过原点,则必须满足:n(2r2-2r1)=2r1,(n=1,2,3,)(1分)r1= ,r2= (1分)联立以上各式解得v= v0,(n=1,2,3,)(1分)又由v=v0+ ,得E0= ,(n=1,2,3,)。(2分)0mvBq0mvBqn 1n00E qtm00v Bn【答题规则】规则1:仔细审题,弄清题意本题考查带电粒子在交变电磁场中的运动,题中不考虑重力,出发点在原点,电磁场不同时存在,要么粒子做圆周运动,要么做匀变速直线运动,往往粒子运动轨迹特殊。规则2:规范解析书写过程,注意分步列式对所列方程最好用序号标出,阅卷老师才好找到得分点;尽量不要列连等式,以防由于写综合方程,一处出错则全部没分。 规则3:保证结果计算正确本题较多的是数学表达式的推导,要提高计算能力,会做的题尽量做对。只要结果正确,前面书写的稍有不规范,阅卷老师也可能不在意,但一旦结果错误,阅卷老师再找得分点时,书写不规范或马虎往往就会吃亏。规则4:等价给分采用不同的思路,只要方程正确,也确实能推出正确答案的,就能给分。规则5:只看对的,不看错的对于不会做的题目,要把与本题相关的公式都写上,公式是主要得分点,阅卷时只看评分标准中给定的公式来给分,无用的如果写了,不给分也不扣分。