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用Matlab实现恒定磁场的可视化卫延1,邵小桃2,郑晶晶1,郭勇2(1 .北京交通大学 全光网与现代通信网教育部重点实验室，北京100044)(2.北京交通大学 电子信息工程学院，北京100044)摘要：Matlab可用来对抽象的电磁场进行可视化。磁力线图能清晰反映恒定磁场的空间走向、宏观概况和细节状态，具有 清晰的物理意义及良好的可视化效果。本文以无限长载流直导线、无限长载流直导线的组合和载流细圆环为例，论述了用 Matlab绘制磁力线的原则、技巧和经验，对静态电磁场的可视化具有指导意义和参考价值。关键词：恒定磁场；可视化；Matlab中图分类号：G643 TP391文章标识码：A文章编号Realize the Visualization of the Magnetostatic Field by MatlabWEI Yan SHAO Xiao-tao2, ZHENG Jing-jing1, GUO Yong2(1 .Institute of Full Optical network and Modem Communication Network, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)(l.School of Electronics and Information Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China )Abstract: The abstract electromagnetic field is visualized with Matlab. The magnetic field lines, which has clear physical meaning and good visualizetion effect, clearly reflects the spatial trend direction, macroscopic general situation and detail state of the magnetostatic filed. The magnetostatic filed of Infinitely long DC conductor line, lines and Current-carring ring are visualized in this paper, which demonstrates the principle, techniques and experience to draw magnetic field lines with Matlab. The principle, techniques and experience have guiding significance and reference value for the visulization of static electromagnetic field.Keywords: magnetostatic field; visualization; Matlabo引言入清晰美观的场分布图和生动形象的动画是十分必要的。Matlab具有强大的数据计算能力和图形处理 “电磁场与电磁波”课程内容抽象，在教学中引能力，是常见的电磁场可视化工具4,可以用来描绘静态场、时变场和电磁波的场分布形态。电磁场空间分布通常比较复杂，如何正确、清 晰、生动形象地描述电磁场是可视化技术的核心内 容。电力线、等位面、磁力线等常用来表示电磁场 的空间分布。其中电位是标量，用二维曲面来表示 是足够的、充分的，可用的Matlab命令有contour, mesh, surf等。而电场强度和磁感应强度是矢量， 表示矢量时既要标明大小，又要标明方向。有两种 方法表示矢量场，一种是点矢量图，在区域均匀选 择很多散点，在这些散点上绘制箭头，对应的Matlab 命令是quiver；另外一种是流线图，线上任一点的 切线方向代表该点场的方向，线的疏密程度表示场 值的大小，电力线是电场强度的流线，磁力线是磁 感应强度的流线，可以用Matlab中的streamline命 令来绘制流线图。与点矢量图相比，流线图能清晰 地表示出场的起始点、空间走向、终止点，不仅能 反映场分布细节，而且能反映场分布的宏观概况， 因而具有更好的可视化效果。但是用streamline命令 绘制正确的电力线图和磁力线图步骤较复杂，需要 一些技巧和经验。本文用Maltab软件，对“电磁场 与电磁波”课程中恒定磁场中的几种基本模型进行 可视化，重点介绍用streamline命令绘制磁力线的原 则、技巧和经验。1单根无限长载流直导线的磁场分布无限长载流直导线是恒定磁场中的基本模型。 假设位于自由空间圆柱坐标系Z轴上无限长载流直 导线，电流为/,则空间磁感应强度呈圆柱对称分布： B = aM(2np),其中p是场点到z轴的距离。 用Matlab中的quiver命令，绘制的导线横截面上B 的矢量点图如图1(a)所示，用streamline命令绘制的 磁力线图如图1(b)所示。显然streamline图比quiver 图更整洁、清晰、美观，能从整体上反映出无限长 载流直导线的磁感应强度的宏观特征。使用streamline命令绘制磁力线，必须指定起点。 指定几个起点，Matlab就绘制几条磁力线。原则上磁力线的疏密程度反映磁感应强度的大小，我们称 之为磁力线的原则性条件。此条件可以准确表述为: 单位长度内磁力线的条数与|可成正比，即磁力线的 间距正比于l/|B|o原则性条件是确定磁力线的间距 的依据。无限长载流直导线的|图与1伍成正比，所 以磁力线的间距与成正比。可以在尤正半轴上选 择磁力线的起点为(。,0), (30), (6。,0), (n(n+l)o/2,0),其中。是围绕导线的最近的第一条磁力线的半径，这样绘制的磁力线就满足原则 性条件，因而是正确的磁力线图。将图1(b)与图1(a) 的quiver图做对比,B的分布状态与变化趋势一致， 可验证图1(b)的正确性。(a)quiver 图 (b)streamline 图OS0510 502600260.6xfm(c)数值误差导致绘制的磁力线贴合图1单无限长载流直导线的磁感应强度分布直接使用streamline命令绘制磁力线，发现磁力 线会变粗，靠近导线的地方，磁力线会混叠在一起， 如图1(c)所示。这是因为Matlab执行streamline命 令时，会从指定的起点开始，不停的绘制磁力线， 直到碰到绘图区域的边界或者绘制的点(磁力线是 由很多点连接而成的曲线)的数量达到预设的数值 为止。图1(C)中的任意一条磁力线，在streamline 命令执行过程中，磁力线从起点(+1)。/2,0)开始, 绕行一周回再回到起点，并不会自动停止，而是会 不断画下去，直到绘制的点数量达到预设的数值。由于存在数值计算误差，从起点开始绘制磁力线， 绘制一圈后，通常不能精确返回到起点。再绕行若 干周，直到达到默认的绘图数据点数而停止，所得 的磁力线并不是一个精确的圆周，而是一个首尾不 重合的平面螺旋线。这样导致图1(c)中外围的几条 磁力线，会比图1(b)中对应的磁力线粗。在靠近导 线的地方，磁力线间距变密，从而使得图1(c)靠近 导线的几条磁力线直接粘结在一起，几乎不能区分。 为避免这种情况，提高图形质量，可将绘图区域分 为上下两个完全相同的矩形子区域，在每个子区域 分别绘制磁力线。这样在每个子区域执行streamline 命令绘制磁力线时，碰到绘图区域边界后自动停止, 就不会出现因数值误差导致的磁力线贴合现象。我 们称该绘图技巧为分区绘图技巧，图1(b)中的磁力 线，正是采用分区绘图技巧绘制的。绘制图1(b)的Matlab程序如下：clear;1_0=1;%设置导线电流为1Amu_0=pi*4e-7;%真空磁导率W=l;%绘图区域宽度ImH=l;%绘图区域高度ImM=200;%水平和垂直方向绘图的数据点数量a=0.018;%设置导线半径0.018mr=0.022;%设置磁力线起点的参数%下面绘制上半区域的磁力线x l,y l=meshgrid(-W/2:W/M:W/2,0:H/M:H/2);rho_l =sqrt(x l.A2+y l.A2);%每点到导线轴心的距离Cos_l=xl./rho_l;Sin_l=yl./rho_l;B_lx=.B_l.*Sin_l;%每点的 BxB_ly=B_l.*Cos_l;%每点的 ByX_l=l,3,6,10,15,21,28,36,45*r;%磁力线起点 x 坐标Y_1 =zeros( 1 ,size(X_l,2);%磁力线起点 y 坐标figure,streamline(x l,y 1 ,B_ 1 x,B_ 1 y,X_l ,Y_1);% 绘制磁力线 hold on;%图形保持%下面绘制下半区域的磁力线x2,y2=meshgrid(W/2:W/M:W/2,H/2:H/M:0);rho_2=sqrt(x2.A2+y2.A2);Cos_2=x2./rho_2;Sin_2=y2./rho_2;B_2=mu_0*I_0./(pi*2*rho_2);B_2x=-B_2.*Sin_2;B_2y=B_2.*Cos_2;X_2=.X_1;Y_2=zeros( l,size(X_2,2); streamline(x2,y2,B_2x,B_2y,X_2,Y_2);%-T面用圆柱体表示导线Xl,Yl,Zl=cylinder(a);Z1二Zl.l/2;surf(Xl,Yl,Zl);axis equal;%设置图形x,y方向单位长度一致B_l=mu_0*I_0./(pi*2*rho_l);% 计算出每点的 |B|当有多根无限长载流直导线平行放置时，如何2多根无限长载流平行导线的磁场分布选择合适的起点来绘制磁力线？假设一对无限长平 行载流双线，中心距为2d=0.25m,导线半径a=3mm, 电流/为+1A和-1A,电流反向，如图2(a)所示。由 于磁力线是围绕电流的闭合曲线，分析可知所有的 磁力线都会穿越图2(a)中所示的工轴，并且都垂直 于尤轴，所以可以在x轴上选择一系列点作为磁力 线的起点来绘制磁力线。根据磁场对称性，选择在 x轴上区间(0,d)内的起点，即可绘制出所有磁力线。 在x轴上，记|8|沿着x轴的函数为83),从原点算 起(不包括原点)沿着x正半轴，第条磁力线所在的 x坐标为x(n),第n条磁力线和第1条磁力线的间 距为，(n),根据原则性条件，磁力线的间距如)正比 于 1/|B|=1/B(x),将 B(x(n)简记为 B(n),则有：t(ri) x(n) 一 x(n 一 1)(1)B(n)-_ 日0 /d(2) /71 d X()()3+ 3(0)(3)y轴上有一条自上而下的特征磁力线，记作第0 条磁力线，选定第一条磁力线与工轴交点的横坐标 x(l)=t(l),用公式(1)、(2)、(3)可以迭代计算，可求 出x轴上所有的磁力线起点横坐标x(n)o采用分区 绘图技巧绘制磁力线，删除重复的磁力线，结果如 图2(b)所示。该磁力线图满足原则性条件，是正确 的磁力线图。正确性可以通过与图2(c)所示8的 quiver图的对比来验证，二者反映的8的分布形态 相同。将图2(b)转动一定角度，并用圆柱体代替导 线，可以得到更有立体感的图形，如图2(d)所示。(c) B 的 quiver 图(d)磁力线图3D图图2无限长载流平行双线(电流反向)的横截面上的磁场分布图(a)磁力线图(b)磁力线图3D图图3无限长载流平行双线(电流同向)的横截面上的磁场分布图采用类似的方法，电流同向的无限长载流平行 双线的磁力线图也能绘制出来，如图3(a)、(b)所示。 对于自由空间中多根平行放置的无限长载流直导线, 磁感应强度B具有解析表达式,采用分区绘图技巧， 根据原则性条件选择合适的绘图起点，可以绘制出 它们的磁力线图。图4所示为多根平行无限长载流 导线的横截面上，磁力线的分布图。(a)计算磁力线起点位置示意图(b)磁力线图图5(a)所示的载流细圆环是恒定磁场中重要的 基础模型。载流细圆环的8没有直接的解析解，但 有两种级数解析解，一种用连带勒让德函数表示, 一种用椭圆函数表示。分析可知载流细圆环的场 具有旋转对称性，所以求出在iOz平面上任意一点 P(r,9,0)处的磁感应强度即可。绘制Oz平面上的磁 力线，就完全表示清楚了它的场分布特征。在xOz 平面上，8无y分量，即坊,二0,所以只要计算出点3载流细圆环的磁场分布P处的位和但即可。采用级数解析解的前N项,计算出位和Bz，用streamline命令，可绘制磁力线。(a)两对载流平行双线排成一行(b)两对载流平行双线正方形布置图4多根无限长载流导线平行放置时横截面的磁力(a)载流细圆环示意图(b)xOz平面上磁力线分布图(c)磁力线分布图3D图图5载流细圆环及其磁力线分布图而更直接的方法是用数值叠加来计算，具体做 法：先将载流圆环分成N段，每段可近似为长度为2SN的载流直线段，再将每个载流直线段在点P 处产生的&和国叠加求和。载流直线段在空间某 点产生的磁感应强度具有解析解刀，以每个直线段 为z，轴，它的中垂面为平面，建立局部坐标 系xyz在局部坐标系下得到局部解析解，用坐 标变换，转换到全局坐标系下对位和国进行叠加 即可得到载流细圆环的磁感应强度。设/=1A, o=0.25m,计算出载流细圆环的磁感应强度数值结果。 根据场的对称性，绘制磁力线时，起点可选择在圆 环、轴方向的直径上。根据原则性条件，计算起点 位置坐标时，应得出与公式(1-3)类似的公式来迭代 求解。值得注意的是，与公式(2)对应的3()，没有 解析公式。解决办法如下：在磁感应强度的数值解 中，提取出|3|在x轴上的数值，用最小二乘法，拟 合出|8|随着工变化的多项式，作为B(x)的近似函数。确定磁力线起点坐标后，采用分区绘图技巧， 用streamline命令绘制的载流细圆环的磁力线如图 5(b)、(c)所示，所有磁力线都是与圆环套链的闭合 曲线。如果半径很小，载流细圆环就是磁偶极了。 将多个载流细圆环简单组合起来，就可组成多匝的 载流线圈的近似模型。本文载流细圆环的磁力线画 法，可以直接应用到磁偶极子、螺线管等的磁场可 视化工作中。4结语磁力线图能准确、简洁、形象的描绘恒定磁场 的空间概况和细节分布。通过若干例子，本文展示 了用Maltab中streamline命令绘制磁力线的原则、 技巧和经验，特别是原则性条件和分区绘图技巧。 磁力线起点的选择至关重要，需要谨慎对待，文中 详述的磁力线起点间距的计算方法具有普遍意义。 磁力线的绘制方法，丰富了电磁场可视化手段，提 升了可视化效果，也有利于开展电磁场仿真、实验 教学。参考文献：fll田雨波，张贞凯，解志斌.基于Matlab的电磁场理论之可视化教学研究J西安：现代电子技术，2011, 34 (20)：90-92.2 邵小桃，郭勇，李一玫.“电磁场与电磁波”课程的Matlab 辅助教学J.南京：电气电子教学学报,2010,32(5)： 111-113.3 李慧，白雪峰.Matlab在工程电磁场教学中的应用J.石家庄：教育教学论坛,2015, 27： 220-221 卫延，邵小桃，郭勇.基于Matlab的点电荷镜像法电场 的可视化J.南京：电气电子教学学报，2020,42(2)： 77-80.|5吴崇试.数学物理方法|M.北京：北京大学出版社，2003.6 曾令宏，张之详.圆环电流的磁场以及两共轴圆环之间的 相互作用力J.北京：大学物理，2002,21(9)： 14-16.7 邵小桃，李一玫，王国栋.电磁场与电磁波(M+BOOK)M. 北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2018.