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第3讲圆的方程考纲要求考点分布考情风向标1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想2012年新课标第20题考查直 线、圆与抛物线的综合应用；2013年新课标第21题考查直线、圆、椭圆的综合应用；2014年大纲第16题考查切线的性质及三角函数的运算、新课标第20题考查求圆的方程、新课标第12题考查直线与圆的位置关系及数形结合；2015年新课标第14题、北京第2题考查圆的标准方程；2017年新课标第20题(2)考查求圆的方程本节内容具有承前启后的作 用，既与前面的直线相联系，也为后面学习圆锥曲线做准备.高考中对此部分内容的考查主要呈现以下几个特点：一是重基础知识和基本技能，主要考查了直线、圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；二是重在知识的交汇处命题，把解析几何初步与集 合、向量、函数等知识结合命题，注重考查学生综合运用知识解决问题的能力1.圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.2.圆的标准方程(a，b)(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为_，半径为 r 的圆的标准方程.(2)特别地，以原点为圆心，半径为 r(r0)的圆的标准方程为_.x2y2r23.圆的一般方程4.点 M(x0，y0)与圆 x2y2DxEyF0的位置关系点 M 在圆内xyDx0Ey0F0；点 M 在圆上xyDx0Ey0F0；点 M 在圆外xyDx0Ey0F_0.1.(2015 年北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x1)2(y1)21 B.(x1)2(y1)21C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)22D解析：由题意可得圆的半径为 r ，则圆的标准方程为(x1)2(y1)22.故选 D.22.若点 P(1,1)为圆(x3)2y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN)D所在直线的方程为(A.2xy30C.x2y30B.x2y10D.2xy103.若直线 yxb 平分圆 x2y28x2y80 的周长，则b( D )A.3C.3B.5D.54.(2017 年广东广州一模)若一个圆的圆心是抛物线 x24y的焦点，且该圆与直线 y x3 相切，则该圆的标准方程是_.x2(y1)2 2解析：抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1).圆的半径为考点 1 求圆的方程例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2xy30 上的圆的方程；(2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x2y0 的对称点仍在这个圆上，且圆与直线 xy10 相交的弦长为 ，求圆的方程；(3)(2017 年广东茂名一模)已知直线 x2y20 与圆 C 相切，圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程.2 2解：(1)方法一，从数的角度，选用标准式.设圆心 P(x0，y0)，则由|PA |PB|，得(x05)2(y02)2(x03)2(y02)2.圆的标准方程为(x4)2(y5)210.方法二，从数的角度，选用一般式.设圆的方程为 x2y2DxEyF0，圆的方程是 x2y28x10y310.方法三，从形的角度.线段 AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心 P 应在线段AB 的垂直平分线 x4 上，圆的方程是(x4)2(y5)210.(2)设点 A 关于直线 x2y0 的对称点为 A，AA为圆的弦，A 与 A的对称轴 x2y0 过圆心.(3)圆 C 与 x 轴交于A(1, 0)，B(3, 0)两点 ，由垂径定理，得圆心在 x1 这条直线上.设圆心坐标为 C (1, b)，圆半径为 r，则圆心C 到切线 x2y20 的距离等于 r|CA|.解得 b1 或 b11.圆 C 的方程为(x1)2(y1)25或 (x1)2(y11)2125.【规律方法】研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.【互动探究】1.(2016 年天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，的方程为_.(x2)2y29考点 2 与圆有关的最值问题例 2：已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.求：(2)yx 的最小值；(3)x2y2 的最大值和最小值.解：(1)方法一，如图 D41，方程 x2y24x10，即(x2)2y23，表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆.3图 D41(3)x2y2 是圆上点与原点距离的平方，如图 D41，OC 与圆交于点 B，其延长线交圆于点 C，【规律方法】方程 x2y24x10 表示以点(2,0)为圆心，x 可看作直线 yxb 在 y 轴上的截距，x2y2 是圆上一点与原点距离的平方，可借助平面几何的知识，利用数形结合求解.涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：形如 uybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.【互动探究】2.(2017 年重庆四校模拟)设 P 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，Q 是直线 x3 上的动点，则|PQ|的最小值为() A.6B.4C.3D.2解析：如图 D42，圆心 M(3，1)与直线 x3 的最短距离为|MQ|3(3)6.又圆的半径为 2，故所求最短距离为624.图 D42B3.已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21，则 2xy 的最大值为_，最小值为_.解析：令 b2xy，则 b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距的相反数.当直线 2xyb 与圆相切时，b 取得最值.由考点 3 圆的综合应用例 3：(1)(2014 年大纲)直线 l1 和 l2 是圆 x2y22 的两条切线，若 l1 与 l2 的交点为(1,3)，则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于_.答案：43图 7-3-1(2)(2017 年江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中，A(12,0) ，横坐标的取值范围是_.【互动探究】答案：B利用函数与方程的思想求圆的方程例题：(2017 年新课标)已知抛物线 C：y22x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程.思想与方法【互动探究】B5.已知实数 a，b 满足 a2b24a30，函数 f(x)asin xbcos x1 的最大值记为(a，b)，则(a，b)的最小值为()A.1C. 1B.2D.33
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