2014中考数学试题分类汇编——二次函数压轴题

2014中考数学试题分类汇编二次函数压轴题（含答案）1. 【试题】（2014年湖北孝感第25题）如图1，矩形的边在轴上，抛物线经过点、点，与轴交于点、点，且其顶点在上（1）请直接写出下列各点的坐标： ， ， ， ；（2）若点是抛物线上一动点（点不与点、点重合），过点作轴的平行线与直线交于点，与直线交于点，如图2当线段=时，求点的坐标；当点在直线下方时，点在直线上，且满足，求面积的最大值【解答】（1）A（0，3），B（4，3），C（4，1），D（0，1） （2）设直线BD的解析式为，由于直线BD经过D（0，1），B（4，3），解得，直线BD的解析式为设点P的坐标为，则点H，点G1当且x4时，点G在PH的延长线上，如图PH2GH，解得，当时，点P，H，G重合于点B，舍去此时点P的坐标为 2当时，点G在PH的反向延长线上，如图,PH2GH不成立 3当时，点G在线段PH上，如图PH2GH，解得，（舍去），此时点P的坐标为综上所述可知，点P的坐标为或 如图，令，得，E，F，E F2 ， ,当时，的最大值为 2. 【试题】（2014年湖南益阳市第20题）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点，其顶点为（1）求，的值；（2）抛物线的对称轴上有一点，使是以为底边的等腰三角形，求点的坐标（3）在抛物线及其对称轴上分别取点、，使以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长【解答】(1)直线与轴、轴分别交于点、， ，.又抛物线经过点，解得 即，的值分别为，.（2）设点的坐标为，对称轴交轴于点，过点作垂直于直线 于点.在Rt中，在Rt中，.，.点的坐标为.（3）当点在对称轴上时，与不垂直.所以应为正方形的对角线.又对称轴是的中垂线，所以，点与顶点重合，点为点关于轴的对称点，其坐标为.此时，且， 四边形为正方形.在Rt中，即正方形的边长为.QEN(M）FBOA1-1CP3. 【试题】（2014年广东梅州市第23题）已知抛物线y= x2 x3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C。（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【解答】（1）A(4，0) 、D(2，0)、C(0，3)（2）连接AC，与抛物线的对称轴交点M即为所求，直线AC的解析式y=3，对称轴是直线x=1，把x=1代入y=3得y=M(1，)（3）如下图，当点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(2，0)；直线AB的解析式为y=，过点C作CP1/AB，与抛物线交于点P1，直线CP1的解析式为y=，联立y= x2 x3，可得P1(6，6)4. 【试题】（2014年山东泰安市第29题）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标【解答】（1）由题设可知A（0，1），B（3，），根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=x+1；（2）设N（x，x2x+1），则M、P点的坐标分别是（x，x+1），（x，0）MN=PNPM=x2x+1（x+1）=x2x=（x+）2+，则当x=时，MN的最大值为；（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BCMN，即MN=BC，且BC=MC，即x2x=，且（x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故当N（1，4）时，MN和NC互相垂直平分5. 【试题】（2014年呼和浩特市第25题）如图，已知直线l的解析式为y = x1，抛物线y = axbx2经过点A（m，0），B（2，0），D 三点（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数， 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上【解答】6. 【试题】（2014年四川泸州市第25题）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=x2+mx+b的图象C都经过点B（0，1）和点C，且图象C过点A（2，0）（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标【解答】（1）二次函数y2=x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2，0），解得l：y1=x+1；C：y2=x2+4x+1y2=x2+4x+1=（x2）2+5，ymax=5；（2）联立y1与y2得：x+1=x2+4x+1，解得x=0或x=，当x=时，y1=+1=，C（，）使y2y1成立的x的取值范围为0x，s=1+2+3=6代入方程得 解得a=；（3）点D、E在直线l：y1=x+1上，设D（p，p+1），E（q，q+1），其中qp0如答图1，过点E作EHDG于点H，则EH=qp，DH=（qp）在RtDEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（qp）2+（qp）2=（）2，解得qp=2，即q=p+2EH=2，E（p+2，p+2）当x=p时，y2=p2+4p+1，G（p，p2+4p+1），DG=（p2+4p+1）（p+1）=p2+p；当x=p+2时，y2=（p+2）2+4（p+2）+1=p2+5，F（p+2，p2+5）EF=（p2+5）（p+2）=p2p+3S四边形DEFG=（DG+EF）EH=（p2+p）+（p2p+3）2=2p2+3p+3当p=时，四边形DEFG的面积取得最大值，D（，）、E（，）如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D，则D（，）；连接DE，交x轴于点P，PD+PE=PD+PE=DE，由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小设直线DE的解析式为：y=kx+b，则有，解得直线DE的解析式为：y=x 令y=0， 得x=，P（，0）7. 【试题】（2014年山东济宁市第22题）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A的坐标，判定点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】（1）y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，解得抛物线的解析式为y=x2x（2）如答图所示，过点A作AEx轴于E，AA与OC交于点D，点C在直线y=2x上，C（5，10）点A和A关于直线y=2x对称，OCAA，AD=ADOA=5，AC=10，OC=SOAC=OCAD=OAAC，AD=AA=，在RtAEA和RtOAC中，AAE+AAC=90，ACD+AAC=90，AAE=ACD又AEA=OAC=90，RtAEARtOAC，即AE=4，AE=8OE=AEOA=3点A的坐标为（3，4），当x=3时，y=（3）2+3=4所以，点A在该抛物线上（3）存在理由：设直线CA的解析式为y=kx+b，则，解得直线CA的解析式为y=x+（9分）设点P的坐标为（x，x2x），则点M为（x，x+）PMAC，要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC又点M在点P的上方，（x+）（x2x）=10解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）当x=2时，y=当点P运动到（2，）时，四边形PACM是平行四边形8. 【试题】（2014年福州市第22题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OECD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：AEO=ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.【解答】（1），；（2）证明见解析；（3）（5， 1）；（3，1）或思路点拨如下：可得，即，联立二方程解得或，从而得到点Q的坐标.9. 【试题】（2014年广州市第24题）已知平面直角坐标系中两定点、，抛物线过点顶点为，点为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；（2）当为钝角时，求的取值范围；（3）若当为直角时，将该抛物线向左或向右平移个单位，点、平移后对应的点分别记为，是否存在，使得首尾依次连接所构成的多边形的周长最短？若存在，求的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.【解答】10. 【试题】（2014年江苏连云港市第26题）已知二次函数，其图像抛物线交轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.(1)求此二次函数关系式；(2)若直线经过抛物线顶点D，交轴于点F，且，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由.(3)若过点A作AG轴，交直线于点G，连OG、BE，试证明OGBE.【解答】11. 【试题】（2014年浙江嘉兴市第24题）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内AE轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD设线段AE的长为，BED的面积为（1）当时，求的值 (2)求关于的函数解析式（3）若时，求的值；当时，设，猜想与的数量关系并证明【解答】12. 【试题】（2014年浙江丽水第24题）如图，二次函数的图象经过点（1，4），对称轴是直线，线段AD平行于轴，交抛物线于点D。在轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA， OB，OD，BD。（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使EODAOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将BPF沿边PF翻折，使BPF与DPF重叠部分的面积是BDP的面积的？【解答】15