直线与圆锥曲线的综合应用

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点口对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切.直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：(1)直线的斜率不存在，直线的斜率存，(2)联立直线和曲线的方程组;(3)讨论类一元二次方程(4)一元二次方程的判别式(5)韦达定理，同类坐标变换(6)同点纵横坐标变换(7) x,y,k(斜率)的取值范围(8)目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等x2y2311：已知椭圆C：=+0=1(ab0)过点(1,),且离心率e=。a2b222(I)求椭圆方程；(n)若直线l : y = kx+m(k#0)与椭圆交于不同的两点1M、N ,且线段MN的垂直平分线过定点 G(- ,0),求 8k的取值范围。后力/、+、*1 b1322解：(I) 离心率 e = 一,.下=1，即 4b =3a2 a 4 4(1)；一，一，一 一 3、1又椭圆过点(1,3),则十2 a9三=1, (1)式代入上式，解得4b22a2 =4, b2 =3,椭圆方程为乙+上=1。43(n)设M(%,y),N%,y?),弦MN的中点A(x0,y0),y=kxm,n222由22得：(3+4k)x+8mkx+4m12=0,3x2+4y2=12;直线l:y=kx+m(k#0)与椭圆交于不同的两点，222222=64mk-4(3+4k)(4m-12)0,即m4k+3(1)2由韦达定理得:8mk4m-12XF=-2,x1x2=2-，1 234k21234k24mk3 4k2,y。二 kx0 m 二4mk23 4k23m3 4k2直线AG的斜率为:K AG3m3 4k24mk 13 4k2 824m2-32mk-3-4k222由直线AG和直线MN垂直可得：24m21k=_1,即m=-3+4k，代入(1)式，可彳导(3+4k,4k2+3,-32mk-3-4k8k8k即k2a工，则ka且或k0,3+4k-m02X+x2=-8mkT,Xx2=4(m3)(注意：这一步是同类坐标变换)34k34ky1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=(m咚二(注意：这一步叫同点纵、横坐标间的34k变换）丁以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且 kAD kBD=1,-2(Xi +x2)+4=0,yy2/-=t,y1y2+xx2Xi2x2-23(m2-4k2)4(m2-3)16mk,八尸+-2T-+2+4=0,34k234k234k27m2+16mk+4k2=0,解得m1=-2k,m2=一与,且满足3+4k2-m20当m=Nk时，l:y=k(x_2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k22当m=三时，l:y=k(x1),直线过定点(y,0)综上可知，直线l过定点，定点坐标为(2,0).7练习2(2009辽宁卷文)已知，椭圆C以过点A(1,-),两个焦点为(1,0)(1,0)。2(1)求椭圆C的方程；(2)E, F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：(I)由题意，c=1,可设椭圆方程为,将点A的坐标代入方程：). 9a2 4(a2 -1) 所以椭圆方程力(n)设直线ae=1，解得 a2 =4，22。x y ,十 = 1433方程为：y =k(x -1) + ，代入2_22_32_(3 4k )x 4k(3 -2k)x 4(- -k) -12 =023 设优,丫)尸化尸，丫尸)，因为点A(1-)在椭圆上，所以2(舍去)Xf21-k-3tz43 4k23yE = kxE 一一 k2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以一K代K,可得Xf4(3 k)2 -123 4k2yE 二-kxE k2所以直线 EF 的斜率 Kef = yF - yE = -k(xF +Xe) +2k =1Xf - XeXf - Xe2即直线EF的斜率为定值，其值为 1。12分2题型：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理 决。此类问题不难解决。同类坐标变换，将问题解22例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M: L+L=1于p、Q两点，且DPu= l DQu,求实数l的取值范围。94uuu uuu解：设 P(X1,y1),Q(x2,y2),Q DP = l DQ(x1,y3)=l (x2,y2-3)即?x1 = l X2浙=3 + l 0-3)22方法方程组消元法又Qp、Q是椭圆一卜1上的点222消去X2,可得(ly2+)-ly2=1-l2即y2=%一46l又Q2y22,213l-52解之得:-7.0即9k2.5由韦达定理得:x1x2 -54 k4 9k452 , xix2 = 24 9k一(x1&)2xix2542k2(11)222x1x2x2x145(49k2)36 5(1)2-29k4(42二129k29k2一一11369.一1由得02-，代入，整理得12-，解之得一九0 ,故厂 y1y2 - - 4y2二4x.c联立方程组,y4x,，消去x得：y24my4=0,x=my1,由mM高了得:%+?y2+2=%y2,整理得:mm一1-Zmy1-Jmy21211十、y2)汩32二_2-=0my1y2m-4解法二：(I)由QpqF=FP_FQ得：FQIPQPFPQPFj=0PQ-pF)L(PQ+PF)=0,t2+2PQ-PF=0所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.3由已知MMKgMA贝U：=MB人1AF过点A,B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1,B1,AA1则有:MBBBi由得:AF=,即九+Z2=0.BF题型：面积问题练习2、(山东06文)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,4。椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为(I)求椭圆的方程；(11)直线1过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AAOB面积取得最大值时,求直线l的方程。2解：设椭圆方程为x2 a2 =1(a b 0). b2(I)由已知得b = cy 2a2=4cL 2.2,2a = b c2ab2、c22=1二所求椭圆方程为二十 y2 = 1.2=1 8kx1 x2 21 +2k26, x2 =21 +2k二 AB=1 k2Xi -X2=1 k2x1 x2)2 - 4x1 x2f6k224原点O到直线l的距离d1k21二 S&db = 一 AB d =216k2 -241 2k22 2 . 2k2 -31 2k2(II)解法一：由题意知直线I的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2)y=kx2x22消去y得关于x的方程：(1+2k2)x2+8kx+6=0y=12由直线I与椭圆相交A、B两点，二a。、64k2-24(1+2k2)0,23解得k2又由韦达定理得216k2-24解法1：对s=两边平方整理得:12k(*)4S2k44(S2-4)k2S224=0整理得:_22_2_2_16(S-4)-44S(S24),04-S20S2_2S24c204S221c八2SM.又S0,，0cSM.从而S*OB的最大值为SXO2-28k2 49 =04k4此时代入方程（*）得.k所以，所求直线方程为:,.14x-2y4=0.解法2：令m=12k23(m0),则2k2=m2+3,2.2m2.22240）的焦点F且倾斜角为60。的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则1AF的值BFI等于（）A.5B.4C.3D.24.22已知椭圆c的方程为+m2：=1（m0）,如果直线y=32x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦2，=1（a0, b0）的左焦点为Fi,左、右顶点为Ai、A2, P为双曲线上任意一点,点F,则m的值为（）A.2B.2v2C.8D,27325.已知双曲线x2-a则分别以线段PFi,A1A2为直径的两个圆的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能、填空题(每小题6分，共24分)6.直线y=kx+1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是5m7.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(aw0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为8.如图所示，过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于A,B,C三点,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是229.如图，在平面直角坐标系xOy中，Ai、A2、Bi、B2为椭圆点+by2=1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线BiF相交于点线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为三、解答题(共41分)2210.(13分)设AB是过椭圆+4=1的一个焦点的弦，若AB的倾斜角为60,求弦AB的长.11. (14分)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，若另有一条直线l经过P(2,0)及线段AB的中点Q.求k的取值范围；(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围.12. (14分)已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2V3),离心率为2.(1)求椭圆P的方程；(2)是否存在过点E(0,-4)的直线l交椭圆P于点R,T,且满足OROT=尊.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.:t8x8. y2= 3xy=V3(x-1),答案1.D2.C3.C4.B5.B6.m1且m57.y片111 k2 (X+2).;9.24510解依题意，椭圆白一个焦点F为(1,0),则直线AB的方程为代入4x2+5y2=20,得19x230x5=0.设A(X1,y1)，B(x2,y2),ntt305则X1+X2=19,X1X2=-.弦AB的长为19|AB|=叱1+k2弟1+X22-4X1X232四19.11.解(1)将y=kX1代入双曲线方程X2-y2=1,化简，整理，得(1-k2)X2+2kX-2=0.4k2+8(1-k20,-30，厂由题设条件11-k?Wk02-0L1-k(2)设A(X1,y1)、B(X2y2)、Q(x,y),X1+X2k则X=MF，直线l的方程为y=2令x=0,得b=2k2k222(k+4T., 1u2 -72.y2k-1,u=2k2+k2在(一42,1)上为减函数,又uw0,b2+*.12.解(1)设椭圆P的方程为与+卜=1(ab0),ab由题意得b=2#,e=：=2,，a=2c,b2=a2c2=3c2,c2=4,c=2,a=4,22椭圆p的方程为1+12=1.(2)假设存在满足题意的直线l.T易知当直线l的斜率不存在时，丽0,解得k21.432k16 Xi+X2=2X1X2=3+4k3+4k yy2=(kx1-4)(kx24)=kX1X24k(x+X2)+16,2216,16k128k16故X1X2+y1y2=341+34k2-34k2+化=7,解得k2=1,由解得k=土，.直线l的方程为y=dx4.故存在直线l:x+y+4=0或x-y-4=0满足题意.