34群的同构定理

3.4群的同构定理同态基本定理：设是群G到群G的一个同态满射，则%erG 0用图表示：将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。定理1 (第一同构定理)设 是群G到群G的一个满同态，且 ker N G ,记(N) N 5则% %或 %(Gy(N)当N ker时，(N) e , % % G,第一同构定理退化 成同态基本定理第一同构定理也可以用图表示：证明首先，由NG有N(N)GO作映射：:% %, (xN)N, xN %。以下验证是%到GN的一个同构映射。(1) 是映射：设aN bN(a,b G),则a 1b N ,于是(a) 1 (b) (a 1b) (N) N ,从而(a)N (b)N , 即%中的每个赔集在 下的像唯一，因此 确为%到底 的一个映射。是满射:aN G4(a G)，因为 是满射，所以存在Na G,使得(a) a,从而存在aN %,使得(aN) aN , 印是满射。(3) _是单射:设(aN) (bN),即(a)N (b)N 5从而(a 1b) (a) 1 (b) N o但 是满同态且(N) N 5所以c N ,使得 (a 1b)(c) (a 1b c 1)e a1bc 1 Ker o于是由已知条件kerN得a 1bc 1 Na 1ba 1bc 1 cN ,从而aN bN ,即_是单射。(4)又由于(aN bN) (ab)N) (ab)N (a) (b)N (a)N (b)N (aN) (bN), 所以 是%到%的一个同态映射。综上所述，是%到外的一个同构。所以 %胎作业：P104第4题(提示：用同态基本定理)。准论1.设HG,NG且N H,则证明取自然同态：G %,（a） aN,其核Ker N o在第一同构定理中取G %,取N为这里的H ,并注意（H）/，由第一同构定理得%。例 1 设 HG,KG,证明由HG,KG证明GHKOHGHKHK G。又显然H HK ,直接由推论得注意:交换H,K的位置也可以得GHK定理2 （第二同构定理）设G是群，H G, NG,则HI NH，且 H% %I N）。第二同构定理也可以用图表示：证明:由H G, NG有HN G,且NHN。作映射:H H%，(x) xN , X H ,则显然是H到H%的满同态。且Ker x x H, (x) Nx|x H ,xN N x x H ,x N HIN,于是由同态基本定理得%H I N) H%。例2 &,S4设分别为3次、4次对称群，L是Klein四元群, 证明：%, S3。证明先（VS,（见前面）。以下验证：S4 S3K4且S3I K4 e,再用第二同构定理即可得证。事实上，把 S3中 的每个置换看成保持4不动，则显然S3I K4 e成立。于是|S3K4| 1s311K41 6 4 243 4 IS3I K4I又 S3K4 S4且 IS4I 24,S4S3K4K4K4所以S4S3K4o于是由第二同构定理 K4)S3。定理3（第三同构定理）设G是群，且NG , H %，则（1）存在G的唯一子群H G,H N,使得H %；（2）当H% 时，存在G的唯一正规子群H G,H N , 使得H %,且% G%。第三同构定理表明：商群 的子群仍为商群，且呈 %也 形式，其中H G,H N ；面且H是G的正规子群当且仅当 味星%的正规子群。证明(1)取自然同态：G %,(a) aN,其核Ker N由上一节定理4知，在G的包含N的子群与GN的所有子群 之间可以建立一个保持包含关系的双射，因此当H %时，必然存在G的唯一的子群H G,H N与之对应，即(H) H 另一方面，根据 的定义有(H)%,所以h hN。(2)还是由上一节定理4,当Hv% 时，存在G的唯一的正 规子群HG,H N ,使得H %。再由第一同构定理得GH(%H)