资源描述
应用问题的题型与方法数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型.高考中一般命制一道解答题和两道选择 填空题.解答这类问题的要害是能阅读、 理解陈述的材料，深刻理 解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，能结合应 用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的 或者相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确 的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题 的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学 审题能力，审由函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料， 辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括由来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号 语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要 过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力； 二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强 的数理能力.由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多 元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供 的条件和要求，在陌生的情景中找由本质的内容，转化为函数、 方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问 题.、知识整合1 .“考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是:能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数 学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指由：对数学应用问题，要把握好提生问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际.2 .应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：(1 )、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验.(2)、考查理解语言的能力， 要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学 思维与交流.(3)、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来求解 .3 .求解应用题的一般步骤是(四步法) ：(1 )、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找由主要关系；(2)、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；(3)、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后 将结果应用于现实，作由解释或验证.4.在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类 型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模 型等等.I .函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实 世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问 题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数 知识和方法去解决. 根据题意，熟练地建立函数模型；运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.n .几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定 图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解 .m.数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存 款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题，大多可归结 为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.二、例题分析例1 . （1996年全国高考题）某地现有耕地 10000公顷，规 划10年后粮食单产比现有增加 22%,人均粮食产量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地每年至多只能减少多 少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=sSr ； 人均粮食产量=言%）分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给由 两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与 决策.解：1.读题：问题涉及耕地面积、 粮食单产、人均粮食占有量、 总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P = 粮食单产X耕地面积主要关系旱 P *邙人口数 , 土女大手ZE. P实际k规划.2 .建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨/公顷，现在人口数为 m,则现在占有量为 三匕，10年后粮食单产为a(1 + 0.22),人口数为m(1 +0.01) 10,耕地面积为 (10410x). 44.a(1。22)(10 期) (1+0.1) m(1 0.01)m即 1.22 (10 4- 10x) 1.1 X104x (1 + 0.01) 103 .求解：xW103一段 X103x (1 + 0.01) 10;(1 + 0.01 ) 1o = 1+CloX0.01 +C20X0.01 2 + C；oX0.01 3十一M.1046，xW103 995.9 朝(公顷)4 .评价：答案xq公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.(答略)另解：1.读题：粮食总产量=单产X耕地面积；粮食总占有量=人均占有量X总人口数；而主要关系是：粮食总产量A粮食总占有量5 .建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨/公顷，现在人口数为 m,则现在占有量为 生，10年 m后粮食单产为a(1 + 0.22),人口数为m(1 +0.01) 10,耕地面积为 (10410x).，a(1 + 0.22) R1O 4 10x)R1 +0.1) xm(1 +0.01) 106 .求解：xW103 蓝103* (1 + 0.01) 10;(1 + 0.01 ) 10 = 1+C；0X0.01 +C200.01 2 + C30x0.01 3 +M.1046，xW103 995.9 朝(公顷)又验算无误,7 .评价：答案xq公顷符合控制耕地减少的国情， 故可作答.(答略)说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重 3个百分率.其 中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等 式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型， 但建立时所 用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、 增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式 模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建 立不等式模型后解由不等式.在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解 题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01 10，算得结果为x0）的单调性而得： x当c时，则v= ：时，y取最小值；当五时，则v=c时，y取最小值.综上所述，为使全程成本 y最小，当0, b0)的性x质要熟练掌握3.要能熟练地处理分段函数问题例5.(2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市0(如图)的东偏南(arccos女)方向300km的海面P处,10并以20km/h的速度向西偏北 45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?解：如图建立坐标系以 O为原点，正东方向为 x轴正向.在时刻：(1)台风中心x,一 .2.2x 300 20 t,102一7 22y300 20 一t.102此时台风侵袭的区域是(x x)2 (y y) r(t)其中r(t) 10t 60,若在t时刻城市 Oy)的侵袭，则有(0 x)2 (0 y)2 (10t 60)2. 2.2 27.22 2(300 一 20 一t) ( 300 20 一t) 102102(10t 60)2，即t2 36t 288 0,解得 12 t 24答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.例6.已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各 x千克，y千克，z千克配成100 千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素 A和63000单位维生素B.甲7A /600700IC400-维生素B (单位/ 成本(兀/千克)-80011f uu40095004(1)(2)用x, y表示混合食物成本 c元； 确定x, y, z的值，使成本最低.解：(1 )依题意得 c 11x 9y 4z,又x y z 100c 400 7x 5y .(2、由600x700y400z56000 及71nAYv 徨(27pqonnv/cc，cnn-7cqccc,以z100xy, I寸800x 400 y 500z 630004x 6y 3203x y 130 ，7x 5y 450. c 400 7x 5y 400 450 850,当且仅当3x 6y1320,gpx 20时等号成立当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.说明：线性规划是高中数学的新增内容，涉及此类问题的求解还可利用图解法.例7. (2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文史类 19)有三个新兴城镇，分别位于A, B, C三点处，且AB=AC=13km , BC=10km.今计划合建一个中心库院，为同时方便三镇，准备建在 BC的垂直平分线上的 P,4,(建立坐标系 如图)/(I)若希望点p到三镇距离的平方和双影Ca一点P应位于何处？(n)若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力(I )解：设P的坐标为(0, y),则P至三 镇距离的平方和为 222f(y) 2(25 y2) (12 y)2 3(y 4)2 146.所以，当y 4时，函数f(y)取得最小值.答:点P的坐标是(0,4).(n)解法一：P至三镇的最远距离为g(x)/25广当b I12八|12 y|,当 25 y2 |12 y|.由拒可|12 y|解得y U9,记y*卫9,于是 24242*g(x) J25 y v，因为；35于在y,)上是增 函数，而 |12 y|,当y y*.|12 y|在(-，y*上是减函数.所以y y*时，函数g(y)取得最小值.答:点P的坐标是(0*24解法二：p至三镇的最远距离为g(x)应5丁，当三y |12 y|， |12 y|，当 25 y2 |12 y|.由 V2TT |12 y|解得 y 119，记 y* 些、 24 24g(x) 25 当v y*，一 112 y1，当y 人函数x g(y)的图象如图(a),因此，当y y*时，函数g(y)取得最小值.答:点P的坐标是(0,119); 24解法三： 因为在 4ABC 中，AB=AC=13 , 且，Jac 2 oc2 12 5 oc，acb 一，如图(b). 4所以4ABC的外心M在线段AO比，其坐标为(0 耍/且AM=BM=CM.当P在射线MA，吐,：；记通为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记 P为P2,这时P到A、B、C三点的最远距离为PiC 和 P2A,且 PiC WC , P2AWA ,所以点 P 与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.答:点P的坐标是(0号;24例7. (2003年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷理工农医类20)A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是Ai, A2, A3, B队队员是Bi, B2, B3,按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：A队队员胜的A队队员负的对阵队员概率概率Ai 对 Bi2i33A2 对 B22355A3 对 B32355现按表中对阵方式由场，每场胜队得 1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为八(1)求E、X的概率分布；（2）求 E E ,E。分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力解：（1） 已、刀的可能取值分别为3, 2, 1, 0.P(3)875P(2)223122232285 3 5 575p(1)23312313223553553555根据题意知E +甲3 ,所以 P( n=0)=P(斤3)= -8-, P( n=1)=P(七75=2)=2875P(4=2)=P(斤1)二，5P(甲3)=P(斤0)二 125（2）E 3力|1”盘冷因为h=3,所以2315例8. （2004年湖北卷）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3 ,旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采 取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为400 X0.3=120（万元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用为 45万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1 ,损失期望值为400 X0.1=40 （万元），所以总费用为45+40=85 （万元）若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为 1 0.85=0.15 ,损失期望值为 400 X0.15=60 （万元），所以总费用为 30+60=90（万元）；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75 （万元），发生突发事件的概率为（10.9） （1-0.85） =0.015 ,损失期望值为 400 X0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81 （万元）.综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.例9.莫城市2001年末汽车保有量为 30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6% ,并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 ？解：设2001年末汽车保有量为“万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，每年新增汽车x万辆，则b1 30 , bn 1 0.94bn x所以，当 n 2时，bn0.94bni x,两式相减得：bn1bn0.94bnbn1(1)显然，若 b2bi0,则bnibnbnbn i 0 ,即bnbi30,此时 x 30 30 0.94 1.8.(2)若 b2 b10 ,则数列 bn 1 bn 为以 b2 b1 x 0.06bi x 1.8为首项，以0.94为公比的等比数列，所以，bn 1 bn0.94n x 1.8 .(i)若b2 b10,则对于任意正整数n,均有bn1 bn0,所以，bn 1bnb1 30,止匕时，x 30 30 0.94 1.8.(ii)当x 1.8万时，b2 b10 ,则对于任意正整数n ,均有bn 1 bn 0 ,所以，bn 1bn 30 ,由 bmbn0.94n x 1.8 ,得bnbn bn 1 bn 1bn 2b2b1b1b2 b1 1 0.941 0.9430一4 n 1x 1.8 1 0.940.06要使对于任意正整数n ,均有bn60恒成立,一4 n 1x 1.8 1 0.940.0630 60对于任意正整数n恒成立,解这个关于X的一元一次不等式，得1.8x 1.8,10.94n上式恒成立的条件为:X18F 1.8,由于关于门的1 0.94在n N上的最小值函数f n1.8单调递减，所以，x 3.6.1 0.94n说明：本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考 答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量 后又转化为函数的最值问题.例10. （2004年重庆卷）某工厂生产某种产品，已知该产 品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：p 24200 lx2,且生产x吨的成本为R 50000 200x （元）.问该 5厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多 少？（利润=收入一成本） 解：每月生产x吨时的利润为1 2f (x) (24200 x )x (50000 200x)51 3x 24000x 50000 (x 0) 53 2由 f (x)-x 24000 0解得 x1200, x2200(舍去).5因f（x）在0,）内只有一个点x 200使f （x） 0,故它就是最大值点，且最大值为： f (200)1(200)3 24000 200 50000 3150000(元)5答：每月生产 200吨产品时利润达到最大，最大利润为315
展开阅读全文