高中数学 第四章 函数应用 2 实际问题的函数建模课件 北师大版必修1

看实际问题看实际问题 核心必知核心必知 整体特征整体特征函数表达式函数表达式方法方法知识知识 提示：f(0)1，表示没用清水清洗时，蔬菜上的农药将保持原样 问题思考问题思考 创 新 方 案 系 列 丛 书2某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间与时间x的关系，的关系，可选用常用五种函数模型中的哪种？可选用常用五种函数模型中的哪种？提示：对数型函数提示：对数型函数创 新 方 案 系 列 丛 书 1. 某种商品在某种商品在30天内每件的销售价格天内每件的销售价格P(元元)与时间与时间t(tN)(天天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日天内日销售量销售量Q(件件)与时间与时间t(tN)(天天)之间的关系如下表：之间的关系如下表： 第第t天天5152030Q件件35252010 (1)根据提供的图像，写出该商品每件根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格的销售价格P与时间与时间t的函数关系式；的函数关系式； (2)根据表中提供的数据，确定日销售根据表中提供的数据，确定日销售量量Q与时间与时间t的一个函数关系式；的一个函数关系式； (3)求该商品的日销售金额的最大值，求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是并指出日销售金额最大的一天是30天中的天中的第几天？第几天？(日销售金额每件的销售价格日销售金额每件的销售价格日销售量日销售量)创 新 方 案 系 列 丛 书在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本例题涉及到了分段函数，分段意提高读图的能力另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型函数是刻画现实问题的重要模型 1甲、乙两人连续甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产产量量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图进行调查，提供了两个方面的信息，如图 甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年年1万只甲鱼上升万只甲鱼上升到第到第6年年2万只万只 乙调查表明：甲鱼池个数由第乙调查表明：甲鱼池个数由第1年年30个减少到第个减少到第6年年10个个 请你根据提供的信息说明：请你根据提供的信息说明： (1)第第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数； (2)到第到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还年是扩大了还是缩小了？说明理由；是缩小了？说明理由； (3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？创 新 方 案 系 列 丛 书创 新 方 案 系 列 丛 书 用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：用函数模型解决实际问题的常见类型及解法： (1)解函数关系已知的应用题解函数关系已知的应用题 确定函数关系式确定函数关系式yf(x)中的参数，求出具体的函数解中的参数，求出具体的函数解析式析式yf(x)； 讨论讨论x与与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；有关的问题； 给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案得的理论参数值给出答案 (2)解函数关系未知的应用题解函数关系未知的应用题 阅读理解题意阅读理解题意 看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型； 抽象函数模型抽象函数模型 在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型； 研究函数模型的性质研究函数模型的性质 根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；性质，获得函数模型的解； 得出问题的结论得出问题的结论 根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解要求，给出实际问题的解 2某商店将进货价每个某商店将进货价每个10元的商品按每个元的商品按每个18元售出时，元售出时，每天可卖出每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价若将这种商品的售价(在每个在每个18元的基础上元的基础上)每提高每提高1元，则日元，则日销售量就减少销售量就减少5个；若将这种商品的售价个；若将这种商品的售价(在每个在每个18元的基础元的基础上上)每降低每降低1元，则日销售量就增加元，则日销售量就增加10个为了每日获得最大个为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？利润，此商品的售价应定为每个多少元？创 新 方 案 系 列 丛 书 3. 18世纪世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位天文单位)如下表：如下表： 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？创 新 方 案 系 列 丛 书创 新 方 案 系 列 丛 书 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：一般步骤是： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图能够根据原始数据、表格，绘出散点图 (2)通过考察散点图，画出通过考察散点图，画出“最贴近最贴近”的直线或曲线，即拟的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴上，滴“点点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生因此，使实际点尽可能均匀应用中，这种情况一般不会发生因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是线或拟合曲线就是“最贴近最贴近”的了的了 (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式系式 (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据为决策和管理提供依据 3某商场经营一批进价是每件某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量元与日销售量y件之间有如下件之间有如下关系关系(见下表见下表)： (1)在所给的坐标系中，根据表中提供的在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定对应的点，并确定y与与x的一个函数关系式的一个函数关系式yf(x)； (2)设经营此商品的日销售利润为设经营此商品的日销售利润为P元，元，根据上述关系式写出根据上述关系式写出P关于关于x的函数关系式，的函数关系式，并指出销售单价并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大为多少元时，才能获得最大日销售利润？日销售利润？销售单价销售单价x(元）元） 30 40 45 50 日销售量日销售量y(件）件） 60 30 150创 新 方 案 系 列 丛 书创 新 方 案 系 列 丛 书错因第 x 年的木材蓄积量不是 200(15%x)，而是200(15%)x，是指数型函数关系，而不是倍数关系创 新 方 案 系 列 丛 书创 新 方 案 系 列 丛 书1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间关于时间t变化的图像变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型如图所示，那么图像所对应的函数模型是是() A分段函数分段函数 B二次函数二次函数 C指数函数指数函数 D对数函数对数函数解析：选解析：选A根据图像知，在不同根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数图像不同，故对应函数模型应为分段函数创 新 方 案 系 列 丛 书4.如图表示某人的体重与年龄的关系：如图表示某人的体重与年龄的关系：体重随年龄的增长而增加；体重随年龄的增长而增加；25岁之后体重不变；岁之后体重不变；体重增加最快的是体重增加最快的是15岁至岁至25岁；岁；体重增加最快的是体重增加最快的是15岁之前岁之前上述判断正确的是上述判断正确的是_(填序号填序号)解析：由图像易知在解析：由图像易知在50岁之后体重在减轻；岁之后体重在减轻；25岁之后体重变化不大，但也有改变；岁之后体重变化不大，但也有改变；在在0至至15间的线段斜率明显大于在间的线段斜率明显大于在15至至25间的线段斜率，间的线段斜率，故体重增加最快的是故体重增加最快的是15岁之前，正确岁之前，正确答案：答案： 6某品牌茶壶的原售价为某品牌茶壶的原售价为80元元/个，今有甲、乙两家茶具个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为壶，其价格为78元元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元元/个；个；，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少格减少2元元/个，但茶壶的售价不得低于个，但茶壶的售价不得低于44元元/个；乙店一律按个；乙店一律按原价的原价的75%销售现某茶社要购买这种茶壶销售现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在个，如果全部在甲店购买，则所需金额为甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需元；如果全部在乙店购买，则所需金额为金额为y2元元 (1)分别求出分别求出y1，y2与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式； (2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？创 新 方 案 系 列 丛 书