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圆锥曲线问题的探究与发现教学设计一、问题导入,引发探究师:我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具(如图),所谓生活处处皆学问嘛,我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象:两个全等的椭圆形卵,相互依偎旋转(动画)。你能通过所学解析几何知识,构造出这种有趣的现象吗?二、实验探究,交流发现探究1:卵之由来一一椭圆的形成(1)单个定椭圆的形成椭圆的定义:平面内到两定点0、幺的距离之和等于常数(大于I。川)的点的轨迹叫做椭圆。(即若平面内的动点F到两定点0、A的距离之和等于常数(大于1041),则点P的轨迹为以0、乂为焦点的椭圆。)思考i:如何使IP。|+|巧|为定值?(不妨将两条线段的长度和转化为一条线段,即在线段0P的延长线上取点B,使得I用月力I,此时,|产01+1岁为定值则可转化为1081为定值。)思考2:若|0B|为定值,则点的轨迹是什么?定点幺与3点轨迹的位置关系?(以定点。为圆心,|。5|为半径的圆。由于-|,则点幺在圆内。)思考3:如何确定点F的位置,使得且附二倒?(线段幺3的中垂线与线段03的交点为点?。)揭示思路来源:(高中数学选修2-1P497)如图,圆。的半径为定长R,幺是圆。内一个定点,B是圆上任意一点,线段AB的垂直平分线i和半径0B相交于点P,当点B在圆上运动时,点户的轨迹是什么?为什么?(设圆。的半径为R,由椭圆定义,I尸。什I以月?1+1郎耳。引=&(常数),且K|OR,所以当点3在圆周上运动时,点尸的轨迹是以014为焦点的椭圆。)图形计算器作图验证:以圆0与定点幺所在直线为x轴,0A中垂线为y轴建立直角坐标系,设圆半径心6,侬d,即圆。(叶2?+/=61点用(2),则产点轨迹是以以04为焦点的土+匕=1椭圆,椭圆方程为95。(2)单个动椭圆的形成思考4:构造一种动椭圆的方式(由于椭圆形状不变,即离心率不变,而长轴长2。二|。明为定值,则2c二|0al也要为定值,因此可将圆内点幺取在圆。的同心圆0,上,当点乂在圆0,上动时,即可得到动椭圆。)图形计算器作图验证:当圆内动点力取在圆0的同心圆01。+2)切=43上,运动点乂,即得到动椭圆。(3)两个椭圆的形成观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面,分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴称,且直线过两椭圆公共点,所以直线?为两椭圆的公切线。因而找到公切线I,作椭圆E关于切线/的对称椭圆S1即可。探究2:卵之所依一一切线的判断与证明线段幺3的垂直平分线,与椭圆的位置关系(i)利用图形计算器中的图象分析”工具直观判断,与椭圆的位置关系.设圆0上动点B(浏潭),2-湘步+-4则线段幺B的中垂线/的方程为月2并,将动点B的横坐标保存为变量舱,纵坐标保存为变量随着3点的改变,在Graphs中画出相应的动直线L用图形计算器中的图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线/与椭圆的交点,拖动点B,动态观测交点个数的变化,发现无论点3在何处,动直线1与椭圆只有唯一一个交点P,因此判断直线与椭圆相切,并可求出该切点F的坐标.也可以将椭圆方程与直线方程联立,用代数”工具中的solve()求出方程组的解,从而判断根的情况.(2)证明椭圆月与直线,相切.2-阳?苏+理岂4卜不妨设直线/:J=fc+i,其中一一丁,石,与椭圆方程联立5/+0口=45,得(5+9d)/+18脑1+9必-45=。,因此=(1魏片4(5+妹仅婚-45)=180(9ia-A1+3,发_2-明W_4+/-4将一一丁,五一,/=6久(那+2?代入上式,用代数”工具中的expand()化简式子,得A=0,所以椭圆与直线,相切,切点为P.:金罡姑可般出输入造大,(3)证明由任意圆。上的动点和圆内一点工确定的椭圆月与线段JL8中垂线,均相切(反证法)因为椭圆是点P的轨迹,而点F是直线08与线段AB中垂线/的交点,所以点P既在椭圆E上,也在直线/上。因此,直线,与椭圆至少有一个公共点,即直线,与椭圆相切或相交。假设直线,与椭圆相交,设另一个交点为P(P与产不重合).因为PeL所以I尸囿二I咫.又因为因此直所以附|+|尸川=|。3问。匈为定值,而尸0田己仆尸中|啊口烟,矛盾.线f与椭圆相切。探究3:两卵相依一一对称旋转椭圆的形成与动画当圆内动点R取在圆。的同心圆0匚。+2)切=上,作椭圆月关于切线,的对称椭圆,运动点幺,隐藏相关坐标系与辅助圆等图形,呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。改变一些问题条件,进行深入探究与发现。探究4:改变幺点位置,探究点尸轨迹(1)曲线判断:利用TI图形计算器作图分析,拖动点乂,当点幺在定圆0内且不与圆心0重合时,交点尸的轨迹是椭圆;当点乂在定圆0外时,则|俨。卜网卜1081gM),交点P的轨迹是双曲线;当点幺与圆心0重合时,点F的轨迹是圆。的同心圆;当点火在圆周上时,点产的轨迹是是一点(圆心0).(2)方程证明:圆,设点总调,可解得点P的轨迹方程为9-2口-+9、99-变当M=况或时,点F的轨迹为圆心0(2。);当马h-g且M,4时,点p的轨迹方程为(工上尸3-_L1+J9凶一+2尸当马二2时,点户的轨迹为圆:。+2)守=9;当-8用4且m-2时,点尸的轨迹为椭圆;当/龙或%;4时,点p的轨迹为双曲线。探究5:改变切线位置,探究由切线得到的包络图形查阅有关参考书籍,了解圆锥曲线的包络线,并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形,自主探究抛物线的包络线(将定圆改为定直线)。结论:所谓包络图,就是指有一条曲线按照一定运动规律运动,保留其所有瞬间位置的影像,会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切,这条曲线就成为该运动曲线的包络线。探究6:拓展延伸:椭圆切线的几个性质及其应用性质1:4器是椭圆的两个焦点,若点?是椭圆上异于长轴两端点的任一点,则严点的切线平分调电的外角。/LF市A。心观度性质1:?点处的法线(过产点且垂直于切线)平分/耳空。(即为椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上。)课后探究:阅读数学选修2-1P75阅读与思考一一圆锥曲线的光学性质及其应用,了解双曲线、抛物线的光学性质。22土+匕=1练习1:已知尺国为椭圆95的左、右焦点,点P为椭圆上任一点,过焦点骂向/用鸡作垂线,垂足为D,则点。的轨迹是,轨迹方程是。解:(1)直观判断:作轨迹(2)严谨证明:圆的定义由此得到:性质2:耳,耳是椭圆的两个焦点,44是长轴的两个端点,过椭圆上异于44的任一点p的切线,过耳,与做切线的垂线,垂足分别为44,则44在以长轴为直径的圆上。土+匕=1练习2:已知耳,片为椭圆飞工一的左、右焦点,点F为椭圆上任一点,直线j与椭圆相切与点p,且耳,耳到1的垂线长分别为,求证:4吨为定值。解:(1)直观判断:作图(2)严谨证明:利用性质2及圆的相交弦性质,4叫二ID田耳D=|A1F口4用上(fl-c)(a+c)=/-d=F商熊啊税一rdl-l 4bd2- 3 26 整由此得到:XV丁+5=1(八30)T?7.性质3:已知椭圆为窑口b,则焦点户1,%到椭圆任一切线的垂线长乘积等于b。nnt+J课后探究2:已知力1,%为椭圆95的左、右焦点,点尸为椭圆上任一点,直线/过点F,且凡耳到,的垂线长分别为,则可出犬/时,直线j与椭圆的位置关系;(相交)当可出炉炉时,直线,与椭圆的位置关系。(相离)(类比直线与圆位置关系的几何法,此为直线与椭圆位置关系的几何法课后探究:双曲线、抛物线的切线是否有类似性质?
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