圆锥曲线问题的探究与发现教学设计

圆锥曲线问题的探究与发现教学设计一、问题导入，引发探究师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗？二、实验探究，交流发现探究1:卵之由来一一椭圆的形成（1）单个定椭圆的形成椭圆的定义：平面内到两定点0、幺的距离之和等于常数（大于I。川）的点的轨迹叫做椭圆。（即若平面内的动点F到两定点0、A的距离之和等于常数（大于1041）,则点P的轨迹为以0、乂为焦点的椭圆。）思考i:如何使IP。|+|巧|为定值?（不妨将两条线段的长度和转化为一条线段,即在线段0P的延长线上取点B，使得I用月力I,此时，|产01+1岁为定值则可转化为1081为定值。）思考2：若|0B|为定值，则点的轨迹是什么？定点幺与3点轨迹的位置关系?（以定点。为圆心，|。5|为半径的圆。由于-|,则点幺在圆内。）思考3:如何确定点F的位置，使得且附二倒?（线段幺3的中垂线与线段03的交点为点?。）揭示思路来源：（高中数学选修2-1P497）如图，圆。的半径为定长R,幺是圆。内一个定点，B是圆上任意一点，线段AB的垂直平分线i和半径0B相交于点P,当点B在圆上运动时，点户的轨迹是什么？为什么？（设圆。的半径为R,由椭圆定义，I尸。什I以月?1+1郎耳。引=&（常数），且K|OR,所以当点3在圆周上运动时，点尸的轨迹是以014为焦点的椭圆。）图形计算器作图验证：以圆0与定点幺所在直线为x轴，0A中垂线为y轴建立直角坐标系，设圆半径心6,侬d,即圆。(叶2?+/=61点用(2)，则产点轨迹是以以04为焦点的土+匕=1椭圆，椭圆方程为95。(2)单个动椭圆的形成思考4:构造一种动椭圆的方式(由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长2。二|。明为定值，则2c二|0al也要为定值，因此可将圆内点幺取在圆。的同心圆0,上，当点乂在圆0,上动时，即可得到动椭圆。)图形计算器作图验证：当圆内动点力取在圆0的同心圆01。+2)切=43上，运动点乂，即得到动椭圆。(3)两个椭圆的形成观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴称，且直线过两椭圆公共点，所以直线?为两椭圆的公切线。因而找到公切线I,作椭圆E关于切线/的对称椭圆S1即可。探究2：卵之所依一一切线的判断与证明线段幺3的垂直平分线，与椭圆的位置关系(i)利用图形计算器中的图象分析”工具直观判断,与椭圆的位置关系.设圆0上动点B(浏潭)，2-湘步+-4则线段幺B的中垂线/的方程为月2并，将动点B的横坐标保存为变量舱,纵坐标保存为变量随着3点的改变，在Graphs中画出相应的动直线L用图形计算器中的图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线/与椭圆的交点，拖动点B,动态观测交点个数的变化，发现无论点3在何处，动直线1与椭圆只有唯一一个交点P,因此判断直线与椭圆相切，并可求出该切点F的坐标.也可以将椭圆方程与直线方程联立，用代数”工具中的solve()求出方程组的解，从而判断根的情况.(2)证明椭圆月与直线,相切.2-阳?苏+理岂4卜不妨设直线/：J=fc+i,其中一一丁，石,与椭圆方程联立5/+0口=45,得（5+9d）/+18脑1+9必-45=。，因此=(1魏片4(5+妹仅婚-45)=180(9ia-A1+3,发_2-明W_4+/-4将一一丁，五一，/=6久（那+2?代入上式，用代数”工具中的expand（）化简式子，得A=0,所以椭圆与直线，相切，切点为P.：金罡姑可般出输入造大,（3）证明由任意圆。上的动点和圆内一点工确定的椭圆月与线段JL8中垂线，均相切（反证法）因为椭圆是点P的轨迹，而点F是直线08与线段AB中垂线/的交点，所以点P既在椭圆E上，也在直线/上。因此，直线,与椭圆至少有一个公共点，即直线,与椭圆相切或相交。假设直线，与椭圆相交，设另一个交点为P（P与产不重合）.因为PeL所以I尸囿二I咫.又因为因此直所以附|+|尸川=|。3问。匈为定值,而尸0田己仆尸中|啊口烟，矛盾.线f与椭圆相切。探究3:两卵相依一一对称旋转椭圆的形成与动画当圆内动点R取在圆。的同心圆0匚。+2)切=上，作椭圆月关于切线，的对称椭圆,运动点幺，隐藏相关坐标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。改变一些问题条件，进行深入探究与发现。探究4:改变幺点位置，探究点尸轨迹(1)曲线判断：利用TI图形计算器作图分析，拖动点乂，当点幺在定圆0内且不与圆心0重合时，交点尸的轨迹是椭圆；当点乂在定圆0外时，则|俨。卜网卜1081gM),交点P的轨迹是双曲线；当点幺与圆心0重合时，点F的轨迹是圆。的同心圆；当点火在圆周上时，点产的轨迹是是一点(圆心0).（2）方程证明：圆,设点总调,可解得点P的轨迹方程为9-2口-+9、99-变当M=况或时，点F的轨迹为圆心0（2。）；当马h-g且M，4时，点p的轨迹方程为（工上尸3-_L1+J9凶一+2尸当马二2时，点户的轨迹为圆：。+2）守=9；当-8用4且m-2时，点尸的轨迹为椭圆；当/龙或%;4时，点p的轨迹为双曲线。探究5:改变切线位置，探究由切线得到的包络图形查阅有关参考书籍，了解圆锥曲线的包络线，并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形，自主探究抛物线的包络线（将定圆改为定直线）。结论：所谓包络图，就是指有一条曲线按照一定运动规律运动，保留其所有瞬间位置的影像，会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切，这条曲线就成为该运动曲线的包络线。探究6:拓展延伸：椭圆切线的几个性质及其应用性质1:4器是椭圆的两个焦点，若点?是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则严点的切线平分调电的外角。/LF市A。心观度性质1：?点处的法线（过产点且垂直于切线）平分/耳空。（即为椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。）课后探究：阅读数学选修2-1P75阅读与思考一一圆锥曲线的光学性质及其应用，了解双曲线、抛物线的光学性质。22土+匕=1练习1：已知尺国为椭圆95的左、右焦点，点P为椭圆上任一点，过焦点骂向/用鸡作垂线，垂足为D,则点。的轨迹是,轨迹方程是。解：(1)直观判断：作轨迹(2)严谨证明：圆的定义由此得到：性质2：耳，耳是椭圆的两个焦点，44是长轴的两个端点，过椭圆上异于44的任一点p的切线，过耳，与做切线的垂线，垂足分别为44,则44在以长轴为直径的圆上。土+匕=1练习2:已知耳，片为椭圆飞工一的左、右焦点，点F为椭圆上任一点，直线j与椭圆相切与点p,且耳，耳到1的垂线长分别为,求证：4吨为定值。解：(1)直观判断：作图(2)严谨证明：利用性质2及圆的相交弦性质，4叫二ID田耳D=|A1F口4用上(fl-c)(a+c)=/-d=F商熊啊税一rdl-l 4bd2- 3 26 整由此得到:XV丁+5=1（八30）T?7.性质3:已知椭圆为窑口b,则焦点户1，%到椭圆任一切线的垂线长乘积等于b。nnt+J课后探究2：已知力1，%为椭圆95的左、右焦点，点尸为椭圆上任一点，直线/过点F,且凡耳到，的垂线长分别为,则可出犬/时，直线j与椭圆的位置关系；（相交）当可出炉炉时，直线，与椭圆的位置关系。（相离）（类比直线与圆位置关系的几何法，此为直线与椭圆位置关系的几何法课后探究：双曲线、抛物线的切线是否有类似性质?