2021_physics第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛

本文格式为Word版，下载可任意编辑2021_physics第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛 1 第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛 （5 2021 年 年 1 1 月 月 9 29 日上午） 题 题 1 （5 分） 光滑平面上有两条长度均为 2 l、而质量为 m的匀称蠕虫A 和 B。它们的起始位置如图所示，蠕虫 A 的质心位于x-y 坐标（0, 0）。蠕虫 B 开头渐渐从 A 身上爬过，爬时两虫的身体轴线始终保持夹角 q 。试用参量 l, q 表示：当蠕虫 B爬过 A后，两蠕虫各个质心位置的坐标。 题 题 2 （13 分） 一体积为 0.001m 3 的空气泡和一质量和体积与空气泡相同的钢瓶从水下 2.0 km 深处放出。不考虑磨擦。气泡温度不变。空气在水面的密度为 1.21 kg/m 3 ，大气压为 1.0 x 10 5 N/m 2 。(提示: +=+abxdxbab ab ab b aln1 ) (a) 求气泡到水面时体积。 （3 分） (b)求在深度 h (h 2.0 km)时气泡和钢瓶净得的能量的表达式。（7 分） (c) 用该表达式求气泡和钢瓶到达水面时的速度。（3 分） 题 题 3 （12 分） 一质量为 0.5 M 的人站在一以角速度 w 旋转的厚度质量匀称，质量为 0.5 M ，半径为 R 的圆台上。圆台与中心转轴间无磨擦。该人离圆台中心距离为 r （ R） ，并带有 10 颗质量为 0.01 M 的石子。 (a) 求整个系统的总角动量。（4 分） 为了减速该人预备向外扔石子。石子扔出时相对于他的速度为 v ，方向与径向成夹角 J . (b) 求当他扔了一石子后圆台的角速度， 并找出访角速度削减最多的夹角maxJ 。（4分） (c) 求当他以maxJ 扔光石子后圆台的角速度。(答案可用多项式表达) （4 分） 题 题 4 （8 分） 一匀称长竿长度为 L，质量为 M ， 在一半径为 R (0.5L)的光滑半球面内处于静止状态。 (a) 求竿在其平衡位置四周作小幅振荡的频率。（4 分） (b) 已知小幅振荡时长竿偏离水平线最大偏角为maxq 。长竿在最大偏角和水平常球面对竿端的力的强度的差可写成2maxq a Mg N = D 。求 a 。（4分） JwJw q qxyABq qxyAB 2 题 题 5 （12 分） 一电磁波的电场为) (0 0t kZ ie x E Ew -=rr，其中0E 和 为实常数, knc= w ，c 为真空光速， n为介质的介电常数（可以是复数）。 (a) 简洁争论电磁波在介质里传播过程中，当 n是实数，虚数，或复数时电磁波强度的变化。（4分） (b) 求磁场 Br, 以及 Poynting 向量在一个周期里的平均量 = =r是描述电磁波在介质里能量损失的物理量。计算 q，并简洁争论当 n是实数，虚数，或复数时所得结果的物理意义。（3分） (d) 依据上述结果，电磁波在介质里传播时假如其强度衰减，是否其能量肯定有损失? （1 分） 3 第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛 （5 2021 年 年 1 1 月 月 9 29 日下午） 题 题 6 （12 分） 下图中阴影部分为匀称磁场区。磁场方向垂直纸面对外。 (a) 一平面线圈带电流 I，整个线圈在磁场区内，其平面与磁场垂直。求磁场对线圈的力。（3分） (b) 当线圈有部分在磁场区外时，磁场对线圈的力可表达成 F = a wBI, 其中 w 是线圈与磁场区边缘两交界点间的距离, 其方向则向上或向下（由电流方向打算）。求 a 。（3分） (c) 一半圆型线圈半径为 r, 电阻为 R，质量为 m，从磁场区内下落。线圈平面始终与纸面平行，其直边始终与磁场区底部边缘平行，距离为 y。不计线圈自感。导出打算 y（R）的微分方程式。假如你求不到(b)部分的 a ，你可当它是已知的。（6 分） 题 题 7 （15 分） 当一半导体被加上相互垂直的电场和磁场时，就会产生一与电流方向 jr垂直的电压HV 。这一现象称为霍尔效应。 (a) 一半导体为 W W 的方型薄膜，里面的电流由带正电的载流子运动引起， 每个载流子带电荷 e，载流子面密度为 n, 半导体导电率为 s 。另有一负电荷本底使半导体除了边缘以外到处中性。半导体内电场到处匀称。外加磁场 B 与薄膜垂直。当电压 V 加上后，除了产生 X-方向的电流 jr外，还产生一与电流方向垂直的电压HV 。 求到达稳态时的霍尔系数 V V RH H/ 。（留意电流 jr不是已知量）（6 分） 最近发觉，在某些半导体里存在自旋霍尔效应。该效应与载流子固有的磁矩 mr 有关。 在二维系统中载流子会受到一附加的力 ) ( v m FR Rr rr = h (Rashba 力)。其中 vr为载流子在二维系统(X-Y)平面的速度，Rh 为常数。磁矩 mr保持与平面垂直，因此z m m) r = 。留意这时无外加磁场。不计载流子磁矩间的相互作用。 (b) 设电场到处匀称，其沿 X-方向的力远大于RFr，求 Y-方向的电流。电流与 mr是何关系? （6 分） y w 磁场区 磁场区 (a) (b) (c) jrVyxzjrVyxz BrjrHVVyxBrjrHVVyx 4 (c) 由于与边界的碰撞，载流子的磁矩方向过了时间 t 之后就变成无序。也就是说每单位长度边界每秒钟有 n m / t 的载流子的磁矩方向成为无序，其中 n m 是还保持磁矩方向( z) )的载流子密度。求边缘区的磁化强度 Mr。（3分） 题 题 8 （23 分） 电流变液由绝缘液体（比如硅油）和很多悬浮其中的介电小球组成，是一种因外加电场而从液体形态变成固体形态的物质。如图所示一测试装置，包括两间距为 D ，面积为 A 的平行导电板，板间布满电流变液。两板间无电压时电流变液处于液体形态，因此两板可无磨擦地在水平方向相对运动。 两板间加上电压 V 后，小球被电场极化并沿电场排成直行。一板相对另一板要平移一小距离 d x 就需要一力 d f。切变模量 h 的定义为 xfADddh = 。小球的半径为 R （ D）, 介电常数为 e ，总体小球占整个电流变液的体积比为 m。 无小球时液体的介电常数为1。不考虑重力。以下题目要求你将 h 用上述物理量表达出来。 (a) 第一步要通过求解(a1) (a3)来计算单一小球在一匀称外电场0Er里的极化 Pr。已知球体内的极化是匀称的，方向与0Er相同。 (a1) 求在球心位置由极化 Pr产生的电场。（3 分） (a2) 求球体内的总电场。（3分） (a3) 单个小球极化产生的总电偶极子可表达成0 0E prra = 。 求 a 。（3分） (b) 把小球近似当作位于球心的抱负电偶极子，并只和0Er有关。假如你没求出(a3)里的 a， 你可以当它是已知常数来计算下面的问题。（提示：绽开时保留到 d 2 项，d是偶极子的长度。） (b1) 求当两球接触，左右并排和上下排列时（如下图所示）的静电能量。 （4分） (b2) 求当一球与板接触时板对球的静电力。（3 分） (b3) 如下图所示，求当两球上下排列时，上面的球沿水平方向平移一小距离 d a 时的水平回复力。（3分） (c) 设加上电压后全部小球都排成连续的单行的细柱，连接上下导电板。依据你(b1)的答案，细柱简单粘在一起吗？只考虑同一柱内最邻近球之间的力，当上板平移了一小距离 d x 时, 每根柱最顶端的球仍旧粘在板上跟板移动了同样距离。如右图所示，上面每个球都相对于下一个球移动了相同距离。最底部的球仍旧粘在下板上不动。 求切变模量 h .（4 分） 0Er0Er0Er(b1)0Er0Er(b1)(b3)(b2)导电板导电板电流变液导电板导电板电流变液 第 6 页 共 6 页