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习题88-1.沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B,B点振动相位比A点落后已知振动周期为2.0s,求波长和波速。解：根据题意，对于A、B两点，21,x2m,216-2而x24m,u12m/sT8-2.已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为X1处P点的振动式为yAcos(t),波速为u,求：1平面波的波动式；2假设波沿x轴负向传播，波动式又如何？x解：1设平面波的波动式为yAcos(t-)0,则P点的振动式为：uypAcos(t&)0,与题设P点的振动式ypAcos(t)比较，u有：0Xl，平面波的波动式为：yAcos(t-x1);uu2假设波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：xyAcos(t)0,则P点的振动式为：uyAcos(tx1)0,与题设P点的振动式VpAcos(t)比较，u有：0x，平面波的波动式为：yAcos(txx1)。uu8-3.平面简谐波在空间传播，如以下图，已知A点的振动规律为yAcos(2t)，试写出：1该平面简谐波的表达式；2B点的振动表达式B点位于A点右方d处。解：1仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：x一yAcos2(t-)0,则A点的振动式：u学习文档仅供参考VaAcos2(t)u0题设A点的振动式yAcos(2t)比较，有:，该平面简谐波的表达式为：yAcos2(t-uuX)u2B点的振动表达式可直接将坐标XldlyAcos2(t-)uu8-4.已知一沿X正方向传播的平面余弦波,为2s。1234写出O点的振动表达式；写出该波的波动表达式；写出A点的振动表达式；写出A点离O点的距离。解：由图可知：A0.1mT。点的振动方程可写成：Vo由图形可知:考虑到此时1ts时:330dtVo那么：1O点的振动表达式:2波动方程为：y3设A点的振动表达式为:1由图形可知：ts时：yA30.4m,l，代入波动方程：dAcos2(t一)u波动方程为:1，.，-s时的波形如以下图，且周期T3/T0.2m/s,2s,则：u0.1cos(5X0)0.1cos(t0)0.05,有：0.055一,5舍去33yO0.1cos(t0.1cos(t5xyA0.1cos(t0,有：cos(一30.1cos(3a)a)00)考虑到此时dyA0,A5-或A1dt665，A点的振动表达式：yA0.1cos(t),或yA0.1cos(64将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为:yA0.1cos(t 5 Xa3)，求得的A点的振动表达式比较，有:8-5.5 Xa所以：Xa3300.233m 。平面简谐波以速度 u 0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如以下图。试写出:123 解：这是一原点的振动表达式；波动表达式；同一时刻相距1m的两点之间的位相差。个振动图像！0)。由图可知A=0.5cm,设原点处的振动方程为:1当t 0时,一 _ 一 3Vo t 02.5 10 ,考虑到:Vo 5 10d Vo3cos( tdt当t 1时，yot 10,考虑到：d生dt5.原点的振动表达式：yO510cos(t)；632沿x轴负方向传播，设波动表达式:10.83位相差:2425 x_ 35.y 5 10 cos(t kx 6m324、10 cos(1 x -)625325243.27rad 。8-6.一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为39.010J/(sm),频率为300Hz,波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：1已知波的平均强度为：I9.0103J/(sm),由IWu有：max9.0 103003 10 5J/m32W 6 10 5J/m3；_ 1w4122由WwV,.Ww-d24_53_2_73105J/m3(0.14m)21m4.62107J48-7.一弹性波在媒质中传播的速度u103m/s,振幅A1.0104m,频率103Hz。假设该媒质的密度为800kg/m3，求：1该波的平均能流密度；21分钟内垂直通过面积S4.0104m2的总能量。1解：1由：IuA2，有：21_34、2_3、2_52I10800(10)(210)1.5810W/m；221分钟为60秒，通过面积S4.0104m2的总能量为：_543它们的间距为d 5/4,WISt1.5810410603.7910J。8-8.&与&为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源,S2质点的振动比 超前/2,设S的振动方程为吸收，1写出s与S2之间的合成波动方程; 合成波动方程。解：1如图，以S1为原点，有振动方程：A 2 Xy10 Acos-t,2.2 一一y10 A cos- t,且媒质无分别写出S1与8左、右侧的:? xSS2则波源S在右侧产生的行波方程为:2y1 A cos(- t，一.2由于S2质点的振动比S1超前/2,，S2的振动方程为y20Acos(t一)，T2设以S1为原点，波源S在其左侧产生的行波方程为：/4 ,代入可得振动方程:.22、,，y2Acos(二7tx),由于波源S2的坐标为5a 2,25y20 Acos(t T422y2 Acos(-t 一x 2可见，在与S2之间的任一点、匕八心)，与y20Acos(t)比较，有：T222)Acos(tx)。T合成波为：y y1 y2 2Acosxcos红 tT2波源Si在左侧产生的行波方程为:yi22Acos(t 一 x),2,2、-与y2 Acos(t x)叠加，有:yiy22,2、 2Acos(t x);3设波源S在其右侧产生的行波方程为:代入波源S2的坐标为5 /4可得振动方程:2y2 A cos(- t2 , y20 Acos(-t)，一， ，2与 y2oy20Acos(-t金)比较，有:2y2 Acos(-t，2 .与 y1 Acos(t23 ) Acos(t T2 、.一一x)叠加，有：y右 yiT说明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为V2、0。0。8-9.设S与S2为两个相干波源，相距1波长，S1比&的位相超前一。假设两 42波在在、&连线方向上的强度相同且不随距离变化，问6、S2连线上在Si外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何?解：I如图，、S2连线上在外侧，2 八22 i -G ri)24，两波反相，合成波强度为 0;2如图,Si、S2连线上在S2夕卜侧,rix处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加,2221一Gri）2（-）0,，两波同相，合成波的振幅为2A,合成波的强度为:I（2A）24A24I0。8-10.测定气体中声速的孔脱Kundt法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如以下图。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P,使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。假设已知棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离d,可求得管内气体中的声速u。试证：u2d。球肩泳U-2vda7学习文档仅供参考一,可得： 4 x 6.6cm。 4340m/s,所以： 340 2 5151(Hz)6.6 10 2A2) Imax (A A?)依题意有：证明：根据驻波的定义，相邻两波节（腹）间距：x再根据已知条件：量度2相邻波节间的平均距离d,所以：d,那么：2d,2所以波速为：u2d。8-11.图中所示为声音干预仪，用以演示声波的干预。S为声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路彳至SBD的长度可以变化，但路彳仝SAD是固定的。干预仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：1声源发出的声波频率；2抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节（腹）间距：x2相邻波节与波腹的间距：x1声音的速度在空气中约为2.|A2,*（A(AA2)2100A120A12,那么。(AlA2)2900A210A218-12.绳索上的波以波速v25m/s传播，假设绳的两端固定，相距2m,在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.1m,t0时绳上各点均经过平衡位置。试写出：1驻波的表示式；2形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。解：根据驻波的定义，相邻两波节 (腹)间距：x两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有如果绳的两端固定，那么23个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离,波速 u 25m/s，.二x42,则：d42,波长:222u50(Hz)。又已知驻波振幅为0.1m,t0时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为一，关于时间部分的余弦函2数应为cos(50t2),所以驻波方程为：y0.1cos2xcos(50t)；2x2由合成波的形式为：yy1y22ACOSCOS2t,可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：|y10.05cos(50t2x)V20.05cos(50t2x)。8-13.弦线上的驻波波动方程为：yAcos(-x)cost,设弦线的质量2线密度为。1分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置；2分别计算0半个波段内的振动势能、动能和总能量。22_斛：1振动势能和动能总是为手的各点位置是cos(x)0的地方。21, 2, 32k即：x(2k1),可得：xk=0,2222振动势能写成：_121222,2、2dEP-k(dy)Acos(x)costdV2220半个波段内的振动势能：22122122222Ed2-k(dy)2-Acos(x)costdxp02022222,一Acost8tdV一19199929而：dEKdmv-Asin(x)sin2220半个波段内的振动动能：2EK21dmv22A22sin2(2x)sin2tdx0202222.2.Asint8所以动能和势能之和为：E EKEPP 8A2 2。8-14.试计算：一波源振动的频率为2040Hz,以速度Vs向墙壁接近如以下图，观察者在A点听得拍音的频率为，付不3Hz,求波源移动的速度Vs,设声速为340m/s。OO木u0，u Us2040,分另ij代入，可得:uS 0.5m/s 。解：根据观察者不动，波源运动，即：Us0,Ur0,观察者认为接受到的波数变了：其中u340,2043,08-15.光在水中的速率为2.25108m/s(约等于真空中光速的3/4),在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射称切连科夫(Cherenkov)辐射,其波前形成顶角116的马赫锥，求电子的速率.解：由sin 2 -u-,有 2 Vs8-1.以下图a表示沿 b表示的是：Vsu 2.25 108sin2,116sin 一2思考题8X轴正向传播的平面简谐波在A质点m的振动曲线;2.65 108 m/s 。t 0时刻的波形图，则图B质点n的振动曲线;D质点q的振动曲线。C质点p的振动曲线;答：图b在t=0时刻的相位为-,所以对应的是质点n的振动曲线，选择Bo8-2.从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。答：1在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时到达最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。2在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。8-3.设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？答：在波源的平均功率不变，且介质无吸收的情况下，_P为常量，那么，通过距P11离为r的柱面的平均能流为：PI2r,I，A2rr、r8-4.入射波波形如以下图，假设固定点O处将被全部反射。1试画出该时刻反射波的波形；2试画该时刻驻波的波形；3画出经很短时间间隔tT周期时的驻波波形。提示：有半波损失。具体图略学习文档 仅供参考
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