软饮料销售价格的确定

软饮料销售价格的确定的建模问题一：问题摘要：在我们的社会生活中，销售价格与销售量之间的关系比比皆是，它蕴含了我们建模中的 一类大问题，即最优解问题。在本模型中所提出的问题为1. 在每一种可能的价格下，确左每周的销售量，则需要建立价格和销量的函数关系式, 用表中数据则可以大致的确定该函数关系式。2. 确左最优价格，即最优解问题，以生产总利润为目标函数建立一个模型，以价格为 自变量，总利润为因变量，应用微分的知识进行最优值得求解。3. 在数据处理上，不同的处理方式，造成的结果会有所偏差。二：关键词：销售量销售价格，利润销售价格曲线最优化价格三：问题重述：一家公司在22个近似相等大小的城市尝试销售一种新的软饮料，销售价格以及在这些 城市中每周的销量如表所示：表一：销售价格（单位：元）及每周的销量（单位：件）城市销售价格销售1周城市销售价格销售1周13. 543980122. 94600024. 802200136. 54119035. 701850145. 70196042. 706100154. 74276054. 742100163. 90433065. 911700172. 70696075. 402000183. 60416083. 904200195. 34199094. 742440204. 742860104.143300215. 941920114. 742300225.102150问题：1:某公司想要找岀理想的销售价格曲线，即在每一种可能的价格下，每周的销量是多少？ 2：在研究了试销结果后，公司将设置一个全国统一的销售价。已知每件产品的成本是138 元，公司定价是多少时，使公司获得的利润达到最大。3：对你的讣算结果做可靠性分析。三：问题假设：1. 在销售过程中，销售量和价格之间的函数关系表达式基本不变2. 销售量与销售价格之间满足二次函数的函数关系3. 销售价格与城市无关4. 销售价格不受季节，时间的限制。四. 符号表示：X：销售价格：Y：每周的销量；P：利润；五. 问题解答：（1）将题目中的数据汇总，利用excel I具做成如下图所示的曲线:销售价格（单位:元）及每周的销量（单位:件）o O8 7o o o o o O00000000:6 5 4 3 2 1 翌一 B1n=353.75X0123456销售价格假设对数据不进行任何的变动销售量与销售价格满足的函数关系式为y = 353. 75x - 4556. 4x + 16212自变量X的取值范围为2.70x6.54将题目中的数据按价格递增顺序进行汇总，得到如下的图表：销售价格（单位：元）及每周的销量（单位：件）销售价格销售量/周销售价格销售量/周销售价格销售量/周2. 70696047428605.4020002. 7061004. 7427605. 7019602. 9460004. 7424405. 7020003. 5439804. 7423005. 9419603. 6011604. 7421005.9417003. 9043304.8022006. 5411903. 9042005. 1021504. 1433005. 341990将表中的数据进行适当的处理，对某些数据进行处理：1 当销售价格为594元时，不同城市的销售量不一样，一个为每周销虽：1960件，另一个为1700件,取其平均值为1830件2. 当销售价格为5. 70元时，有两个城市的销售屋分别为1960件和2000件，平均值为1980 件3. 当销售价格为4. 74元时有五个城市每周的销虽分别为2860件，2760件，2440件，2300 件，2100件，取其平均值为2492件4. 当销售价格为2. 70元时，有两个城市每周销量为6960件，6100件取其平均值为6530 件。5. 当销售价格为3. 90元时，有两个城市每周销量为4160件，4330件，取其平均值为4245 件。6. 其余剩余所有数据基本相吻合，不需要再做处理。对数据进行处理之后，汇总如下：销售价格销量1周销售价格销量1周销售价格销量1周2. 7065303. 6041604. 7424922. 9460003. 9042454, 8022003. 5439804. 1433005. 1021505. 3419905. 4020005. 7019805. 9418306. 541190将数据用excel工具绘制图表如下:销售价格（单位：元）及每周的销量（单位:件）对数据进行处理后得到，销售价格和销售量的函数关系为: y = 345. 8x2 - 4477. 3x + 15992自变量销售价格的取值范围为：2.70x6.54(2) P代表利润；X代表销售价格Y代表每周的销售量P二x(3458x： - 4477. 3x + 15992)-1.38(345. 8x3 - 4477. 3x + 15992)要求利润最大，只需要求P的最大值利用LINGO软件得到Local optimal solution foundObjective value:9669. 402Infeasibilities:0.000000Extended solver steps:5Total solver iterations:337Elapsed runtime seconds:0. 78Model Class:NLPTotal variables:1Nonlinear variables:1Integer variables:0Total constraints:2Nonlinear constraints:2Total nonzeros:2Nonlinear nonzeros:2VariableValueReduced CostX3. 5768440. 000000RowSlack or SurplusDual Price19669. 4021. 00000020.0000000. 000000最优解为x=358即定价为3. 58元时，公司的利润最大。(3)根据以上建立的数学模型，可能会存在误差，对数据未进行舍去处理，保留原有所有 的数据，只是在销售价格相同的销量进行了取平均的处理，能更好的反应数据的取向，能更 好的对销售价格和销售量的关联程度进行很好的反应。在求解过程中，利用求导数的方式, 找到最优解，也给我们在以后处理这类建模问题上一个很好的解题思路。六. 模型评价及改进：1. 在本次模拟中，我采用的是销售价格与销售量满足二次函数的关系，在图形对比中，可 能三次函数也比较符合这组数据。2. 在本次模拟中运用微分求导的方式很符合常规思维，在生活中能运用到很多地方。、3. 对于模拟中对数据的处理方式不同，可能得出的结果有些许偏差，但不改变整体的分布， 在以后处理数据时应当对数据中偏差太大的进行舍去处理。4. 在模型建立时要充分考虑各个因素的影响，但在假设中要注意忽略次要因素，找准主要因 素。5