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第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学.由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n元函数上去.第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念1 .平面点集：E住x,y)|(x,y)具有性质PER2RR-(x,y)|xR,yR例如：(,)|222|,其中点P表示点C_xyxyr-POPr(x,y).2 .邻域:Po(xo,yo产R2.(1) .邻域：U(Po心=P|PoPf6=(x,y)#(x-xo)2+(y-yo)(zzo)26oo(2) .去心邻域：U(P0，勺=P0qP0P|0,使U(P,5广E#,则称P为E的外点.(3) .边界点：若V60,U(P,6门E涧，且U(P/B产E,则称P为E的边界点.边界：E的边界点的全体称为它的边界，记作EE.o(4) .聚点：若讨60,U(P,制厂EH，则称P为E的聚点.与集：E的聚点的全体称为它的与集.0注：1.若P为E的聚点，则P可以属于E,也可以不属于E.02. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：Ei一(x,y)1，x2y242;E2-(x,y)10.2.几何表示：函数z=f(x,y)对应空间直角坐标系中的一张曲面：F(x,y,z)=z-f(x,y)=0.四、二元函数的极限1.定义：设函数f(x,y)的定义域为D,点Po(xo,yo)为D的聚点，若三AR,V。，就0,op(x,y)D石(P0,%,满足|f(x,y)-As,则称A为f(x,y)当P(x,犷Po(xo,yo)时的极限，记作limf(x,y)=A,称之为f(x,y)的二重极限.(x,y)(x0,yo)例1.设f(x,y)=(x2+y2)si212求证limf(x,y)=0.Xy(x,y)(0,0)证明：岁。A0,要使不等式于是,(x2 + y 2 )sin2- 2 +x y二(xT y2 ) sin2-42 4 x2 * y2 s中(x, y) e gu(0,七)，总有(x2 + y2 )sin 2 1+x ylim f ( x, y)(x , VI 0,0 )0.例2.证明 lim f (x, y)不存在，其中f (x, y)(x, y ) (. 0, 0)2 xy 2 , x2 y2 - 0 亭京x- y0,x2y2 - 0证明：当P(x, y)沿直线y = kx (k * 0)趋于O(0,0)时，总有lim f (x, y) - lim(x, y )()0, 0)T xy kxkx2_ k 2 2 k2x2 - 1kf(x,y)随着k的不同而趋于不同的值，故极限lim f ( x, y)不存在.(x, y) 一( 0,0)解：lim(x, y ) ( 0, 2)sin xysin xy. lim sin xyy- lim x ( x,y ) (0,2)xyxy -0xylim y _ 1 2 - 2.y 2例3.求极限lim:sinxy.(x,y)W)x5五、二元函数的连续性1.二元函数的连续性：设函数f ( x, y)的定义域为D，点P0 (x0, y0 )为D的聚点，且P0W D，若P (x 0,y0)连续.limf(x,y)=f(x0,y0),则称z=f(x,y)在点(x,y)(x0,y0)2 .二元函数的间断点：设函数f(x,y)的定义域为D,点P0(x0,y0)为D的聚点，若f(x,y)在点P0(x0,V。)不连续，则称P0(x0,V。)为f(x,y)的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点3 .性质：设D为有界闭区域.(1) .有界性：F0,)(x,y)D，有|f(x,y)|M.f(P1)-maxf(P)|PD(2) .最值性：P1,P2=D,使得0AT40T08x1-1x0，3T/At0Ayi,y：=0即z4(x,y)在点(0,0)对x及y的偏导数都不存在.二、高阶导数1.二阶偏与数：若函数zL(x,y)对x及y的偏与数fx(x,y)及fy(x,y)对x及y的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏与数.记作：ii r?2 z尸,二 f xx( x, y) ;(2x一z2 z丁yy2fyy (x, y);(二阶纯偏与数)r-u&yr*I ax二爱zz - fxy( x, y)C 7x yjHta|wnGJx y= fz = f yx (x, y).(二阶混合偏与数)I & 3y x(二阶纯偏与数)O注：1 . 一般地，二元函数f ( x, y)的n 1阶偏与数的偏与数称为它的n阶偏导数.02 .二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数0n3 .二元函数z =f( x, y)的n阶偏与数至多有2个. 例4.设 3 2 3 31 ,求它的二阶偏与数z x y xy xy.解：-z = 3x2 y2 -3y3 - y ; 4 = 2x3 y -9xy 2 - x ;工=6xy2 ； -r2z=2xCx2Gy 218xy ;2z - 6x2 y -9 y2 - 1.总结：从这一例题，我们看到:制2 z工，即两个二阶混合偏与数相等，与求与顺序无y x关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏与数呢？我们说不是的，例如:xy=2-y2,x2+y2啥0zf(x,y)口=(x+y,在点(0,0),0,x2y2-0有 f xy(0,0), f yx (0,0),事实上,fxy (0,0) lim f x (0,0 y)T- yf (0, 0)x ;fy(0x,0).fy(0,0)fyx(0,0)-lim:二x-joxx而 f x(0,0) =lim f (0 ”x,0) - f (0, 0).= 0 , ,x ，0/f y( 0,0) = lim f (0,0 八 y) f ( 0, 0)= 0 , N 0 y(x)2y22 2(x)2+Afx(0,y)-limf(0x,y)f(0,y)-lim:xT0，为凸X-022.yx七fy(x,0)-limf(x,0-y)f(x,0)-limx一yT0墨y=y，04y+A于是，fxy(0,0),limfWy)fx(0,0)limy0yy0fyx(0,0)二limJy(0*X0)-fy(0,0)=ljm&t1,x0x0：x即fxy(0,0)-fyx(0,0).那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏与数与求与顺序无关呢？有下面的定理：2.二阶混合偏导数的性质定理：若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏与数fxy(x,y)与fyx(x,y)在区域D内连续，则它们在D内必相等,即fxy(x,y)=fyx(x,y).0注：1.可推广：高阶混合偏与数在连续的条件下与求与顺序无关.02.一般地，若二元函数z五x,y)的高阶混合偏导数都连续，则z=f(x,y)的n阶偏导数只有n#1个.第三节全微分一、全微分的相关概念z二二1 .偏增量：称xf(xx,y)f(x,y)为函数zf(x,y)对x的偏增量；松yz=f(x,y+Ay)-f(x,y)为函数z=f(x,y)对y的偏增量.2 .偏微分：称fx(x,y)&与fy(x,vy为zf(x,y)对x及y的偏微分.注：fx干zxy_fxy嫁fxy也，+告(,)(,)x(,)f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y.但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量风、对时，相应的函数增量&z与自变量的增量Ax、Ay之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3 .全增量：称生=f(x4x,y土N)-f(x,y)为函数z4(x,y)在点P(x,y)对应于自变量增量&、y的全增量.一般来讲，计算全增量&z是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用Ax、4的线性函数来近似代替函数的全增量&z,为此，引入了全微分.4 .全微分：若函数zf(x,y)在点P(x,y)的某领域内有定义，且在P(x,y)的全增量zf(xX,yy)f(x,y)可表示为zAxByo()其中、不依赖于、夫V,二+也+幺一氏=&+卷+PACAAABx而仅与x、y有关，P=d(3x)2+(R)2,则称z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，而称A令出ay为zf(x,y)在点P(x,y)的全微分，记作dz,即dz=a&E/.若zwf(x,y)在区域D内每一点都可微分，则称z=f(x,y)在D内可微分.注：dz二4p()R我们知道，当一元函数y=f(x)在点x的微分dy=A内存在时，Af(x),那么，当二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全微分dz9/#B&y存在时，A、B又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏与数存在的关系，从中得到A、B的值.二、二元函数可微分与偏与数存在、可微分与连续的关系1.函数可微分的必要条件定理1.若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，则它在点P(x,y)的两个偏与数fx(x,y)及必定存在，且在点的全微分dzfxydxfxydyfy(x,y)z=f仅,y)P(x,V)xx(,)y(,).证明：由于z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，则有必=A型；+况y。),其中户二丫(以)24(4)2，当y0时，有xa=f(x+x,v)-f(x,y尸A4x*o(|x|),从而limf(x+4,y)-f(x,y),=limAxo(|%|)二A,X-0xX,0x即A=fx(x,y),同理可得B=fy(x,y),于是dz二fx(x,v次义+fy(x,y)y.特殊地，令f(x,y)=x，有fx(x,y)1,fy(x,y)=0,从而有dx二&x,同理令f(x,y户y,有fx(x,y)=0,fy(x,y)=1,从而有dy=y.于是有dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy,也称之为二元函数微分学的叠加原理.注：定理说明：函数z=f(x,y)可微分，z三f(x,y)一定可偏与，且全微分可用偏与数表示.但反之未必，即偏与数存在，函数z=f(x,y)未必可微分.xy.,x2y，0例如：z=f(x,y)=Jx2+y2在点(0,0)0,x2y2-0处两个偏与数都存在，且fx(0,0卢fy(0,0),但z=f(x,y)在点(0,0)却不可微分事实上，假设z-f(x,y)在点可微分，则dzfxy(0,0)=x(,)z=dz*o(P),从而“pdzT0,当Pt0时.+垓,0+%)+f(0,0)-0=j=y=,有(x)(y)limx0+一.f(xx,y)f(x,y)xd:lim谷*.xy_不存在，更谈不上等于222(x,y)(0,0)(Vdx)2?y)2)20,从而假设不成立，即z开(x,y)在点(0,0)不可微分2.函数可微分的必要条件定理2若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，则它在点P(x,y)连续.证明：由于z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，有*=A4+BAy*o(?，其中f行办+趣)2,于是有,lim多=0.又z=f(x,y)的全增量为=f(xx,y+y)f(x,y),从而limf(x+&x,y+4_y)f(x,yL0,即limf(x+&x,y+y)f(x,y),这说明&,y)q0)&更t(0,0)z=f(x,y)在点P(x,y)连续.例如：函数z 一 f (x, y)注：函数连续，未必可微分x2+y2在点(0,0)连续，但由于偏与数不存在，从而不可微分3.函数可微分的充分条件定理3若函数zf ( x, y)的偏与数fx (x, y)与f y (x, y)在点(x, y)都连续,则Z f (x, y)在点ii(x,y)可微分.注：反之未必.例如：z f ( x, y)(x2y 2 ) sin 2 12+x yx2y2 -0,x2y 2 -0在点(0,0)可微分，但 f x (x, y)与0fy(x,y)在点(0,0)都不连续.(1) .先说明z=f(x,y)在点(0,0)可微分.设生4, y)=f x(0,0) & +f y (0,0户 y因为 f x( 0,0)x2 sin-lim f ( x,0) - f (0, 0) - lim 一f y (0,0)一 liyf (0, y) f ( 0, 0)- limy 0u f (0x,0y)f (0,0)(x)y2 sin12 y=0 ,2y) sinA(x)2由于lim0-9 A(xy)-lim, 一 2sin. p0其中(Fa、：小x)2+Ay)2,于是A -Au ( x,y)+ Po() 一：fx (0,0) x f y (0,0)-y o),由全微分的定义知z 一 f (x, y)在(0,0)可微分.(2) .再说明偏与数fx(x,y)及fy(x,y)在点(0,0)不连续.易知一 一2x sin 22 cosf x ( x, y)x2y2x2 y21 22x y2-0 ,由于 lim fx (x, y)(x, y ) ( 0 ,0)y xlimf x ( x, x)x 0_ lim 2x sinx 0112_ 一2 xx1cos 22 x不存在,从而fx (x, y)在点(0,0)不连续.同理可知=2vsin2ycos一(x2+y2#0)在点(0,0)也不连续fy(x,y)y*y2x2y2x2y2例1.计算函数z=x2y+y2的全微分.z,z,9解：dz二一dx十一dy二2xydx(+x2+2y)dy.xy例2.计算函数zexy在点(2,1)处的全微分解：由于 L y yexy g=xe” 有, x_2=e2 M2仅3Cx y=1Cy y 壬例3.计算u二x +sin y +eyz的全微分. 2解：四=u dx u dy u dz dx1cosxy z2 2二2e2 ,所以dx 2-y 1yll zeyz dy ye yzdz .e2 dx - 2e2dy.第四节多元复合函数的求导法则一、一元函数与多元函数复合的情形定理1.若函数u=。)及v=W在点t都可与，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏与数，则复合函数z=f中(t)(t)在点t可导，且dz=6z-du+kdv.(全导数公式)dtudtvdt注：可推广：z=f(u,v,),u=%),v=“(t),0)=8。)复合而成的函数zf(t),(t严(t)在点t可导，且L=多-du+zzPv+-f-z-d-.cccodtudtvdtdt二、多元函数与多元函数复合的情形定理2.若函数u一(x,y)及v-(x,y)在点(x,y)具有对x及y的偏与数，函数z-f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏与数，则复合函数z=f0,0，与t：满足ov|Lto|，总有|f(t)-ro|e,则称r。为(t)当*to时的极限，记作limf(t)_ro.tito注：limf(t)存在仁limfi(t)、limf2(t)、limf3(t)都存在.ttottottott，olimf(t)_limfi(t),limf2(t),limf3(t).ttotfotfotto3. 一元向量值函数的连续性：设向量值函数f(t在点to的某一邻域内有定义，若limf(t)=f(to),则称向量值函数f在点to连续.tto注：f(t)在点to连续仁fi(t)、f2、f3(t)点to连续.,jy4. 一元向量值函数的与数(与向量)：设向量值函数rf(t)在点to的某一邻域内有定义，若limr二limf(tt)3f(to)存在，则称此极限值为f(t)在点to的导数或导向量，记作f(t)t-ot卷otdr或一dttxo.注：1.f(t)在点to可与1fi(t)、f2(t)、f3(t)点to都可与.f(t厂fii,f2(t)jf3(t)k.0.,一一.-Ur12,一兀向重值函数的导向重的几何意义：f(to)中mT3-是向重值函数r=f(t)的终骑r曲线在点M(to)处的一个切向量,其指向与t的增长方向一致.例1.设f(t)=(cost)i(Sint)jtk，求limf(t).解:limt/ 4f(t)=(limcost)i(limsint)j(limt)kJ/4例2.设空间曲线r的向量方程为r=(t)=(t2+1,4t一3,2t2-6t),twR,求曲线在点t0=2相应的点处的单位切向量.解：由于f(t)=(2t,4,4t6)，有f(2)=(4,4,2),进而|f|二J44至22=6,于是吊二1(4,4,2)_孑,./：为指向与t的增长方向一致的单位切向量.6333吊=2_22,21-j1为指向与t的增长方向相反的单位切向量.333二、空间曲线的切线与法平面xr0(t)1 .参数式情形：设空间曲线r的参数方程为卜工刎(t),t飞a,由，假设(t)、v(t)以及s(t)z=阳t)在%p上可导，且三个导数不同时为零.2 1).切线：曲线r上的一点M(xo,yo,z0)处的切线方程为：0-Xyo二0,参数to对(t)(t)(t)应点M(xo,yo,zo).x-(t)推与：由于曲线T的参数方程为ly二甲，记向量值函数f(t)=(%t),V(t),(t),由向量值z口网:(t)函数与数的几何意义知：向量T=f(to尸F(to泮(to),3(to)即为曲线在其上的点M(xo,yo,zo)处的一个切向量，从而曲线在其上的点M(xo,yo,zo)处的切线方程为:xxokyyo-zoQVei(to)(to)(to)3 2).法平面：通过曲线r上的点M(xo,yo,zo)而与曲线在点M处的切线垂直的平面方程称为曲线,在点M处的法平面，方程为“(to)(xxo)十里(to)(y-y)%)(z一zoro.其中法向量为-()-(),(),()Tftotototo.一、一.y-(x)强赖一4 .特殊式情形：设空间曲线T的方程为，且7x)、*(x)在点x=x。处可与，曲线z(x)r的方程可改写为y=3(x),x为参数，从而曲线r在点M(xo,yo,zo)处的切线与法平面方z酒(x)程分别为:(1) .切线方程: xo_ y _ yo_ z - o1( xo )( xo )(2) .法平面方程:(x - xo )*乒(xo )( y-yo 尸宓(x)( z - zo ) - O .3. 一般式(隐函数)情形：设曲线的方程为IF ( x, y, z)=O ?,)为曲线上的一点,又设F、G有对各个变量的连续偏与数，且某一邻域内确定了一组隐函数y1zG( x, y, z) = 0M xo yo zo(F ,G)(y, z)*O,M这时方程组在点M ( xo , yo , zo )的一 (x),从而曲线的参数方程为(x)x= x2y,Fz(x,y,z尸2z,故所求切平面的法向量为N二(2x,2y,2z兀=(2,4,6),法线方程为:例5.求旋转抛物面z于是所求切平面方程为：2(x1)-4(y一2声6(z召)=。，即x+2y+3z-146,_Z1=斗二2，即？=_y=_z.123123+1在点x2y2(2,1,4)处的切平面即法线方程解：设(，厂2*2-1，有=,=,于是所求切平面的法向量为fxyxyfx(x,y)2xfy(x,y)2y一1一N2x,2y,1,4)(4,2,1).从而所求切平面方程为4(x-2),2(y-11(z-4)=o,即4x2y-z6=o,法线方程为？x1-厂1-4421第七节方向导数与梯度弓I入：由函数f(x,y)在点Po(xo,yo)的偏导数的几何意义可知：偏与数fx(xo,yo)、fy(xo,yo)只是函数f(x,y)过点Po(xo,yo)沿平行坐标轴法线的变化率.但在实际应用中，往往要求我们知道函数f(x,y)在点Po(xo,yo)沿任意确定的方向的变化率，以及沿什么方向函数的变化率最大，这就涉及到函数的方向导数和梯度一、方向与数+a+a1.定义：设函数f(x,y)在点Po(xo,yo)的某个邻域U(Po)内有定义，Po(xotcos,yotsin)22为过点Po(xo,yo)的射线l(el=(cosqsin汨上另且PU(P0).若极限lim,otcos,yottsinto.tf(xo,yo)存在，则称此极限为函数z&x,y)在点Po(xo,yo)沿方向l的方向与数，记作f中(xo,yo)注：若函数f(x,y)在点Po(xo,yo)的偏与数存在，且el三(1,0户，则f=lim(t,yo厂f(xo,yo)=fx(xo,yo).lt.(xo,yo)t若函数f(x,y)在点Po(xo,yo)的偏与数存在，且=el=(o,1)j,则=Jim(0,丫0+1)_f(xo,yo甘fy(x),yo).ty、(xo,yo)t2.方向与数的存在性定理：若函数f(x,y)在点Po(xo,yo)可微分，则函数f(x,y)在点Po(xo,yo)沿任意方向l的方向导数都存在，且有=fx(xo,yo)cos/fy(xo,yo)cos,其中cos。、cos(xo,yo)鼻勺方向余弦.注：1.可推广：若函数f(x,y,z)在点Po(xo,yo,zo)可微分，则f(x,y,z)在点Po沿方向eLcos隙cos,l，。s)y的方向导数为:l一fx(xo,y,Z3)cosfy(xo,yo,zo)cosfz(xo,yo,zo)cos.(xo,yo,zo)2.方向与数存在，函数未必可微分例如：f(x,y)x22,l在点(o,o)沿方向eCt解、(cos,cos)的方向与数都存在，但f(x,y)在点(o,o)不可微分.24X24y 2在点+(X+事实上：由于limf(otcos,otcos)totHoo_=limr=1,从而f(x,y)三to-t(o,o)沿方向el的方向与数都存在.但 f (x, y) - x2*y2在点(o,o)的两个偏与数都不存在，从而不可微分例1.求函数zxe2y在点P(1,o)处从点P(1,0)到Q(2,1)方向的方向与数.解：由题可知方向l就是向量PQ(1, 1)的方向，有e尸Z=2yie I (1,0 )敢I(1, 0)zjMlc(1,0 )2 y2xe故所求方向与数为殳11_1+2/_上2.的(1,0)22I2J2例2.求(x,y,z)=xy+yz+zx在点(1,1,2)沿方向l的方向与数，其中l的方向角分别为60o,45o,60.解：由题可知与方向1同向的单位向量为 =(cos
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