考研数学《概率统计》讲义第四讲课件

考研数学概率统计讲义第四讲考研数学概率统计讲义第四讲6、法律的基础有两个，而且只有两个公平和实用。伯克7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。歌德8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。亚里士多德9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。查科尔顿10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。德谟耶克斯河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【引例【引例【引例【引例1 1 1 1】枪枪手手手手进进行射行射行射行射击击，规规定定定定击击中区域中区域中区域中区域I I I I内得内得内得内得2 2 2 2分，分，分，分，击中区域击中区域击中区域击中区域IIIIIIII内得内得内得内得1 1 1 1分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域IIIIIIIIIIII）得得得得0 0 0 0分。分。分。分。II IIII 枪手每次射击的得分枪手每次射击的得分X是一是一个随机变量，其分布律为个随机变量，其分布律为 现射击现射击N次次,其中得其中得0分的有分的有 次次,得得1分的有分的有 次次,得得2分的有分的有 次次,于是于是,射射击击N次的总分为次的总分为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计从而从而,每次射击的平均分为每次射击的平均分为 在第五章在第五章大数定律大数定律中可证明中可证明:当当N无限增大时无限增大时,频率频率 接近于概率接近于概率 ,故当故当N很大时很大时,这表明这表明:随着试验次数增大随着试验次数增大,随机变量随机变量X的观察值的的观察值的算术平均算术平均 接近于接近于称后者为随机变量称后者为随机变量X的数学期望的数学期望(均值均值).设设 X 为离散为离散 r.v.其分布为其分布为若无穷级数若无穷级数其和为其和为 X 的的数学期望数学期望 记作记作 E(X),即即离散型离散型r.v.的数学期望的数学期望绝对收敛绝对收敛,则称则称河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。试评定甲乙成绩的优劣。解这是解这是解这是解这是离散型离散型离散型离散型随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：由由由由 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。知：甲的成绩远胜过乙的成绩。知：甲的成绩远胜过乙的成绩。知：甲的成绩远胜过乙的成绩。【例【例【例【例【例【例1 1 1 1 1 1】甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为X X X X X X1 1 1 11 1，X X X X X X2 2 2 22 2，其其其其其其 分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为例例2 2 X B(n,p),求求 E(X).解解特例特例 若若Y B(1,p),则则 E(Y)常见常见 离散型离散型r.v.的数学期望的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)np()设连续设连续 r.v.X 的的 d.f.为为若广义积分若广义积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分为则称此积分为 X 的的数学期望数学期望记作记作 E(X),即即定义定义连续型连续型r.v.的数学期望的数学期望河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计求求求求求求E(X)E(X)E(X)E(X)E(X)E(X)。解这是解这是连续型连续型随机变量。由数学期望定义得：随机变量。由数学期望定义得：分段函分段函数的积数的积分分 【例【例【例【例【例【例3 3 3 3 3 3】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间X(X(X(X(X(X(分钟分钟分钟分钟分钟分钟)是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量,其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度 为为为为为为例例4 4 X N(,2),求 E(X).解解分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)常见常见 连续型连续型r.v.的数学期望的数学期望q 设离散设离散 r.v.X 的概率分布为的概率分布为 若无穷级数若无穷级数绝对收敛，则绝对收敛，则q 设连续设连续 r.v.的的 d.f.为为f(x)绝对收敛绝对收敛,则则若广义积分若广义积分 r.v.函数函数 Y=g(X)的数学期望的数学期望q 设离散设离散 r.v.(X,Y)的概率分布为的概率分布为Z=g(X,Y),绝对收敛绝对收敛,则则若级数若级数q 设连续设连续 r.v.(X,Y)的联合的联合 d.f.为为f(x,y)，Z=g(X,Y),绝对收敛绝对收敛,则则若广义积分若广义积分例例5 5 设设(X,Y)N(0,1;0,1;0),求求的数学期望的数学期望.解解解解(1)设整机寿命为设整机寿命为 N,五个独立元件五个独立元件,寿命分别为寿命分别为都服从参数为都服从参数为 的指数分布，若将它们的指数分布，若将它们 (1)串联；串联；(2)并联并联成整机，求整机寿命的均值成整机，求整机寿命的均值.例例6 6即 N E(5),(2)设整机寿命为设整机寿命为 可见可见,并联组成整机的平均寿命比串联并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长组成整机的平均寿命长11倍之多倍之多.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 【例【例【例【例【例【例7 7 7 7 7 7】一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命X(X(X(X(X(X(以年计以年计以年计以年计以年计以年计)服从服从服从服从服从服从 指数分布指数分布指数分布指数分布指数分布指数分布,其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为 解这是求解这是求解这是求解这是求连续型连续型连续型连续型随机变量函数的数学期望。随机变量函数的数学期望。随机变量函数的数学期望。随机变量函数的数学期望。工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工若工若工若工若工若工 厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利100100100100100100元元元元元元,调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费 300300300300300300元元元元元元.试试试求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台设备净赢设备净赢设备净赢利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望.设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计三三三三三三.数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望具有如下性数学期望具有如下性质:设X,Y为随机随机变量量,c为常数常数,则 E(c)=c;E(cX)=cE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y);当当X,Y相互独立时相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y);河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计解解方法方法1(表格法表格法)由由X的分布列得的分布列得:X-202P0.40.30.3X204Pk0.30.73X2+5517Pk0.30.7【例【例【例【例8 8 8 8】已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量X X的分布列为的分布列为的分布列为的分布列为求求求求X,XX,X2 2,3X,3X2 2+5+5的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望.E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;于是于是,河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计E(X2)=00.3+40.7=2.8;E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.方法方法方法方法2 2(定义定义定义定义+性质法性质法性质法性质法)因为因为E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;所以所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.例例6-6-续续 河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计E(X2)=00.3+40.7=2.8;E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.方法方法方法方法2 2(定义定义定义定义+性质法性质法性质法性质法)因为因为E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;所以所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.例例6-6-续续 例例9 9 将将 4 个不同色的球随机放入个不同色的球随机放入 4 个盒子个盒子 中中,每盒容纳球数无限每盒容纳球数无限,求空盒子数的求空盒子数的 数学期望数学期望.解一解一 设设 X 为空盒子数为空盒子数,则则 X 的概率分布为的概率分布为X P0 1 2 3解二解二 再引入再引入 X i ,i=1,2,3,4Xi P 1 0 例例10:一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅旅客有客有10个车站可以下车个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客如到达一个车站没有旅客下车就不停车下车就不停车.以以X表示停车的次数表示停车的次数,求求E(X).解解:引入随机变量引入随机变量易知易知X=X1+X2+X10任一旅客在第任一旅客在第i站不下车的概率为站不下车的概率为9/10.因此因此20位旅客位旅客都不在第都不在第i站下车的概率为站下车的概率为(9/10)20,在第在第i站有人下站有人下车的概率为车的概率为1-(9/10)20.即即PXi=0=(9/10)20,PXi=1=1-(9/10)20所以所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,10进而进而E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101-(9/10)20=8.784 注注:本题的特点是将本题的特点是将X分解为数个随机变量的和分解为数个随机变量的和,再求数学期望再求数学期望.此种方法具有普遍意义此种方法具有普遍意义.例例11:抛掷抛掷6颗骰子，颗骰子，X表示出现的点数之和，求表示出现的点数之和，求E(X).从而由期望的性质可得从而由期望的性质可得 例例1212设二维设二维 r.v.(X,Y)的的 d.f.为为求求E(X),E(Y),E(X+Y),E(X Y),E(Y/X)解解 由数学期望性质由数学期望性质X,Y 独立独立END16、业余生活要有意义，不要越轨。华盛顿17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。罗素贝克18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。马云19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。雷锋20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。布尔沃