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精 品 数 学 课 件北 师 大 版4.3 简单线性规划的应用 1.1.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题的实际问题 ； 2.2.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力提高数学建模能力 . .简单线性规划问题的求解步骤简单线性规划问题的求解步骤(1)(1)设：设：设出变量设出变量x x，y y，写出约束条件及目标函数，写出约束条件及目标函数(2)(2)作：作：作出可行域作出可行域(3)(3)移：移：作出一条直线作出一条直线l（一般可过原点）（一般可过原点），平移，平移l，找最优解，找最优解(4)(4)解：解：联立方程组求最优解，并代入目标函数求出最值联立方程组求最优解，并代入目标函数求出最值(5)(5)答：答：写出答案写出答案例例 1 1：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每种原料每10g含含 5 5 单位蛋白质和单位蛋白质和 1010 单位铁质，售价单位铁质，售价 3 3 元元; ;乙种原乙种原料每料每10g含含 7 7 单位蛋白质和单位蛋白质和 4 4 单位铁质，售价单位铁质，售价 2 2 元，若病人每餐元，若病人每餐至少需要至少需要 3535 单位蛋白质和单位蛋白质和 4040 单位铁质，试问：应如何使用甲、单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？ 分析：分析： 设设出出甲、乙两种原料分别用甲、乙两种原料分别用10 xg和和10yg. . 需要的费用为需要的费用为 32zxy； 病人每餐至少需要病人每餐至少需要 3535 单位蛋白质，可表示为单位蛋白质，可表示为5735xy ； 同理，对铁质的要求可以表示为同理，对铁质的要求可以表示为 10440 xy. . 这样，问题成为：在约束条件这样，问题成为：在约束条件 5735,10440,0,0 xyxyxy 下，求目标函数下，求目标函数32zxy的最小值的最小值. . 解解 设甲、乙两种原料分别用设甲、乙两种原料分别用10 xg和和10yg. . 需要的费用为需要的费用为 32zxy； 病人每餐至少需要病人每餐至少需要 3535 单位蛋白质，可表示为单位蛋白质，可表示为5735xy ； 同理，对铁质的要求可以表示为同理，对铁质的要求可以表示为 10440 xy. . 这样，问题成为：在约束条件这样，问题成为：在约束条件 5735,10440,0,0 xyxyxy下，求目标函数下，求目标函数32zxy的最小值的最小值 作出可行域，如图作出可行域，如图 令令0z ，作直线，作直线0:320lxy. . yxo5735xy10440 xy0:320lxyA-2-22 24 4 6 68 82 24 46 68 81010由图形可知，由图形可知，把直线把直线0l平移平移至至顶点顶点 A A 时，时， z取得最小值取得最小值. . 由由5735,10440 xyxy 得得14(,3).5A 所以用甲种原料所以用甲种原料141028( )5g， 乙种原料乙种原料3 1030( )g，费用最省，费用最省 yxo5735xy10440 xy0:320lxyA-2-22 24 4 6 68 82 24 46 68 81010例例 2 2 某厂生产一种产品，其成本为某厂生产一种产品，其成本为 2727 元元kgkg，售价为，售价为 5050 元元/kg/kg，生产，生产 中，每千克产品产生中，每千克产品产生 0.30.33m的污水，污水有两种排放方式：的污水，污水有两种排放方式： 方式一：直接排入河流；方式一：直接排入河流； 方式二： 经厂内污水处理方式二： 经厂内污水处理站站处理处理后排入河流， 但受污水处理站技术水平的限制，后排入河流， 但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有污水处理率只有 85%85%. .污水处理站最大处理能力是污水处理站最大处理能力是 0.90.93/mh， 处理污水的成本， 处理污水的成本是是 5 5 元元3m 另外， 环保部门对排入河流的污水收费标准是另外， 环保部门对排入河流的污水收费标准是 17.617.6 元元3m， 且允许该厂排入， 且允许该厂排入河流中污水的最大量是河流中污水的最大量是 0.2250.2253/mh。那么，该厂应选择怎样的生产和排污方。那么，该厂应选择怎样的生产和排污方案，可使其每小时净收益最大？案，可使其每小时净收益最大？ 解：解：根据题意，本问题可归纳为：根据题意，本问题可归纳为： 在约束条件在约束条件 0.30.9,917045,0.30,0,0 xyxyxyxy 下，求目标函数下，求目标函数20.7089.96zxy的最大值的最大值. . 作出可行域，如图，作出可行域，如图， yxo917045xyA0.30 xy0.30.9xy1212令令0z 作直线作直线0:20.7089.960lxy， 由图形可以看出，平移直线由图形可以看出，平移直线0l， 在可行域中的顶点在可行域中的顶点 A A 处，处，z取得最大值取得最大值. . 解方程组解方程组0.30.9,917045xyxy， 得得 A(3.3,0.09)A(3.3,0.09). . yxo917045xy0lA0.30 xy0.30.9xy1212故该厂生产该产品故该厂生产该产品 3.3kg/h3.3kg/h，直接排入河流的污水为，直接排入河流的污水为 0.090.093/mh时，可使每小时时，可使每小时净收益最大，净收益最大， 最大值为最大值为 20.7020.708 83.39.96 0.967.44( (元元) )。 答答 该厂应安排生产该产品该厂应安排生产该产品 3.3kg/h3.3kg/h，直接排入河流的污水为，直接排入河流的污水为 0.090.093/mh时，其每小时净收益最大。时，其每小时净收益最大。 y yxo917045xy0lA0.30 xy0.30.9xy1212线性规划应用问题的解法步骤：线性规划应用问题的解法步骤：(1)(1)根据题意，设出变量根据题意，设出变量x,yx,y(2)(2)找出线性约束条件；找出线性约束条件；(3)(3)确定线性目标函数确定线性目标函数z=f(x,y)（4 4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5 5）利用线性目标函数作平行直线系）利用线性目标函数作平行直线系( , ) f x yt（t为参数） ；为参数） ； （6 6）观察图形，找到直线）观察图形，找到直线( , ) f x yt在可行域上使在可行域上使t取取 得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。 某加工厂用某原料由甲车间加工出某加工厂用某原料由甲车间加工出A A产品，由乙车间加工出产品，由乙车间加工出B B产品甲车间产品甲车间加工一箱原料需耗费工时加工一箱原料需耗费工时 1010 小时可加工出小时可加工出 7 7 千克千克A A产品， 每千克产品， 每千克A A产品获利产品获利4040 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 6 小时可加工出小时可加工出 4 4 千克千克B B产品，每千产品，每千克克B B产品获利产品获利 5050 元甲、乙两车间每天共能完成至多元甲、乙两车间每天共能完成至多 7070 箱原料的加工，每箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480480 小时，甲、乙两车间每天总获利小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为最大的生产计划为( ( ) ) A A甲车间加工原料甲车间加工原料 1010 箱，乙车间加工原料箱，乙车间加工原料 6060 箱箱 B B甲车间加工原料甲车间加工原料 1515 箱，乙车间加工原料箱，乙车间加工原料 5555 箱箱 C C甲车间加工原料甲车间加工原料 1818 箱，乙车间加工原料箱，乙车间加工原料 5050 箱箱 D D甲车间加工原料甲车间加工原料 4040 箱，乙车间加工原料箱，乙车间加工原料 3030 箱箱 解析：解析：设甲车间加工原料设甲车间加工原料x x箱，乙车间加工原料箱，乙车间加工原料y y箱，箱， 甲乙两车间总获利甲乙两车间总获利z z7 74040 x x4 45050y y280280 x x200200y y， 约束条件约束条件 x xy y70701010 x x6 6y y480480 x xN N，y yN N 总获利最大即求总获利最大即求z z的最大值，的最大值， 由图可知，当直线过点（由图可知，当直线过点（1515，5555）时）时 直线直线y y7 75 5x xz z200200截距最大截距最大，也即，也即z z最大最大 当当x x1515，y y5555 时，时，z z最大故选最大故选 B.B. 答案：答案：B B某厂生产甲产品每千克需用原料某厂生产甲产品每千克需用原料A A和原料和原料B B分别为分别为 a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料千克，生产乙产品每千克需用原料A A和原料和原料B B分别为分别为 a2、b2千千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d d1 1、d d2 2元月初一次性购元月初一次性购进本月用原料进本月用原料A A、B B各各c c1 1、c c2 2千克，要计划本月生产甲产品和乙千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大 在这个问题中， 设产品各多少千克才能使月利润总额达到最大 在这个问题中， 设全月生产甲、乙两种产品分别为全月生产甲、乙两种产品分别为x x、y y千克，月利润总额为千克，月利润总额为z z元，元，那么，用于求使总利润那么，用于求使总利润z zd d1 1x xd d2 2y y最大的数学模型中，约束条最大的数学模型中，约束条件为件为_ 解析：解析：生产甲、乙产品所需生产甲、乙产品所需A A原料之和应原料之和应不大于不大于c c1 1，故，故 a1xa2yc1； 同理生产甲、乙产品所需同理生产甲、乙产品所需B B原料之和应原料之和应不大于不大于c c2 2，故，故b b1 1x xb b2 2y yc c2 2； 当然当然x x、y y应是应是非负非负数，故数，故约束条件为约束条件为: : a1xa2yc1b1xb2yc2x0y0 2 2某公司有某公司有 6060 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2 23 3倍，且对每个项目倍，且对每个项目的投资不能低于的投资不能低于 5 5 万元，对项目甲每投资万元，对项目甲每投资 1 1 万元可获得万元可获得 0.40.4万元的利润，对项目乙每投资万元的利润，对项目乙每投资 1 1 万元可获得万元可获得 0.60.6 万元的利润，万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为润为( ( ) ) A A3636 万元万元 B B31.231.2 万元万元 C C30.430.4 万元万元 D D2424 万元万元 解析：解析：设投资甲为设投资甲为x x万元，投资乙为万元，投资乙为y y万元，获得利润为万元，获得利润为z z万元，万元， 则则z z0.40.4x x0.60.6y y， 且且 x xy y6060，x x2 23 3y y，x x5 5，y y5.5. 作出不等式组表示的区域，如下图所示，作作出不等式组表示的区域，如下图所示，作 直线直线 l0 0：0.40.4x x0.60.6y y0 0 并将并将 l0 0向上平移向上平移 到过到过A A点时点时z z取得最大值，取得最大值， z zmaxmax0.40.424240.60.6363631.2(31.2(万元万元) )，故选，故选 B.B. 答案：答案：B Bl0 0：0.40.4x x0.60.6y y0 0 3.3.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润 和和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种 货物货物应各托运的箱数为应各托运的箱数为( ( ) ) A.4,1 A.4,1 B B3,23,2 C C1,4 1,4 D D2,42,4 货物货物 体积每体积每箱箱(m(m3 3) ) 重量每重量每箱箱 50 kg50 kg 利润每箱利润每箱( (百元百元) ) 甲甲 5 5 2 2 2020 乙乙 4 4 5 5 1010 托运限制托运限制 2424 1313 解析：解析：设甲、乙两种货物各托运设甲、乙两种货物各托运x x，y y箱时，能获得最大利润，箱时，能获得最大利润， 由题意知：由题意知： 5 5x x4 4y y2424，2 2x x5 5y y1313，x x0 0，x xN N* *，y y0 0，y yN N* *. . 利润目标函数利润目标函数 z20 x10y， 如上图：可行域为阴影部分如上图：可行域为阴影部分 ABOC，且，且 A(4,1)， 经分析当经分析当 l0平移到平移到 l，即过，即过 A(4,1)时时 y 最大，故选最大，故选 A. 答案：答案：A A解线性规划应用题的一般步骤：解线性规划应用题的一般步骤： 设出未知数；设出未知数； 列出约束条件；列出约束条件； 建立目标函数；建立目标函数； 图解法求最优解；图解法求最优解； 还原作答还原作答预备十二分的力量，才能希望有十分的成功。 张太雷
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