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-1 12OY答：答： 在在 是不存在反函数的。是不存在反函数的。xysinRx 4 4反正弦有哪两个重要公式？反正弦有哪两个重要公式？ 1. 在在 是否存在反函数是否存在反函数 ？ xysinRx2.反正弦函数是如何定义的？反正弦函数是如何定义的？11arcsinxxyxysin2,2x答：答： 在在 上的反函数上的反函数 称为反正弦函数称为反正弦函数 3 .反正弦函数反正弦函数 有哪些性质？有哪些性质？) 11(arcsinxxy复习复习 答：定义域是答：定义域是-1,1-1,1 值域是值域是 它是奇函数它是奇函数 它在它在-1,1-1,1上是增函数上是增函数 2,2 1 , 1)sin(arcsinxxx 1 , 1arcsin)arcsin(xxx答：答：新课：反余弦函数新课：反余弦函数3.与正弦函数一样余弦函数在定义与正弦函数一样余弦函数在定义R上反函数是：上反函数是：32321-11.余弦函数余弦函数Rxxy,cos图象图象2.函数函数 存在反函数的必要条件是：存在反函数的必要条件是：)(xf4.余弦函数在余弦函数在 上是单调的，上是单调的，Zkkkxxy,cos)(xf在定义域在定义域D上是单调的。上是单调的。不存在的。不存在的。存在反函数。存在反函数。1-15.余弦函数在余弦函数在 上存在反函数上存在反函数, 0 x定义：函数定义：函数 的反函数称作反余弦函数，的反函数称作反余弦函数， 记作记作, 0,cosxxy11arccosxxy-1 112OYX2反余弦函数的图象与反余弦函数的图象与图象关于图象关于y=x直线成轴对称直线成轴对称, 0,cosxxy定义：函数定义：函数 的反函数称作反余弦函数，的反函数称作反余弦函数， 记作记作, 0,cosxxy11arccosxxyX1.1.定义域是定义域是-1,1-1,1 3.3.它是非奇非偶函数它是非奇非偶函数 4.4.它在它在-1,1-1,1上是减函数上是减函数 反反余余弦函数性质弦函数性质2.2.值域是值域是 , 0反余弦函数的图象反余弦函数的图象-1 12OY 两个重要公式两个重要公式根据反三角函数的定义可得到：根据反三角函数的定义可得到： 1 , 1arccos)arccos(xxx可证明可证明 证明：设证明：设)arccos( x, 0 xxcoscos)()cos(xxxxarccos)arccos(arccos, 0)(0 , 0又又xarccos根据反三角函数的定义根据反三角函数的定义 式可得到：式可得到： )(反正弦函数有两个重要公式反正弦函数有两个重要公式 1 , 1)sin(arcsinxxx 1 , 1,arcsin)arcsin(xxx 1 , 1)cos(arccosxxx反正弦函数与反余弦函数比较反正弦函数与反余弦函数比较YX112211arcsinxxyxysin2,2是是上的反函数。上的反函数。在在定义域是定义域是-1,1-1,1 值域是值域是 它是奇函数它是奇函数 它在它在-1,1-1,1上是增函数上是增函数 2,211arccosxxy,0,cosxxy是是 上的反函数上的反函数 YX-1 12定义域是定义域是-1,1-1,1 它是非奇非偶函数它是非奇非偶函数 它在它在-1,1-1,1上是减函数上是减函数 值域是值域是 ,0 1 , 1)sin(arcsinxxx 1 , 1arcsin)arcsin(xxx 1 , 1)cos(arccosxxx 1 , 1,arccos)arccos(xxx例例1 1 （1 1）函数）函数 4)52arccos(41xy的定义域是的定义域是 值域是值域是 （2 2）根据单调性比较大小）根据单调性比较大小 )21arccos()31arccos(0 ,43 , 2)31cos(arccos（3）3104)52arccos(4144)52arccos(410)52arccos(0321521xxxxx解：解： 1 , 1,arccosxxy解：解：是减函数是减函数)31arccos()21arccos(3121例例2.2.求下列反三角函数值求下列反三角函数值 （1）23arccos（2）)22arccos(（3）0arccos（4）1arccos解解 (1)(1) 236cos623arccos解解 (2)(2) 43422arccos)22arccos(解解 (3)(3) 02cos20arccos解解 (4)(4) 10cos 01arccos 课堂练习一课堂练习一 求下列反三角函数值求下列反三角函数值 )23arccos(1)22arccos(2) 1arccos(3)2arccos(4)65623arccos)23arccos() 1 (422arccos)2(1arccos) 1arccos()3(答案答案2arccos)4(的写法没有意义的写法没有意义 1 , 1arccosxxy与与的定义矛盾，它的值不存在。的定义矛盾，它的值不存在。 例例3 3判断下列等式是否成立判断下列等式是否成立 10arccos) 1 (0)2cos(arccos)2(0)32arccos(32arccos)3(解：错，对应关系颠倒了。正确答案是解：错，对应关系颠倒了。正确答案是 20arccos解：错，没有正确使用公式解：错，没有正确使用公式 1 , 1,)cos(arccosxxx2arccos无意义无意义 解：错，解：错， 32arccos32arccos)32arccos(32arccos0,52cos) 1 (xx, 0,32cos)2(xx52arccos) 1 (x解：解： 32arccos)32arccos()2(x43cosx0,2 x求求X X的值。的值。 例例5 5已知已知例例4 4用反三角函数值的形式用反三角函数值的形式 表示下列各式中的表示下列各式中的X X 43arccos)43arccos(x)(43)2cos(43cosxx因此所求角的集合为：因此所求角的集合为： 43arccos,43arccos解：当解：当 , 0 x时时2 ,(x当当时时根据反余弦函数定义，根据反余弦函数定义， 可得可得)(43arccos)43arccos(2)43arccos(2xxx), 0)2(),2xx, 0,53cos) 1 (xx2 , 0,53cos)2(xx, 0,8417. 0cos)3(xx2 , 0,8417. 0cos)4(xx53arccosx53arccos2 ,53arccosx8417. 0arccosx8417. 0arccos,8417. 0arccosx8417. 0arccosx8417. 0arccosx53arccos2x用连线的形式在右边找出下列各式中的用连线的形式在右边找出下列各式中的X课堂练习二课堂练习二 小结小结 11arccosxxy, 0,cosxxy是是 上的反函数上的反函数 YX-1 12(1)反余弦函数定义反余弦函数定义定义域是定义域是-1,1-1,1 它是非奇非偶函数它是非奇非偶函数 它在它在-1,1-1,1上是减函数上是减函数 值域是值域是 ,0(2)反余弦函数的性质反余弦函数的性质 1 , 1)cos(arccosxxx 1 , 1,arccos)arccos(xxx(3)反余弦函数的两个重要公式反余弦函数的两个重要公式 作业：作业： 练习册练习册P27P274 4（1 1）（）（2 2）5 5（1 1）（）（2 2）6 6（1 1）（）（2 2） 补充题：补充题： （1 1）求函数）求函数 xy3 . 0arccos的定义域，值域。的定义域，值域。 （2）求的反函数）求的反函数2 ,cosxxy
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