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八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 冀教冀教 第十七章特殊三角形第十七章特殊三角形 学习新知学习新知检测反馈检测反馈17.4直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定三角形全等的判定方法有哪些三角形全等的判定方法有哪些?复习巩固复习巩固SSS(三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等)ASA(两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等)SAS(两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等)AAS(两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等全等)复习巩固复习巩固 有哪些边角的组合不能判定两个三角形全有哪些边角的组合不能判定两个三角形全等等?你能通过画图说明理由吗你能通过画图说明理由吗?如图如图(1)所示所示,已知两条线段已知两条线段(这两条线段长不相等这两条线段长不相等),以以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三画一个直角三角形角形.所有的直角三角形都全等吗所有的直角三角形都全等吗?学学 习习 新新 知知1.画一线段画一线段AB,使它等于使它等于4 cm;2.画画EAB=90;3.以点以点B为圆心为圆心,以以5 cm长为半径画长为半径画 弧弧,交射线交射线AE于点于点C;4.连接连接BC. ABC即为所求即为所求, 如图如图(2)所示所示.如何证明：如何证明：斜边和直角边对应相等的两个直角三角斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等形全等,简记为简记为HL(或斜边、直角边或斜边、直角边).如图所示如图所示,在在RtABC和和RtABC中中,已知已知ACB=ACB=90,AB=AB,AC=AC. 由于直角边由于直角边AC=AC,我们移动其中的我们移动其中的RtABC,使点使点A与点与点A、点、点C与点与点C重合重合,且使点且使点B与点与点B分别位于线分别位于线段段AC的两侧的两侧.因为因为ACB=ACB=90,所以所以BCB=ACB+ACB=180,因此点因此点B,C,B在同一在同一条直线上条直线上,于是在于是在ABB中中,由由AB=AB(已知已知),得得B=B.由由“角角边角角边”便可知这两个三角形全等便可知这两个三角形全等,于是于是可得可得 已知一直角边和斜边已知一直角边和斜边,用尺规作直角三角形用尺规作直角三角形. 已知已知:如图所示如图所示,线段线段a,c.求作求作:ABC,使使C=90,BC=a,AB=c.作法作法:如图所示如图所示. (1)作线段作线段CB=a.(2)过点过点C,作作MCBC.(3)以以B为圆心为圆心,c为半径画弧为半径画弧,交交CM于点于点A.(4)连接连接AB.则则ABC即为所求即为所求.分析分析:首先作出边首先作出边BC,由由C为直角可以作出另为直角可以作出另一直角边所在的射线一直角边所在的射线,由由AB=c可以确定点可以确定点A.结论结论:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等 已知已知:如图如图(1)所示所示,点点P在在AOB的内的内部部,PCOA,PDOB,垂足分别为垂足分别为C,D,且且PC=PD. 求证求证:点点P在在AOB的平分线上的平分线上.证明证明:如图如图(2)所示所示,作射线作射线OP.PCOA,PDOB.PCO=PDO=90,在在RtOPC和和RtOPD中中, RtOPC RtOPD(HL).POA=POB.OP是是AOB的平分线的平分线,即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上.PC=PDOP=OP思考思考:这个命题与角平分线的性质定理有什么这个命题与角平分线的性质定理有什么 区别区别?通过这道题通过这道题,你能得到怎样的结论你能得到怎样的结论?归纳归纳:角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理:到角两到角两 边距离相等的点在这个角的平分线上边距离相等的点在这个角的平分线上. 例：例：(补充例题补充例题)如图所示如图所示,ACBC,BDAD,垂足垂足分别为分别为C,D,AC=BD.求证求证BC=AD. 解析解析欲证欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的首先应寻找和这两条线段有关的三角形三角形,这里有这里有ABD和和BAC, ADO和和BCO(O为为DB,AC的交点的交点),经过分析经过分析, ABD和和BAC具备全等的具备全等的条件条件.证明证明:ACBC,BDAD.C与与D都是直角都是直角.在在RtABC和和RtBAD中中,RtABC RtBAD(HL).BC=AD.AB=BAAC=BD想一想想一想:你能用几种方法判定两个直角三角形全等你能用几种方法判定两个直角三角形全等?直角三角形是特殊的三角形直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般所以不仅有一般三角形全等的判定方法三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,还还有直角三角形特殊的判定全等的方法有直角三角形特殊的判定全等的方法“HL”.练一练练一练:1.如图所示如图所示,两根长度为两根长度为12米的绳子米的绳子,一端系在旗一端系在旗杆上杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木两个木桩离旗杆底部的距离相等吗桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由请说明你的理由. 2.如图所示如图所示,有两个长度相同的滑梯有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度左边滑梯的高度AC与与右边滑梯水平方面的长度右边滑梯水平方面的长度DF相等相等,两个滑梯的倾斜角两个滑梯的倾斜角ABC和和DFE的大小有什么关系的大小有什么关系? 下面是三名同学解决第下面是三名同学解决第2题的思考过程题的思考过程,你能明白他们的意思吗你能明白他们的意思吗?(2)有一条直角边和斜边对应相等有一条直角边和斜边对应相等,所以所以RtABC与与RtDEF全等全等.所以所以ABC=DEF,所以所以ABC+DFE=90.(3)在在RtABC和和RtDEF中中,BC=EF,AC=DF,所以所以AB=DE,因此因此这两个直角三角形是全等的这两个直角三角形是全等的,所以所以ABC=DEF,所以所以ABC+DFE=90.CB=EFAC=DFCAB= FDE=90 RtABC RtDEFABC=DEF ABC+DFE=90课堂小结课堂小结斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成可以简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”). 直角三角形首先是三角形直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判所以一般三角形全等的判定方法都适合它定方法都适合它.同时同时,直角三角形又是特殊的三角形直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性有它的特殊性,“HL”定理是直角三角形全等独有的定理是直角三角形全等独有的判定方法判定方法,所以直角三角形的判定方法最多所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该使用时应该抓住抓住“直角直角”这个隐含的已知条件这个隐含的已知条件. 检测反馈检测反馈1.能判定两个直角三角形全等的条件是能判定两个直角三角形全等的条件是()A.一个锐角对应相等一个锐角对应相等 B.两个锐角对应两个锐角对应相相等等C.一条边对应相等一条边对应相等 D.两条边对应相等两条边对应相等D解析解析:A.一个锐角对应相等一个锐角对应相等, ,利用已知的直角相等利用已知的直角相等, ,可得可得出另一组锐角相等出另一组锐角相等, ,但不能证明两个直角三角形全等但不能证明两个直角三角形全等, ,故故A选项错误选项错误;B.两个锐角相等两个锐角相等, ,那么也就是三个角对应那么也就是三个角对应相等相等, ,但不能证明两个直角三角形全等但不能证明两个直角三角形全等, ,故故B选项错选项错误误;C.一一条边对应相等条边对应相等, ,再加一组直角相等再加一组直角相等, ,不能得出两不能得出两个直角三角形全等个直角三角形全等, ,故故C选项错误选项错误;D.两条边对应相等两条边对应相等,若是两条直角边相等若是两条直角边相等, ,可利用可利用SAS证全等证全等, ,若一直角边若一直角边对应相等对应相等,一斜边对应相等一斜边对应相等, ,利用利用HL也可证全等也可证全等,故故D选选项正确项正确. .故选故选D.2.如图所示如图所示,矩形矩形ABCD中中,E为为CD的中点的中点,连接连接AE并延并延长交长交BC的延长线于点的延长线于点F,连接连接BD,DF,则图中全等的直则图中全等的直角三角形共有角三角形共有() A.3对对 B.4对对C.5对对 D.6对对B解析解析:由由E是是CD中点中点,可知可知DE=EC,由四边形由四边形ABCD是矩形是矩形,可得可得AD=BC,AB=CD,DCB=DCF=90,ADBF,DAE=EFC,图中全等的直角三角形图中全等的直角三角形有有:AED FEC, BDC FDC DBA,共共4对对.故故选选B. 3.如图所示如图所示,用用“HL”判定判定Rt ABC和和Rt DEF全等的条件是全等的条件是() A.AC=DF,BC=EF B.A=D,AB=DE C.AC=DF,AB=DE D.B=E,BC=EFC解析解析:在两个直角三角形中在两个直角三角形中,AB,DE是斜边是斜边, 只有只有C中中,AC=DF,AB=DE符合题意符合题意.4.如图所示如图所示, ABC中中,ABC=45,ADBC于于D,点点E在在AD上上,且且BE=AC,求证求证DE=CD. 证明证明:ABC=45,ADBC,AD=BD,BDE=ADC=90.又又BE=AC,RtBDE RtADC.DE=CD.解析解析: :由由ABC=45,ADBC可得到可得到AD=BD,因为因为BE=AC,所以所以RtBDE RtADC,从而得出从而得出DE=CD.
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