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本章小结本章小结 一、学习集合应该注意的问题目前在中学数学中，集合知识主要有两方面的应用：(1)把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素，例如，方程(或方程组)的解集、不等式(或不等式组)的解集、具有某种性质或满足某些条件的数集、点集等 (2)运用集合间的基本关系和运算的思想解决某些抽象而复杂的问题 例如，利用集合间的基本关系及运算帮助理解事件间的关系，充分必要条件等(以后将要学习) 有时从正面解题较难时，可以考虑用补集的思想求解1要注意理解、正确运用集合概念【例1】若Py|yx2，xR，Q(x，y)|yx2，xR，则必有()APQBPQCPQ DPQ思路分析：有的同学一接触此题马上得出结论PQ，这是由于他们仅仅看到两集合中的yx2，xR相同，而没有注意到组成两个集合的元素是不同的，集合P是函数值域集合，集合Q是yx2，xR上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物解析：P表示函数yx2的值域，Q表示抛物线yx2上的点组成的点集，因此PQ，故选A.答案：A 2要充分注意集合元素的互异性 集合元素的互异性，是集合的重要属性，在解题过程中，集合元素的互异性常常被忽视而出错思路分析：要解决a的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据集合的运算及集合中元素的确定性、互异性矛盾，无序性建立关系式解：AB2,5，a32a2a75，由此求得a2，或a1.当a1时，a22a21，与元素的互异性矛盾，故舍去；当a1时，B1,0,5,2,4，与AB2,5相矛盾，故舍去；当a2时，A2,4,5，B1,3,2,5,25，此时AB2,5，满足题设故a2为所求3要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，在我们解答数学问题过程中经常遇到集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因此，在证明(判断)两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去【例3】集合Xx|x2n1，nZ，Yy|y4k1，kZ，试证明XY.思路分析：要证明XY，按集合相等的定义，应证明XY，且YX.证明：(1)设任意x0X，则x02n01，n0Z.若n0是偶数，可设n02m，mZ，则x022m14m1，x0Y；若n0是奇数，可设n02m1，mZ，则x02(2m1)14m1，x0Y.不论n0是偶数还是奇数，都有x0Y，XY.(2)又设任意y0Y，则y04k01，或y04k01，k0Z.y04k012(2k0)1，y04k012(2k01)1,2k0和2k01都属于Z，y0X，YX.由(1)(2)可知，XY.4要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误【例4】已知Ax|x23x20，Bx|ax20，且ABA，求实数a组成的集合C.思路分析：BA包括两种情况，即B和B.解：(1)当B时，由x23x20，得x1或2.当x1时，a2；当x2时，a1.(2)当B时，即当a0时，B，符合题意，故实数a组成的集合C0,1,2二、函数的概念、表示及其应用对于函数的概念及其表示要注意：1函数的三要素：定义域、值域、对应关系2定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数，两者需同时具备3函数定义域的求法列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求函数的定义域，常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式被开方数不小于0；零指数幂中底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等 4求抽象函数定义域的方法： (1)已知f(x)的定义域为a，b，求fg(x)的定义域，就是求不等式ag(x)b的解集 (2)已知fg(x)的定义域为a，b，求f(x)的定义域，就是求当xa，b时，g(x)的值域 5求函数解析式的常用方法： (1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造法；(5)消去法 6求函数值域的方法： (1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法；(4)判别式法；(5)单调性法；(6)不等式法温馨提示：求解分段函数及复合函数的有关问题时，应注意复合函数中“内”层函数的值域充当“外”层函数的定义域，不能笼统地写在一起，而应分段讨论【例6】已知二次函数f(x)x2axb，Ax|f(x)2x22，则f(x)的解析式为_温馨提示：求解析式的关键是求解参数温馨提示：求函数的值域无固定的格式方法，应具体问题具体分析，注意观察函数的结构特点，选择适当的方法求值域，勿忘优先考虑定义域三、函数的单调性、奇偶性及其应用函数的单调性、奇偶性是高考考查的重要内容，要掌握判断函数单调性的步骤，掌握奇函数、偶函数的性质以及运用函数单调性、奇偶性，求函数最大(小)值的方法思路分析：求函数在某区间上的最值，通常先判断函数在该区间上的单调性，当函数或区间中含有字母时，要对字母加以讨论，以确定函数的单调性
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