中考数学 第八单元 四边形 第28课时 矩形、菱形、正方形复习课件

第第28课时课时 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形1如图如图281，已知菱形的边长为，已知菱形的边长为6，一个，一个内角为内角为60，则菱形较短的对角线长是，则菱形较短的对角线长是_22014苏州苏州已知正方形已知正方形ABCD的对角线的对角线AC ，则正方形，则正方形ABCD的周长为的周长为_小题热身小题热身图图2816432014重庆重庆如图如图282，在矩形，在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，ACB30，则，则AOB的大小为的大小为 ( )A30 B60 C90 D120B图图2824如图如图283，在菱形，在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，且且ACBD，则图中全等三角形有，则图中全等三角形有( )A4对对 B6对对 C8对对 D10对对C图图283一、必知一、必知4 知识点知识点1矩形矩形定义：有一个角是直角的定义：有一个角是直角的_是矩形是矩形矩形的性质定理：矩形的性质定理：(1)矩形四个角都是矩形四个角都是_角角(或矩形四个角相等或矩形四个角相等)；(2)矩形对角线矩形对角线_矩形的判定定理：矩形的判定定理：(1)有三个角是直角的有三个角是直角的_是矩形；是矩形；(2)对角线相等的对角线相等的_是矩形是矩形注意：利用注意：利用“矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半的中线等于斜边长的一半考点管理考点管理平行四边形平行四边形直直相等相等四边形四边形平行四边形平行四边形【智慧锦囊智慧锦囊】(1)矩形具有平行四边形的一切性质；矩形具有平行四边形的一切性质；(2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；(3)矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴，矩形还是一个中矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴，矩形还是一个中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点；心对称图形，它的对称中心是对角线的交点；(4)矩形的面积等于两邻边的乘积矩形的面积等于两邻边的乘积2菱形菱形定义：一组邻边相等的定义：一组邻边相等的_是菱形；是菱形；菱形的性质定理：菱形的性质定理：(1)菱形的四条边都菱形的四条边都_；(2)菱形的对角线互相菱形的对角线互相_，并且每一条对角线平，并且每一条对角线平分一组对角分一组对角菱形的判定定理：菱形的判定定理：(1)四条边都相等的四条边都相等的_是菱形；是菱形；(2)对角线互相垂直的对角线互相垂直的_是菱形是菱形平行四边形平行四边形相等相等垂直平分垂直平分四边形四边形平行四边形平行四边形【智慧锦囊智慧锦囊】(1)菱形具有平行四边形的一切性质；菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；(3)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的_；(4)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积底由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积底高高一半一半3. 正方形正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个直角的定义：有一组邻边相等，并且有一个直角的_形是正方形形是正方形正方形的性质：正方形的性质：(1)正方形对边平行；正方形对边平行；(2)正方形四边相等；正方形四边相等；(3)正方形四个角都是直角；正方形四个角都是直角；(4)正方形对角线相等，互相正方形对角线相等，互相_，每条对角线平，每条对角线平分一组对角分一组对角对称性：正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称对称性：正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点轴有四条，对称中心是对角线的交点平行四边平行四边垂直平分垂直平分正方形的判定定理：正方形的判定定理：(1)有一组邻边相等的有一组邻边相等的_是正方形；是正方形；(2)有一个角是直角的有一个角是直角的_是正方形是正方形矩形矩形菱形菱形【智慧锦囊智慧锦囊】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形矩形是有一内角为直角的平行四边形；菱形是有一边形矩形是有一内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是矩形又是菱形组邻边相等的平行四边形，正方形既是矩形又是菱形4中点四边形中点四边形定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形，我们称之定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形为中点四边形常用结论：常用结论：(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形；任意四边形的中点四边形是平行四边形；(2)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形形二、必会二、必会2 方法方法1平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系(1)在平行四边形的基础上，增加条件在平行四边形的基础上，增加条件“一个角是直角一个角是直角”或或“对角线相等对角线相等”，可得矩形；，可得矩形；(2)在平行四边形的基础上，增加条件在平行四边形的基础上，增加条件“一组邻边相等一组邻边相等”或或“对对角线互相垂直角线互相垂直”，可得菱形；，可得菱形；(3)在平行四边形的基础上，要证明是正方形，可先证明它在平行四边形的基础上，要证明是正方形，可先证明它是矩形，再证明它是菱形或者先证明它是菱形，再证明它是矩形，再证明它是菱形或者先证明它是菱形，再证明它是矩形，即得正方形是矩形，即得正方形2活用菱形对角线的性质解题活用菱形对角线的性质解题菱形是一组邻边相等的平行四边形，它是轴对称图形，其菱形是一组邻边相等的平行四边形，它是轴对称图形，其对称轴是任意一条对角线，关于菱形的对角线，有如下性对称轴是任意一条对角线，关于菱形的对角线，有如下性质：菱形对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一质：菱形对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角灵活运用这一特殊性质，可以顺利解决一些问题，组对角灵活运用这一特殊性质，可以顺利解决一些问题，此类题型是中考的热点考题此类题型是中考的热点考题三、必明三、必明2易错点易错点1在判定矩形、菱形、正方形时，要弄清是在在判定矩形、菱形、正方形时，要弄清是在“四边形四边形”还是还是在在“平行四边形平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各种判定定理的基础上来求证的，要熟悉各种判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过仔细分析已知条的联系和区别，解题时要认真审题，通过仔细分析已知条件来确定用哪一种判定方法件来确定用哪一种判定方法2平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定方法很多，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定方法很多，很容易混淆，复习时要从这几种图形的定义入手，从边、很容易混淆，复习时要从这几种图形的定义入手，从边、角、对角线三个角度考虑，正确掌握这几种图形之间的区角、对角线三个角度考虑，正确掌握这几种图形之间的区别与联系别与联系类型之一菱形的性质与判定类型之一菱形的性质与判定 2015长沙长沙如图如图284，在菱形，在菱形ABCD中，中，AB2，ABC60，对角线，对角线AC，BD相交于点相交于点O，将对角线，将对角线AC所在的直线所在的直线绕点绕点O顺时针旋转角顺时针旋转角(090)后得后得直线直线l，直线，直线l与与AD，BC两边分别相交于两边分别相交于点点E和点和点F.(1)求证：求证：AOE COF；(2)当当30时，求线段时，求线段EF的长度的长度图图284【解析解析】(1)利用利用ASA证明证明AOE COF；(2)首先画出首先画出30时的图形，根据菱形的性质得到时的图形，根据菱形的性质得到EFAD，解三角形即可求出，解三角形即可求出OE的长，进而得到的长，进而得到EF的长的长解解：(1)证明：在菱形证明：在菱形ABCD中，中，ADBC，AOCO，EAOFCO，在在AOE和和COF中，中，AOE COF(ASA)；(2)ABBC2，ABC60，ABC是等边三角形是等边三角形AC2，ACB60，OC1，30时，时，OFBC.1如图如图285，菱形，菱形ABCD中，中，AB4，B60，AEBC，AFCD，垂，垂足分别为足分别为E，F，连结，连结EF，则，则AEF的面积是的面积是_.【解析解析】四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，BCCD，BD60.AEBC，AFCD，S菱形菱形ABCDBCAECDAF，BAEDAF30，AEAF.图图285变式跟进变式跟进1答图答图B60，BAD120，EAF120303060，AEF是等边三角形，是等边三角形，AEEF，AEF60.AB4，22015荆门荆门已知，如图已知，如图286，在四，在四边形边形ABCD中，中，ABCD，E，F为为对角线对角线AC上两点，且上两点，且AECF，DFBE，AC平分平分BAD.求证：四边形求证：四边形ABCD为菱形为菱形【解析解析】首先证得首先证得ABE CDF，得到，得到ABCD，从而，从而得到四边形得到四边形ABCD是平行四边形，然后证得是平行四边形，然后证得ADCD，利用，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明邻边相等的平行四边形是菱形进行证明证明证明：ABCD.BAEDCF.DFBE，DFEBEF，图图286AEBCFD，又又AECF，ABE CDF(ASA)ABCD，ABCD，四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AC平分平分BAD，BAEDAF，BAEDCF，DAFDCF，ADCD，四边形四边形ABCD是菱形是菱形【点悟点悟】菱形的四边相等，有一个角是菱形的四边相等，有一个角是60的菱形可以的菱形可以被一条对角线分成两个等边三角形被一条对角线分成两个等边三角形类型之二矩形的性质与判定类型之二矩形的性质与判定 2015聊城聊城如图如图287，在，在ABC中，中，ABBC，BD平分平分ABC.四边形四边形ABED是平行四边形，是平行四边形，DE交交BC于点于点F，连结，连结CE.求证：四边形求证：四边形BECD是矩形是矩形【解析解析】根据已知条件易推知四边形根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边是平行四边形结合等腰形结合等腰ABC“三线合一三线合一”的性质证得的性质证得BDAC，即，即BDC90，所以由，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩有一内角为直角的平行四边形是矩形形”得到得到 BECD是矩形是矩形图图287证明证明：ABBC，BD平分平分ABC，BDAC，ADCD.四边形四边形ABED是平行四边形，是平行四边形，BEAD，BEAD，BECD，四边形四边形BECD是平行四边形是平行四边形BDAC，BDC90， BECD是矩形是矩形【点悟点悟】证明一个四边形是矩形，一般常用的方法是：证明一个四边形是矩形，一般常用的方法是：(1)有三个角是直角的四边形；有三个角是直角的四边形；(2)有一个角是直角的平行四有一个角是直角的平行四边形；边形；(3)对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形2015内江内江如图如图288，将，将 ABCD的边的边AB延长至点延长至点E，使，使ABBE，连结，连结DE，EC，DE交交BC于点于点O.(1)求证：求证：ABD BEC；(2)连结连结BD，若，若BOD2A，求证：，求证：四边形四边形BECD是矩形是矩形【解析解析】(1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；推出两三角形全等即可；(2)欲证明四边形欲证明四边形BECD是矩形，只需推知是矩形，只需推知BCED.图图288证明证明：(1)在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，ADBC，ABCD，ABCD，则，则BECD.又又ABBE，BEDC，四边形四边形BECD为平行四边形，为平行四边形，BDEC.ABD BEC(SSS)；(2)由由(1)知，四边形知，四边形BECD为平行四边形，则为平行四边形，则ODOE，OCOB.四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ABCD，即，即AOCD.又又BOD2A，BODOCDODC，OCDODC，OCOD，OCOBODOE，即，即BCED，平行四边形平行四边形BECD为矩形为矩形类型之三正方形的性质与判定类型之三正方形的性质与判定 2015凉山凉山如图如图289，在正方形，在正方形ABCD中，中，G是是BC上任意一点，连结上任意一点，连结AG，DEAG于于E，BFDE交交AG于于F，探究线段，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由三者之间的数量关系，并说明理由解解：AFBFEF，理由如下：，理由如下：如答图，如答图，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，BAD90，1290，DEAG，AED90，2390，图图289例例3答图答图13，BFDE，BFAAEDDEF90，ABF DAE(AAS)，AEBF，AFAEEF，AFBFEF.2014绍兴绍兴(1)如图如图2810，正方形，正方形ABCD中，点中，点E，F分分别在边别在边BC，CD上，上，EAF45，延长，延长CD到点到点G，使，使DGBE，连结，连结EF，AG.求证：求证：EFFG；(2)如图如图2810，等腰直角三角形，等腰直角三角形ABC中，中，BAC90，ABAC，点，点M，N在边在边BC上，且上，且MAN45，若，若BM1，CN3，求，求MN的长的长图图2810解解：(1)证明：证明：正方形正方形ABCD中，中，DGBE，ABAD，BADG，ABE ADG(SAS)BAEDAG，AEAG.EAF45，BAD90，BAEEADEADDAGEAG90，GAFEAF45.AEF AGF(SAS)EFFG；(2)如答图，如答图，过点过点A作作AKAM于点于点A，取，取AKAM，连结连结NK，CK.MAK90BAC90，12.MAN45，231390MAN45，MANNAK.ABAC.变式跟进答图变式跟进答图ABM ACK，AMN AKN.BAC90，ABAC，B445，5B45，CKBM1，NKMN.4590.类型之四平行四边形的折叠问题类型之四平行四边形的折叠问题 2014成都成都如图如图2811，在边长为，在边长为2的菱形的菱形ABCD中，中，A60，M是是AD边的中点，边的中点，N是是AB边上一动点，将边上一动点，将AMN沿沿MN所在的直线翻折得到所在的直线翻折得到AMN，连结，连结AC，则，则AC长度的最小值是长度的最小值是_.图图2811【解析解析】如答图所示，如答图所示，MA是定值，是定值，AC长度最小时，长度最小时，A在在MC上，上，过点过点M作作MFDC于点于点F，在边长为在边长为2的菱形的菱形ABCD中，中，A60，CD2，ADC120，FDM60，FMD30，例例4答图答图1如图如图2812，将矩形，将矩形ABCD沿对角线沿对角线BD折折叠，使点叠，使点C与点与点C重合若重合若AB2，则，则CD的长为的长为 ( )A1 B2C3 D4【解析解析】在矩形在矩形ABCD中，中，CDAB，矩形矩形ABCD沿对沿对角线角线BD折叠后点折叠后点C和点和点C重合，重合，CDCD，CDAB，AB2，CD2.故选故选B.B图图28122如图如图2813，将长方形纸片，将长方形纸片ABCD折叠，折叠，使边使边DC落在对角线落在对角线AC上，折痕为上，折痕为CE，且，且D点落在点落在D处，若处，若AB3，AD4，则，则ED的长为的长为 ( )A图图2813【解析解析】AB3，AD4，DC3，根据折叠可得根据折叠可得DEC DEC，DCDC3，DEDE，设设EDx，则，则DEx，ADACCD2，AE4x，在在RtAED中，中，(AD)2(DE)2AE2，22x2(4x)2，C图图2814阴影部分的周长阴影部分的周长AD(AHBH)BC(CGDG)ADABBCCD248.变式跟进变式跟进3答图答图42014上海上海如图如图2815，已知在矩形，已知在矩形ABCD中，点中，点E在边在边BC上，上，BE2CE，将矩形沿着过点，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点的直线翻折后，点C，D分别落在边分别落在边BC下方的点下方的点C，D处，且点处，且点C，D，B在同在同一条直线上，折痕与边一条直线上，折痕与边AD交于点交于点F，DF与与BE交于点交于点G.设设ABt，那么，那么EFG的周长为的周长为_(用含用含t的代数式表的代数式表示示)图图2815【解析解析】由翻折的性质得，由翻折的性质得，CECE，BE2CE，BE2CE，又又CC90，EBC30，FDCD90，BGD60，FGEBGD60，ADBC，AFGFGE60，变式跟进变式跟进4答图答图EFG是等边三角形，是等边三角形，ABt，【点悟点悟】折叠的实质是轴对称，折叠前后对应部分重合，折叠的实质是轴对称，折叠前后对应部分重合，即对应角相等，对应边相等，对应图形全等即对应角相等，对应边相等，对应图形全等 特殊平行四边形判定错误诊断特殊平行四边形判定错误诊断(广州中考广州中考)在平面中，下列命题为真命题的是在平面中，下列命题为真命题的是 ()A四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是正方形B对角线相等的四边形是菱形对角线相等的四边形是菱形C四个角相等的四边形是矩形四个角相等的四边形是矩形D对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线互相垂直的四边形是平行四边形【错解错解】A或或B或或D【错因错因】A.四边相等的四边形不一定是正方形，四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；例如菱形，故此选项错误；B对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；等腰梯形，故此选项错误；C四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；D对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如答图对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如答图所示，故此选项错误所示，故此选项错误【正解正解】C易错警示答图易错警示答图