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62 xxy二次函数：二次函数：?0 yx取何值时，取何值时，当当的的图图象象就就是是求求二二次次函函数数：62 xxy轴轴交交点点的的横横坐坐标标与与x的的所所有有即即是是求求一一元元二二次次方方程程062 xx实实根根几何意义）几何意义）(代数意义）代数意义）(62 xxy二次函数：二次函数：?0 yx取何值时，取何值时，当当3,221 xx解解得得时时，这这个个函函数数的的或或这这就就是是说说，当当32 xx.0 y函函数数值值112 343102x2y3 123 4 5 6 112343102x2y3 123 4 5 6 由图象可知由图象可知06322 xxyxx时时，或或当当06)3 ,2(2 xxyx时时，当当 06,32,2 xxyx时时，当当32062，的根的根二次方程二次方程 xx的的零零点点，常常称称作作函函数数62 xxy轴轴与与在它的图象上表示图象在它的图象上表示图象x），），（，的的公公共共点点是是（0302 处处的的值值在在实实数数一一般般地地，如如果果函函数数axfy)( , 0)(, af即即等于零等于零叫叫做做这这个个函函数数的的则则a零点零点数数都都有有零零点点，注注意意：并并不不是是所所有有的的函函就就不不存存在在零零点点。，如如函函数数122 xyy函函数数零零点点的的概概念念 判别式0 0 0 的的根根方方程程)0( 02 acbxax的的零零点点函函数数)0( 02 acbxax两两个个不不相相等等的的实实根根两两个个相相等等的的实实根根无无实实根根两两个个零零点点（二阶零点）（二阶零点）一个二重的零点一个二重的零点无无零零点点数数的的关关系系相相应应二二次次方方程程的的实实根根个个二二次次函函数数的的零零点点个个数数与与零点的性质零点的性质的的，当当它它通通过过零零点点时时二二次次函函数数的的图图象象是是连连续续. 1数值变号。数值变号。（不是二重零点），函（不是二重零点），函112 343102x2y3 123 4 5 6 1 2 34102x3 132y123 变号零点变号零点不变号零点不变号零点（奇奇重重零零点点）（偶偶重重零零点点）112 343102x2y3 123 4 5 6 有有的的函函数数值值相相邻邻的的两两个个零零点点之之间间所所. 2持持同同号号。都都保保xy上上述述性性质质同同样样成成立立。图图象象是是不不间间断断的的，对对任任意意函函数数，只只要要它它的的象象的的零零点点，并并画画出出它它的的图图求求函函数数2223 xxxy)2()2(22223 xxxxxx解解：因因为为)1)(1)(2()1)(2(2 xxxxx. 211 ，所所以以已已知知函函数数的的零零点点为为 个个区区间间：轴轴分分成成个个零零点点把把43x），（ 221111例题例题 xy5 . 1 5 . 0 5 . 01 015 . 125 . 238. 4 088. 1213. 1063. 0 063. 2xy242 2 4 4260 x242 2 4 42600)1)(1)(2( xxx次不等式次不等式由此我们可以解以下高由此我们可以解以下高0)1)(1)(2( xxx ), 2(1 , 1 )2 , 1(1, 根轴法根轴法解不等式解不等式1116xx01)3)(5( xxx513xx或原不等式等价于原不等式等价于原不等式的解为原不等式的解为：求下列函数的零点：求下列函数的零点练习练习1xxytttfzzzfxxxfxxyxxy8)6(673)()5(673)()4(9124)()3(5)2(45)1(322222 ：或或等等于于，小小于于函函数数值值大大于于什什么么范范围围内内取取值值时时，：下下列列函函数数的的自自变变量量在在练练习习0002102)1(2 xxy32)2(2 xxy)3)(2)(1()()3( xxxxf;)1(,)3( ff；上上有有零零点点，在在区区间间42.2的的图图象象观观察察二二次次函函数数6)(2 xxxf0)1()3( ff上上至至少少存存在在一一个个零零点点在在区区间间则则函函数数若若,)(, 0)()(baxfbfaf 零零点点存存在在性性的的探探索索；上上有有零零点点，在在区区间间13. 1 ;)4(,)2( ff0)4()2(ff 2 364 4 6 112343102x2y3 123 4 5 6 零点存在性定理零点存在性定理:0)(),(, 0)()(,00 xfbaxbabfafbaxfy使得使得即至少存在一点即至少存在一点点，点，上至少存在一个变号零上至少存在一个变号零那么这个函数在区间那么这个函数在区间异号，即异号，即的两个端点处的函数值的两个端点处的函数值连续不间断，并且在它连续不间断，并且在它上的图象上的图象）在一个区间）在一个区间（如果函数如果函数端端点点的的函函数数值值异异号号；，又又要要在在区区间间上上的的图图象象上上连连续续，函函数数图图象象既既要要在在区区间间. 1baba也也可可能能同同号号端端点点的的函函数数值值可可能能异异号号，在在区区间间上上连连续续且且存存在在零零点点，函函数数在在区区间间. 2baba判判断断函函数数零零点点的的个个数数在在性性，不不能能用用来来只只能能用用来来判判断断函函数数的的存存. 3上上恰恰好好有有一一个个零零点点，那那么么这这个个函函数数在在，）（）（是是单单调调函函数数，如如果果）在在（0,. 4babfafbaxfy 上上没没有有零零点点，那那么么这这个个函函数数在在，）（）（是是单单调调函函数数，如如果果）在在（0,. 5babfafbaxfy 下列命题中错误的是下列命题中错误的是内，内，唯一的零点在区间唯一的零点在区间若函数若函数)5 , 1(),4 , 1(),3 , 1()(. 1xf内不一定有零点内不一定有零点在在函数函数内有零点内有零点在在函数函数内无零点内无零点在在函数函数内有零点内有零点或或在在函数函数)4 , 2()(.)5 , 2()(.)5 , 3()(.)3 , 2)2 , 1()(.xfDxfCxfBxfAC下列命题中正确的是下列命题中正确的是内有唯一的零点，内有唯一的零点，在区间在区间若函数若函数)7 , 3(),6 , 2(),5 , 1()(. 2xf）内有零点）内有零点，或（或（在在函数函数内可能有零点内可能有零点在在函数函数内必有零点内必有零点，在在函数函数内必有零点内必有零点在在函数函数75)4 , 1()(.)7 , 6()(.)31()(.)5 , 3()(.xfDxfCxfBxfAA对对称称，则则的的两两个个零零点点关关于于函函数数1)(. 32 xcbxxxf)1()4()0(.)4()1()0(.)0()4()1(.)4()0()1(. fffDfffCfffBfffAC象象的的零零点点，并并画画出出它它的的图图求求函函数数)23)(1()(22 xxxxf？，小于，小于于于围内取值时，函数值大围内取值时，函数值大指出当自变量在什么范指出当自变量在什么范00 xy122 1 0思考题思考题 21132 xxxxy零点分别为零点分别为0,1,-1,-2,其中其中1为二重零点为二重零点,-1为三重为三重零点零点,结合图可得结合图可得,不等式解集为不等式解集为 ), 210-1-2+
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