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第二章第二章圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2.12.1曲线与方程曲线与方程2 21.21.2求曲线的方程求曲线的方程 1.掌握求曲线方程的方法步骤 2了解解析法的思想，体验用坐标法研究几何问题的方法与过程 3培养数形结合的能力. 新 知 视 界 1坐标法与解析几何 借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就是坐标法数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何 2平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质 3求曲线(图形)的方程，有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点的坐标； (2)写出适合条件的点的集合； (3)用坐标表示条件，列出方程f(x，y)0； (4)化简方程f(x，y)0； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 一般地，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明另外也可以省略(2)，直接列出曲线方程 尝 试 应 用 1动点P到点(1，2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为() A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)29 C(x1)2(y2)23 D(x1)2(y2)23 解析：由题意知，点P的轨迹满足圆的定义，圆心为(1，2)，半径为3，所以方程为(x1)2(y2)29. 答案：B 2已知在直角坐标系中一点A(3,1)，一条直线l：x1，平面内一动点P，点P到点A的距离与到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是() A(y1)28(x1) B(y1)28(x1) C(y1)28(x1) D(y1)28(x1) 解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x3)2(y1)2(x1)2，化简整理，得(y1)28(x1)，故应选D. 答案：D 3ABC的顶点坐标分别为A(4，3)，B(2，1)，C(5,7)，则AB边上的中线的方程为_ 答案：3x2y10(1x5) 4到A(2，3)和B(4，1)的距离相等的点的轨迹方程是_ 解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线 答案：xy10 5动点P在曲线y2x21上运动，求点P与定点(0，1)连线的中点M的轨迹方程 典 例 精 析 类型一直接法求曲线方程 例1ABC的顶点A固定，角A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程 分析首先建立直角坐标系，因BC在一条定直线上移动，故可选此定直线为x轴，过A点且垂直于x轴的直线为y轴另外，外心到三角形三个顶点的距离相等，利用这个等量关系就可以得出ABC外心的轨迹方程 解如图1，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)设ABC的外心为M(x，y)，作MNBC于N，则直线MN是BC的垂直平分线 点评(1)解本题的关键是建立适当的直角坐标系，充分利用三角形外心的性质易错处是用|BM|CM|列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式原因是在求|BM|的长时已利用了|BM|CM|这个等量关系(2)对于本题，在建立直角坐标系时，也可以把BC边所在的定直线作为y轴，过A点与定直线垂直的直线作为x轴，此时方程将有所变化 迁移体验1一个动点到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求该动点的轨迹方程 类型二定义法求曲线方程 例2已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程 分析关键是寻找Q点满足的几何条件可以考虑圆的几何性质，如CQOP，还可考虑Q是OP的中点 迁移体验2定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程 类型三相关点法求曲线方程 例3已知ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线yx23上运动，求ABC重心的轨迹方程 分析由重心坐标公式，可知ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线yx23上运动，故重心与C相关联因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程yx23即可 点评(1)本例是求轨迹方程中的常见题型，难度适中本题解法称为代入法(或相关点法)，此法适用于已知一动点的轨迹方程，求另一动点的轨迹方程的问题 (2)应注意的是，本例中曲线yx23上没有与A、B共线的点，因此，整理方程就得到轨迹方程；若曲线方程为yx23，则应去掉与A、B共线时所对应的重心坐标 类型四求曲线方程的综合应用 例4在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(a,0)，|PA|PB|，其中a0且0.求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的类型 迁移体验4已知sin，cos是方程x2axb0的两根，求P(a，b)的轨迹方程 思 悟 升 华 1求曲线方程中应注意的问题 求曲线方程时，(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴建立适当的坐标系，会给运算带来方便 (2)第二步是求方程的重要一环，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式，此步骤也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示 (3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解” (4)第五步的说明可以省略不写，若有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程x(或y)的取值予以剔除 2求曲线方程的常用方法 (1)直接法：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式 (2)定义法：如果所给几何条件正好符合圆等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程 (3)相关点法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标(x，y)所满足的关系
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