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第一章单元质量测评本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第I卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1 .已知集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,C=8,9.现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成多少个集合()A.24个B.36个C.26个D.27个答案C解析从三个集合中取出两个集合,有C3=3种取法.分别是集合A、B;集合A、C;集合B、C.当取出A、B时,从这两个集合各取一个元素,有C4XC3=12个;当取出A、C时,从这两个集合各取一个元素,有C4xC1=8个;当取出B、C时,从这两个集合各取一个元素,有C3xc2=6个;一共可以组成12+8+6=26个集合.2. (x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开后的不同项数为()A.9B.12C.18D.24答案D解析分三步:第一步,从(x3+x2+x+1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y2+y+1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z+1)中任取一项有2种方法.根据分步乘法计数原理共有4X3X2=24(项).故选D.3. 10名运动员中有2名老队员和8名新队员,现从中选3人参加团体比赛,要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有()A.77种B.144种C.35种D.72种答案A解析分两类,第一类:有1名老队员2名新队员,共有c1c2=42种选法;第二类:3人全部是新队员,共有C7=35种选法;于是共有42+35=77种选法.4 .若实数a=2也则a102Cloa9+22c2oa8+210等于()A.32B.32C.1024D.512答案A解析由二项式定理,得a102Cloa9+22C20a8+210=Clo(2)a10+C:o(-2)1a9+C;(2)2a8+C:0(-2)10=(a-2)10=(也)10=25=32.5 .某同学忘记了自己的QQ号的后六位,但记得QQ号后六位是由一个1,一个2,两个5和两个8组成的,于是用这六个数随意排成一个六位数,输入电脑尝试,那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为()A.96B.180C.360D.720答案B解析 由这6个数字组成的六位数个数为a6T2T2= 180,即最多尝试A2 A2次数为180故选B.6.已知在2中所有的有理项共有(13- In的展开式中,第 x)6项为常数项,则展开式A. 5项 B. 4项 C. 3项D. 2项答案解析n rT z 3Tr + 1 = CnXn 2r3.x ,由弟6项为吊数项,得当r=5时,%打=0,得n=10令10;2r=在z则10-2r33-3=3k,即r=52k,故k应为偶数.又0r0时,圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1),依圆的对称性知,圆上共有3X4=12个点的横、纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有C22=66(条),过每一点的切线共有12条,又考虑到直线ax+by1=0不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条,所以满足题意的直线共有66+126=72(条).12 .由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A.72B.96C.108D.144答案C解析从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位,有C3种方法,将其余两个偶数全排列,有A2种排法,当1,3不相邻且不与5相邻时有A3种方法,当1,3相邻且不与5相邻时有A2A2种方法,故满足题意的偶数个数有c3a2(a3+a2A3)=108个.第II卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13 .若?x3+ar的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于答案解析二项式的通项为Tr+1=cn(2x3)n r D=cn2n rc 7r3n77163n-2r=0,即r=6n,而r6N.n为7的整数倍,即最小的正数n等于7.14 .将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分别赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有种.(用数字作答)答案9022x-1221解析先分组CCC1,再把三组分配乘以a3得:C5C3C1a3=90A2A2种.15 .设二项式|x36的展开式中x2的系数为A,常数项为B,若B,工xj=4A,则a=.答案3解析因为二项式|x-a6的展开式中x2的系数为A=c6a2=15a2;x.,常数项为B=c6a3=-20a3.因为B=4A,所以一20a3=4Xl5a2,所以a=-3.16 .如图,在排成4X4方阵的16个点中,中心4个点在某一圆内,其余12个点在圆外,在16个点中任取3个点构成三角形,其中至少有1个顶点在圆内的三角形共有个.答案312解析分为三类:3个顶点在圆内的三角形有C4=4个;2个顶点在圆内的三角形有C4C:0=60个;1个顶点在圆内的三角形有C4(C224)=248个.所以至少有1个顶点在圆内的三角形共有4+60+248=312个.三、解答题(本小题共6小题,共70分)17 .(本小题满分10分)某校高中部,高一有6个班,高二有7个班,高三有8个班,学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.(1)任选1个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法?(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法?(3)选2个班的学生参加社会实践,要求这2个班不同年级,有多少种不同的选法?解(1)分三类:第一类从高一年级选1个班,有6种不同方法;第二类从高二年级选1个班,有7种不同方法;第三类从高三年级选1个班,有8种不同方法.由分类加法计数原理可得,共有6+7+8=21种不同的选法.(2)每种选法分三步:第一步从高一年级选1个班,有6种不同方法;第二步从高二年级选1个班,有7种不同方法;第三步从高三年级选1个班,有8种不同方法.由分步乘法计数原理,共有6X7X8=336种不同的选法.(3)分三类,每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选1个班,有6X7种不同方法;第二类从高一、高三两个年级各选1个班,有6X8种不同方法;第三类从高二、高三年级各选一个班,有7X8种不同的方法,故共有6X7+6X8+7X8=146种不同选法.18 .(本小题满分12分)已知(1+2心旷的展开式中,某一项的系数5恰好是它的前一项系数的2倍,而且是它的后一项系数的5,试求展开式中二项式系数最大的项.k解二项式的通项为Tk+1=C(2k)x2,由题意知展开式中第k+1,一一,一,5项系数是第k项系数的2倍,是第k+2项系数的5,解得n = 7.储融=2Cn12k1,;cn2k=5*12k+1,展开式中二项式系数最大两项是:3T4=C7(2权3=280x2与T5=C4(2Vx)4=560x2.19 .(本小题满分12分)如图所示,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点Ci,C2,,C6,直径AB上有异于A,B的四个点Di,D2,D3,D4,则:色小4(1)以这12个点(包才A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?(2)以这10个点(不包括A,B)中的3个点为顶点,可作出多少个三角形?其中含C1的有多少个?解(1)构成四边形,需要四个点,且无三点共线,可以分成三类:四个点从C2,,C6中取出,有C6个四边形,三个点从C1,C2,,C6中取出,另一个点从D1,D2,D3,D4,A,B中取出有C3C1个四边形,二个点从C1,C2,,C6中取出,另外二个点从D1,D2,D3,D4,A,B中取出有C2c6个四边形.故满足条件的四边形共c4+c3c6+c2c2=360d).类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为C3+C1C4+C6c4=116个.其中含点C1的有c2+c1c4+c4=36(个).20 .(本小题满分12分)已知(a2+1)n的展开式中各项系数之和等于H6c1一156x2+比的展开式的常数项,并且(a2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求a的值.解多2+2)展开式的常数项为C5半4=16.(a2+1)n展开式的系数之和2n=16,n=4.(a2+1)n展开式的系数最大的项为C2(a2)2x12=6a4=54,.a=3.21.(本小题满分12分)已知(12x)n=a+aix+a2x2+anxn(n6N*),且a2=60,求:(1)n的值;(2)a1+123+(1燧的值.解(1)因为丁3=cn(2x)2=22X2,所以22=C2(2)2=60,化简可得n(n1)=30,且n6N*,解得n=6.(2)Tk+1=C6(2x)k=2kXk,所以2k=C6(2)k,所以(-1)k1=c6,-y+21-23+-+(-1)n|n=c6+C6+-+C6=26-1=63.22.(本小题满分12分)已知|1+2xn,2J(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解(1)因为C4+Cn=2C5,所以n221n+98=0,所以n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为C*423=,22T5的系数为C7(2)24=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为C74727=3432.(2)因为C0+C1+Cn=79,所以n2+n156=0,所以n=12或n=13(舍去).设Tk+1项的系数最大,因为(2+2x)2=g1(1+4x)12,CAC1214k1,所以kk21k+1所以9.4kC1214k1,开式中系数最大的项为Tn,T11=C12弓2210x10=16896x10.
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