大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试题（含答案）大一第二学期高数期末考试一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1 .设/（x） = cosx（x + |sinx|）,则在r =。处有（）（A）/（）= 2（B）八）= 1 （C）/（）= （D） /（X）不可导.设a（x）= l_fl（x） = 3-3ix9 则当r 耐（）2 .1 + x（A） a*）与夕（）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） 0（幻与pW是等价无 穷小：（C） *）是比尸（X）高阶的无穷小：（D）以是比a（x）高阶的无穷小.3 .若）= J。一其中X）在区间上（TD二阶可导且，（*）, 则（）.（A）函数/“）必在犬=处取得极大值：（B）函数尸（X）必在x = 0处取得极小值：（C）函数尸（刈在工=0处没有极值,但点（，尸（）为曲线 =尸（为的拐点;（D）函数户“）在X=处没有极值，点（，/（）也不是曲线）=尸）的拐点。4 设/（X）是连续函数，Sf（x） = x + 2f（t）dt 9 贝！/（x） = （A） 2（B） 2（C） x-l （D） x + 2.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）一 lim(l + 3x)s,nx =5. 36 已知卓是的一个原函数则”(力三！=2 2 22、lim (cos + cos HFeos )二7 . w ft h nni x2arcsinx + l .(dx8 . 2三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9 .设函数y =由方程+sin（盯）=1确定，求y（x）以及y（）.10qfxdx00nnJ f（x） d x = 0 f f （x）cosx dx = 017 .设函数x）在W，句上连续，且力,。.证明：在（，乃）内至少存在两个不同的点4*2.使/（媪）=/（42）二 （提示：设XF（x） = j f（x）dx0）解答一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1COSX、2n6-() +C 5. e . $ 2 x ,72 8,3三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9 .解：方程两边求导ex+(l + y) + cos(盯)(xy +)= 0+XCOS(盯)x=0,j = 0 jr(0) = -110 .解:Il = X7 lx(lx=du由t 1 r (1 i，)1 r,l2 .原式=-t/w = I ()du7 J M(l + ) 7J U H + l=y (In I w I 2 In I +11) + c= -lnlx7l-lnll + x7l+C772/42/4大一第二学期高数期末考试题（含答案）11 .解：=产公+也也=）+ Ji(令x-l = sin 8)f(u)du o(XWO)12 .解：由）= ,知g（）= 。*xt=ug(x) = j f(xt)dt =0(x/0)jf(u)du /()=吧!f(x) A = lim= d 2x 24/41/4xf(x)-jf(u)duHmg*x) = Hm= A-=“、 人3 J。 广22 , g)在x=0处连续。dy 2+ j = lnx13 .解：dx x三女 r fiZry=e 1 x (jclx nxlx+C)3y(i) = 4=xnx x +Cx2,C = 0 v = xlnx - x .39四、解答题（本大题10分）14 .解：由已知且广2於八十九将此方程关于求导得丁 = 2,+特征方程：，2_,_2 = 0解出特征根：n = -1,2=2.其通解为y=Cle-r+C2e2xc = =1 代入初始条件）（。）=）（）= 1,得，3，2-32 T 2x y = e +e 故所求曲线方程为： 33五、解答题（本大题10分）j -lnx0 =（x -x0）15.解:（1）根据题意，先设切点为（o/nx。），切线方程：”。由于切线过原点，解出=e,从而切线方程为：JA = J（ev eyyiy = /(42)=qQ -q) f (A) -qQ - q) f 也2)之 。故有：f(x)dxqjf(x)dx)0证毕。17.F（x）=ff（tyit ,04x4证：构造辅助函数：。其满足在1】上连续，在（，乃）上可导。尸（x） = /（x）,且尸（0）=尸（乃）=0KKq 京0=( f(x)cosxdx =f cosxJF(x) = F(x)cosx| + sinx F(x)dx 由题设，有 00 0F（x）sinxJx = 0有力,由积分中值定理，存在使尸（J）sing = 即尸（。）=。综上可知/（）= 值）=尸（%）=，4 e（，）.在区间。等,9,句上分别应用罗尔定理，知存在&（0港）和凌旗礼使尸（耳）=0及尸唾）= 0,即/（&） = /（蜃）=0