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第五章平 面 向 量5.1平面向量的概念及运算 一、向量的有关概念 知识诠释思维发散名称定义备注向量既有大小又有方向的量,向量的大小叫做向量的模(或长度) 零向量长度为零的向量,其方向是任意的记作:0单位向量长度为1个单位的向量非零向量a的单位向量为|aa相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0名称定义备注平行向量或共线向量方向相同或相反的向量叫平行向量,又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量 二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差a-b=a+(-b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|=|a|(2)当0时,a与a的方向相同;当0.【解析】当0时,|a|=|a|不成立,A错误;|a|应该是一个非负实数,而非向量,所以B错误;当=0或a=0时,|a|=0,D错误.【答案】C2.在三角形ABC中, =c, =b,点D是边BC上一个靠近点C的三等分点,则 等于( )(A)b+c. (B)c-b.(C)b-c. (D)b+c.ABACAD2313532323131323【解析】如图所示,可知 = + ( - )=c+(b-c)=b+c.【答案】AADAB23ACAB2323133.在ABC中,点P是AB上一点,且 = + ,Q是BC中点,AQ与CP交点为M,又=t,则t的值为( )(A). (B). (C). (D).【解析】 =t , =t( + )= + = +.又A,M,Q三点共线,+=1,t=.CP23CA13CBCMCP12233445CMCPCM23CA13CB23tCA3tCB23tCA23tCQ23t23t34【答案】C 核心突围技能聚合题型1平面向量的有关概念例1判断下列命题是否正确,不正确的说明理由:(1)向量a与向量b平行,则向量a与向量b方向相同或相反;(2)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点必在一直线上;(3)若干个向量首尾相接,形成封闭的图形(即向量链),则这些向量的和等于0;(4)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.ABCD【分析】本题主要考查学生对于零向量有关性质的掌握及对相等向量的认知.【解析】(1)不正确,若向量a与向量b有一个是零向量,则其方向不确定.(2)不正确,若向量与向量是共线向量,则向量与向量在同一直线上或者所在的直线平行,因此A,B,C,D四点不一定共线.(3)正确.(4)正确.ABCDABCD【点评】注意向量相等应满足的两个条件:模相等;方向相同.还要注意零向量的特殊性,尤其是判定向量共线时不要忽略零向量.变式训练1给出下列六个命题:(1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;(2)若|a|=|b|,则a=b;(3)若=,则A,B,C,D四点构成平行四边形;(4)在平行四边形ABCD中,一定有=;(5)若m=n,n=p,则m=p;ABCDABDC(6)若ab,bc,则ac.其中不正确的个数是( )(A)2. (B)3. (C)4. (D)5.【解析】(1)不正确,相等向量起点可以不同;(2)不正确,a与b的方向可以不一样;(3)不正确,与可以在同一直线上;(4)正确;(5)正确;(6)不正确,若b为零向量,零向量与任何向量共线,所以a与c可以不共线的.故答案为C.ABCD【答案】C题型2向量的线性运算例2如图所示,D、E是ABC中AB、AC边的中点,M、N分别是DE、BC的中点.已知=a,=b,试用a、b分别表示、和 .BCBDACCEMN【分析】结合图形可先把转化为与的差,即可得到,而与是共线向量;先转化为、的和,然后再转化为a、b的和差关系.ACBCBAACCEACMNMDDBBN【解析】由三角形中位线知DEBC,故=,即=a.= - =a-2b,=- =-a+b,= + + = - + =-a-b+a=a-b.12DE12BCDE12ACBCBACE12AC12MNMDDBBN12EDBD12BC141214基本功,除综合利用向量的加、减法,数乘向量外,还需要充分利用平面几何的一些定理.【点评】用已知向量来表示另外一些向量,是用向量解题的变式训练2平行四边形OADB的对角线交于点C,=,=,=a,=b,用a,b表示 , , .BM13BCCN13CDOAOBOMONMN= + =a+b,=a+b,= + = + = = a+ b,= - =a-b.OMOBBM1656ODONOCCN12OD16OD23OD2323MNONOM1216【解析】=a-b,=a-b,BABM16BA1616题型3共线向量的应用例3设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线;(2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=2e1-ke2,且A,C,D三点共线,求k的值.ABBCCDABBCCD【分析】(1)要证A,C,D三点共线,只需证存在实数,使=即可.ACCD(2)由于A,C,D三点共线,因此存在实数,使=,因而可据已知条件和向量相等条件得到关于,k的方程,从而求k.ACCD【解析】(1)=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,又=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,与平行.又与有公共点C,A,C,D三点共线.(2)=+=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,A,C,D三点共线,与共线,从而存在实数,使得=ABBCCDACABBC1212CDACCDACCDACABBCACCDAC,即3e1-2e2=(2e1-ke2),于是有 解得=,k=.CD32 ,2,k 3243【点评】本题是一道姐妹题:(1)是求证共线,(2)是已知共线求k,刚好体现了问题的两面性,很全面.变式训练3已知=+(,)为实数,若A,B,C三点共线,求证:+=1.【解析】A,B,C三点共线,可设=m,则=+=+m=+m(-)=(1-m)+m,又=+,=1-m,=m,+=1.OBOAOCABACOBOAABOAACOAOCOAOAOCOBOAOC1.在平面向量的有关概念的辨析问题上,应该要加倍仔细,多注意举反例,要多思考零向量和单位向量这些特殊向量.2.在向量的线性运算上,要自己画图,灵活熟练地运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则.3.向量共线问题常见两种题型:一是根据条件证明三点共线;二是利用三点共线求参数的值.无论哪种类型都离不开共线向量定理. 例 已知e1、e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=6e1-8e2,问a和b是否共线?【错解】因为3e1与6e1是共线向量,4e2与8e2是共线向量,所以a与b共线.【剖析】没有很好地理解和掌握向量共线的条件.【正解】因为e1、e2不共线,所以a0,b0.若a与b共线,则存在R,使a=b,即3e1+4e2=(6e1-8e2).所以(3-6)e1+(4+8)e2=0,所以方程组 无解,故a与b不共线.360,480一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)基础角度思路1.(基础再现)在平面四边形ABCD中,P为平面上一点,若+=+,则点P为( )PAPBPCPDABCD(A)四边形ABCD对角线的交点.(B)AC的中点.(C)BD的中点.(D)CD上一点.【解析】由+=+可得+=-+-,于是有2=-2,即=-,所以P为AC的中点.【答案】BPAPBPCPDABCDPAPBPCPDPBPAPDPCPAPCPAPC2.(基础再现)设O是ABC所在平面内一点,且满足(-)(+-2)=0,则ABC的形状为( )(A)正三角形. (B)直角三角形.(C)等腰三角形. (D)以上都不对.【解析】由(-)(+-2)=0可得,(+)=0,(-)(+)=0,所以AB与AC相等即可,所以答案为C.【答案】COBOCOBOCOAOBOCOBOCOACBABACABACABAC3.(视角拓展)如图,在ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )(A). (B).(C). (D).AN13NCAPAB211AC911511311211=,=.又B,P,N三点共线,m+=m+=1,m=.【答案】C4211811811311【解析】如题图可知=m+=m+,APABANAB4AC4.(高度提升)a,b是不共线的向量,若=1a+b,=a+2b(1,2R),则A,B,C三点共线的充要条件为( )(A)1=2=-1. (B)1=2=1.(C)12+1=0. (D)12-1=0.ABAC【答案】D【解析】只要,共线即可,根据向量共线的条件即存在实数使得=,即a+2b=(1a+b).由于a,b不共线,根据平面向量基本定理得1=1且2=,消掉得12=1.ACABACAB5.(能力综合)已知ABC和点M满足+=0.若存在实数m使得+=m成立,则m等于( )(A)2. (B)3. (C)4. (D)5.【解析】由题目条件可知,M为ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,则= .因为AD为中线,所以+=2=m,即2=m,联立,可得m=3.【答案】BMAMBMCABACAMAM23ADABACADAMADAM二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)6.(视角拓展)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则等于 .【解析】由已知得-=2(-),=2,=2.【答案】2OAOBOC|ABBCOAOBOBOCABBC|ABBC7.(视角拓展)已知AOB,点P在线段AB上,若=m+4n(m,nR),则mn的最大值为 .【解析】由题意得m+4n=1,1=m+4n2 =4 ,mn.【答案】 OPOAOB4mnm n1161168.(高度提升)如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为 .【解析】=(+)=+,因为M,O,N三点共线,所以+=1,所以m+n=2.【答案】2ABAMACANAO12ABAC2mAM2nAN2m2n9.(能力综合)如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,=+,其中,R,则+= .【解析】设=b,=a,则=b-a,=b-a,=b-a, 代入条件得=,+=.【答案】 ACAEAFBCBAAF12AE12AC23434310.(基础再现)如图所示,ABCD是一个梯形,ABCD且AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点,已知=a,=b,试用a,b分别表示 , , .ABADDCBCMN三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)= + = + + =-a+b+a=b-a, =- =a-b.NMNDDMNAADDM121414MNNM14【解析】=a,=+=b+a,=-=b+a-a=b-a,DC12AB12ACADDC12BCACAB121211.(高度提升)已知P为ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a,b表示向量,.【解析】=-=-a,=-=-b,又3+4+5=0,3+4(-a)+5(-b)=0,化简得=a+b.设=t,则=ta+tb.又设=k,由=-=b-a,得=k(b-a),而=+=a+ ,=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.APBPCPABACAPADBPAPABAPCPAPACAPAPBPCPAPAPAPAP13512ADAPAD13512BDBCBCACABBDADABBDBDAD由,可得t=1-k,t=k,解得t=,代入有=a+b.1351243AD495912.(能力综合)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;(3)设=ma,=nb,= a+ b,其中m,n,均为实数,m0,n0,若M,P,N三点共线,求证:+=1.OAOBOCOMONOPmn与共线,且有公共端点B,A,B,C三点共线.(2)8a+kb与ka+2b共线,存在实数,使得8a+kb=(ka+2b),(8-k)a+(k-2)b=0.又a,b不共线, 解得 或 ABBC80,20,kk2,4k2,4.k 【解析】(1)=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,又=-=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 ,ABOBOABCOCOBAB= ,= ,+=1.1m1nmn(3)M,P,N三点共线,存在实数,使得= ,= = a+ b,a,b不共线,MPPNOP1OMON1m1n
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