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第十九讲第十九讲 不等式的解法不等式的解法走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材1.一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经化简整理可得任何一个一元一次不等式经化简整理可得axb(a0)的形式的形式.(1)当当a0时时,解集为解集为x|x ;(2)当当a0时时,解集为解集为x|x0(A0)或或AX2+BX+C0).(2)求出相应一元二次方程的根求出相应一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图象与利用二次函数的图象与X轴的交点确定一元二次不等式的轴的交点确定一元二次不等式的解集解集.3.一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集判别式判别式=b2-4ac0=00)的图象的图象一元二次方一元二次方程程ax2+bx+c=0(a0)的根的根有两相异实有两相异实根根x1,x2(x10(a0)的解集的解集x|xx2x|x- Rax2+bx+c0)的解集的解集 x|x1x0(A0)恒成立的条件是恒成立的条件是5.AX2+BX+C0(A0)恒成立的条件是恒成立的条件是6.在解不等式时应注意以下两点在解不等式时应注意以下两点(1)每步变形必须是等价的每步变形必须是等价的,即同解变形即同解变形,否则就会产生多解或否则就会产生多解或漏解的情况漏解的情况.(2)换元法是转化复杂问题为简单问题的重要手段换元法是转化复杂问题为简单问题的重要手段,要注意运要注意运用用. a00. a00考考 点点 训训 练练1.(2009北京卷北京卷)设集合设集合A=- x2,B=x|x21,则则AB=( )A.x|-1x2B.x|- x1C.x|x2D.x|1x21212答案答案:A解析解析:B=x|-1x1,AB=x|-1x2.2.(2009安徽卷安徽卷)若集合若集合A=X|(2X+1)(X-3)0,B=XN*|X5,则则AB是是( )A.1,2,3B.1,2C.4,5D.1,2,3,4,5答案答案:B解析解析:A=x|- x3,B=1,2,3,4,5,AB=1,2.123.(2009山东卷山东卷)在在R上定义运算上定义运算:AB=AB+2A+B,则满足则满足X(X-2)0的实数的实数X的取值范围是的取值范围是( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-,-2)(1,+)D.(-1,2)答案答案:B解析解析:根据题意得根据题意得:x(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-20,解得解得-2xF(1)的解集是的解集是( )A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3),2x4x6 x0 x6 x0答案答案:A :163,x3;,3x0.( )(, )( ,). 2f 114x0 x00 x1x24x63x1x3x0 x0 x63x3f xf 13 13解析或或的解集为5.(2009江西卷江西卷)若不等式若不等式 K(X+1)的解集为区间的解集为区间,且且B-A=1,则则K=_.24x32答案:,:,(),( ,),b2,a1.ba1.303k.1 122y4xyk x11 013解析 画的图象如图由图像可知只有当直线过时满足此时解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关题型一题型一 不等式的解法不等式的解法例例1解下列不等式解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)x2-3x+52;(4)-6x2+3x-20.(5) 223x5x2x3: ( )(),1,2,21|x.2( )()5110,. 221222134222502x3x20 xxx x22341x3x50解方程有两个实数根原不等式的解集为或方程没有实数根原不等式的解集为()6 x20,()21 20,3,1,3x |1x1.()0 .()20 .R . 22122233 x6433x1x3333346 x3 x2346不 等 式 变 形 为方 程 有 两 个 实 数 根原 不 等 式 的 解 集 为不 等 式 可 转 化 为不 等 式 的 解 集 为 ()0.()()0,0()0,1. 22223x552x2x32xx1x2x3x2x32x1x1x3x1x3x原 不 等 式 可 化 为整 理 得，即且如图所示如图所示由图可知由图可知,原不等式的解集为原不等式的解集为X|X1.12点评点评:(1)解一元二次不等式解一元二次不等式,首先应把二次项系数化为正数首先应把二次项系数化为正数,然然后解方程后解方程AX2+BX+C=0(A0).利用二次函数利用二次函数Y=AX2+BX+C(A0)的图象与的图象与X轴交点情况轴交点情况,写出不等式的解写出不等式的解集集.(2)解分式不等式时解分式不等式时,要转化为整式不等式要转化为整式不等式,但要注意分母不为但要注意分母不为零零.:2 x30 ;x ;2 x130 ;3 x10 .()22211x2xx54x1变 式解 下 列 不 等 式解解:(1)不等式可化为不等式可化为X2-2X+30.=(-2)2-413XX(X-1)0,方程方程X2-X=0有两个实数根有两个实数根X1=0,X2=1,不等式的解集为不等式的解集为X|X1. 3x12x10,11|x.321.()|1. 22x1303x1x xx50 x540 x5xx1x1x x5x不等式的解集为或且不等式的解集为且题型二题型二 含参数不等式的解法含参数不等式的解法例例2解关于解关于x的不等式的不等式:(m+3)x2+(m+2)x-10.分析分析:二次项系数中含有参数二次项系数中含有参数,正、负不能确定正、负不能确定,故应按故应按m+3等等于于0,大于大于0,小于小于0进行分类讨论进行分类讨论.:( ),x | x1 .( ),1 |x.m3 1m30m3x1012m3m30 xm31x100m3x x1解当即时 原不等式可化为故原不等式的解集为当时原不等式可化为又知故原不等式的解集为或( ),1xx10.m31,(),m3.,x |x1 .,1,x |1x. 23m3m30m41x1014m31m31m31m4m31m3当时 即原不等式可化为当时原不等式可化为原不等式的解集为当时原不等式的解集为当时故原不等式的解集为,1,x |1x;m3,;,1x |x1 ;1m,x | x1 ;,1|x.1m m4m44m3m3m3x x1综上可知当时 原不等式的解集为当时 原不等式的解集为当时原不等式的解集为当时 原不等式的解集为当时原不等式的解集为或点评点评:解含有参数的不等式的基本解法是分类讨论解含有参数的不等式的基本解法是分类讨论,讨论的关讨论的关键是分类的标准键是分类的标准.如本例先以二次项系数为如本例先以二次项系数为0,大于大于0,小于小于0为分为分类标准类标准,当两根的大小不定时当两根的大小不定时,再以两根的大小关系再以两根的大小关系,再次分类再次分类.分类讨论要做到不重、不漏分类讨论要做到不重、不漏,标准统一标准统一.:.a x12x0 x1变 式解 关 于的 不 等 式:ax1x10.( ),x1;1( ),xx10,a11,x;aa 1a0 x102a01x1解原 不 等 式 等 价 于当时 由得当时 不 等 式 化 为解 得或1(),xx10.a11,x1;aa1,;a11,1x.aa 3a011a01a1x1a1当时 不 等 式 可 化 为若即时 则若即则若即则1,x |1x;a,;1,x |x1;a,x | x1 ;1,|x.a a1a11a0a0a0 xx1综 上 所 述时 解 集 为时 原 不 等 式 无 解时 解 集 为时 解 集 为时 解 集 为或题型三题型三 求参数的范围求参数的范围例例3已知关于已知关于x的不等式的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集为空集的解集为空集,求实数求实数a的取值范围的取值范围.分析分析:本例中没有明确该不等式是二次不等式本例中没有明确该不等式是二次不等式.因此应分二次因此应分二次项系数项系数a2-4=0和和a2-40两种情况讨论两种情况讨论,在在a2-40时时,结合二次函结合二次函数的图象进行分析数的图象进行分析.解解:当当A2-4=0时时,A=2.当当A=2时时,不等式化为不等式化为4X-10,解集不是解集不是.当当A=-2时时,解集为解集为.当当A2-40时时,要使解集为要使解集为,则有则有解得解得-2A0对任意实数对任意实数X恒恒成立的条件是成立的条件是 .关于关于X的一元二次不等式的一元二次不等式AX2+BX+C2x+p.(1)当当|p|2时时,不等式恒成立不等式恒成立,求求x的范围的范围;(2)当当2x4时时,不等式恒成立不等式恒成立,求求p的取值范围的取值范围.解解:(1)题中不等式含有两个字母题中不等式含有两个字母x,p,由条件可知由条件可知,应视应视p为变为变量量,x为常量为常量,利用数形结合求利用数形结合求x的范围的范围.不等式变形为不等式变形为(x-1)p+(x2-2x+1)0.令令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1(|p|2),其图象为线段其图象为线段.x3或或x-x2+2x-1.2x4,x-10. .当当2x4时时,1-x的最大值为的最大值为-1,p-1. 2x2x 1p1 xx 1点评点评:(1)不等式恒成立问题的解答思路不等式恒成立问题的解答思路:一是数形结合一是数形结合;二是分二是分离变量离变量.(2)PF(X)恒成立恒成立,P应大于应大于F(X)的最大值的最大值;PF(X)恒成立恒成立,P应小应小于于F(X)的最小值的最小值.变式变式4:设不等式设不等式MX2-2X-M+10,令令f(m)=(1-x2)m+2x-1,则问题转化为则问题转化为对一切对一切-2m2的值的值f(m)0恒成立恒成立.笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关函数与方程的思想函数与方程的思想不等式与函数与方程是密不可分的不等式与函数与方程是密不可分的,如一元二次不等式的解如一元二次不等式的解法就是借助相应的二次函数的图象和一元二次方程的根来求法就是借助相应的二次函数的图象和一元二次方程的根来求解的解的.其实一个不等式的解集的端点值往往就是相应方程的其实一个不等式的解集的端点值往往就是相应方程的根根,也是相应函数的图象与也是相应函数的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标.(,)( ,),a_ . xa1x0 x114例 若关于 的不等式的解集为则实数答案答案:4:,.a4.xa0 x1xa01x14x1xa0解析依题意知和 是方程的两根例例2关于关于X的二次不等式的二次不等式AX2+BX+C0的解集为的解集为X|MX0.(1)试判断试判断A,B,C的符号的符号;(2)求不等式求不等式CX2-BX+A0的解集的解集. : ( ),m, n,b0,f0c0.,a0, b0,c0.21a0axbxc0bb002a2ayx解由 不 等 式 的 特 点 及 解 集 形 式 易 知又方 程有 两 个 正 根抛 物 线 对 称 轴即再 根 据 开 口 向 下 与轴 的 交 点 应 在轴 下 方综 上 知 bx10.abcmn, mn,aamnx10,11x.mn11,.mn 222c2 cxbxa0 xam nx又即 不 等 式 的 解 集 为考考 向向 精精 测测1.设设a0,不等式不等式|ax+b|c的解集为的解集为x|-2x1,则则a：b：c=_.答案答案:2：1：3:,x |2x1 .bccbx,aabc2,cb2a,acba.,31ca,ba,22: 3. a0axbccaxbccb1aa b c2 1解析且的解集为而2.关于关于X的方程的方程4X+(M-3)2X+M=0有两个不等的实根有两个不等的实根,求求M的取值范围的取值范围.:,m3 tm0,3m0,m0,0m1.().,. x21212t2t0ttttt tm3 24m0m0 1解令则原方程可化为即关于 的方程有两个不等的正根则解得即的取值范围是课时作业课时作业( (十九十九) ) 不等式的解法不等式的解法一、选择题一、选择题1.不等式不等式-6x2-x+20的解集是的解集是( )11. |. |221. |D. x | x2 22AxxBx xx332Cx x3 或 答案答案:B:1().2 226xx 2 06xx 2 03x 222x 10 xx3解析或 2.设集合设集合M=X|X2-X0,N=X|X|2,则则( )A.MN=B.MN=MC.MN=MD.MN=R答案答案:B解析解析:M=x|0 x1,B=x|-2x2,MN=x|0 x1=M.3.F(X)=AX2+AX-1在在R上恒满足上恒满足F(X)0,则则A的取值范围是的取值范围是( )A.A0B.A-4C.-4A0D.-40,-x+2x2.分别解得分别解得-1x0或或00成立成立,则实数则实数x的取值范围是的取值范围是_.1,3答案答案:x2或或x-1 :(),( )1,3f a0.,x20.x1.x1. 222f aa xx2x2f aax2x1f 1xx202f 33xx3x2解析 设则在上满足或或综上或7.设设A-1,则关于则关于X的不等式的不等式A(X-A)(X- )0的解集是的解集是_.1a: |xa1x xa答案或:,xa. 11a1a xax0 xax0aa11a1axaa解析又时或,.,_. 222x4x308M2xx6x 809x a0NMNa已知不等式组的解集为不等式的解集为若则实数 的取值范围是答案答案:(-,9解析解析:不等式组的解集是不等式组的解集是x|2x3,设设f(x)=2x2-9x+a,则由题则由题意意,得得f(2)0,f(3)0,解得解得a9.12.()_ .29ylogx1函 数的 定 义 域 是 :,1,221答案12:(),|, |2. 222logx100 x111x21x2x2x11x解析 由 知定义域为或三、解答题三、解答题10.解关于解关于x的不等式的不等式:x2-(a+1)x+a0.解解:x2-(a+1)x+a0(x-a)(x-1)0当当a1时时,不等式的解集为不等式的解集为x|ax1时时,不等式的解集为不等式的解集为x|1x0;(2)当不等式当不等式F(X)0的解集为的解集为(-1,3)时时,求实数求实数A,B的值的值.解解:(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3.f(1)0,-a2+6a+b-30,=24+4b.当当b-6时时,0,f(1)0的解集为的解集为;当当b-6时时0,f(1)0的解集为的解集为|. a 3b 6 a 3b 6( )1,3 .a 6a13,6a60,3b9.,3,b9. 22223xa 6a xb0133xa 6a xb0ab133a3不等式的解集为和 是方程的两根即解之 .()().( )0,1,;( )0,1 ,(),.xx 1012 2010f x93c c1xf x0c2xf x00c保定调研 已知函数为常数若当时 恒有成立 求实数 的取值范围若存在使成立 求实数 的取值范围 :(),.0,1,1,3 .1,3,.,( )1,3g 30,c0.(,0). 2xx221 f x3x3 3ct3xttg tt3tc0g t333c0c解令当时问题转化为当时恒成立于是 只需在上的最大值即实数 的取值范围是 ( )0,1 ,(),1,3 ,3tc0,3,( )1,3g0,2339(),c.2249(,).400222xf x0tg ttg t3c0c若存在使则存在使于是 只需在上的最小值即实数 的取值范围是
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