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复习精要复习精要1.在中学物理范围内，万有引力定律一般应用于天体在中学物理范围内，万有引力定律一般应用于天体在圆周运动中的动力学问题或运动学问题的分析，在圆周运动中的动力学问题或运动学问题的分析，当天体绕着某中心天体做圆周运动时，中心天体对当天体绕着某中心天体做圆周运动时，中心天体对该天体的万有引力就是其做圆周运动所需的向心力该天体的万有引力就是其做圆周运动所需的向心力,据此即可列出方程进行定量的分析。据此即可列出方程进行定量的分析。rTmmrrmvmarMmG222224 2. 一个重要的关系式一个重要的关系式 由由mgRmMG 2地地地地2地地地地gRGM 地球自转对地表物体重力的影响地球自转对地表物体重力的影响3如图所示，在纬度为如图所示，在纬度为的地表处，物体所的地表处，物体所受的万有引力为受的万有引力为mg F向向F2RGmMF 而物体随地球一起绕地轴自转所需而物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为的向心力为F向向=mRcos2方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。力，而只是万有引力的一个分力。由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，认为地球表面处物体所受到的地球引力近转的影响，认为地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即似等于其重力，即mgRGmM 24已知引力常量已知引力常量G、月球中心到地球中心的距、月球中心到地球中心的距离离R和月球绕地球运行的周期和月球绕地球运行的周期T。仅利用这三个。仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（数据，可以估算出的物理量有（ ） A月球的质量月球的质量B地球的质量地球的质量C地球的半径地球的半径D月球绕地球运行速度的大小月球绕地球运行速度的大小B D17我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。设地球、月球的质量分别为得重要进展。设地球、月球的质量分别为m1 、m2 ，半径分别为半径分别为R1 、R2 ，人造地球卫星的第一宇宙速度，人造地球卫星的第一宇宙速度为为v ，对应的环绕周期为，对应的环绕周期为T ，则环绕月球表面附近，则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为 ( )TRmRm,vRmRm.DTRmRm,vRmRm.CTRmRm,vRmRm.BTRmRm,vRmRm.A3123211221321312211232131212213123212112A14.据报道据报道,最近在太阳系外发现了首颗最近在太阳系外发现了首颗“宜居宜居”行行星，其质量约为地球质量的星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表倍，一个在地球表面重量为面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为约为 ( )A. 0.5 B. 2 C. 3.2 D. 4解解: 由题意可以得到由题意可以得到 g=1.6g;由黄金代换由黄金代换GM=gR2可以得到可以得到22RMRMgg 解得解得R=2RB10、假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天、假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是 ( )A、地球的向心力变为缩小前的一半、地球的向心力变为缩小前的一半B、地球的向心力变为缩小前的、地球的向心力变为缩小前的1/16C、地球绕太阳公转周期与缩小前的相同、地球绕太阳公转周期与缩小前的相同D、地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半、地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半B C解见下页解见下页解：解： 天体的密度不变，天体直径和天体之间距离天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，则地球和太阳的质量缩小到都缩小到原来的一半，则地球和太阳的质量缩小到原来的原来的1/8,地球和太阳的距离缩小到原来的地球和太阳的距离缩小到原来的1/2,即即rrmmMM218181 地球绕太阳公转的向心力地球绕太阳公转的向心力FrMmGrmMGF16116122 地球绕太阳公转周期地球绕太阳公转周期TrTmrMmG2224 rTmrmMG 2224 23232244TrGMrMGT 17.我国探月的我国探月的“嫦娥工程嫦娥工程”已启动，在不久的将来，已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上测得摆我国宇航员将登上月球。假如宇航员在月球上测得摆长为长为 l 的单摆做小振幅振动的周期为的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密，将月球视为密度均匀、半径为度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为的球体，则月球的密度为 ( )23GrTl 23GrTl 2316GrTl 2163GrTl A B C D解：解：glT 2 mgrMmG 2334rM 解得：解得：23GrTl B13.（13分）宇航员在月球表面附近自分）宇航员在月球表面附近自h高处以初速度高处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L已知已知月球半径为月球半径为R，若在月球上发射一颗卫星，若在月球上发射一颗卫星,使它在月球表使它在月球表面附近绕月球作圆周运动若万有引力恒量为面附近绕月球作圆周运动若万有引力恒量为G，求：，求：(1)该卫星的周期；该卫星的周期；(2)月球的质量月球的质量.解：解： (1)设月球表面附近的重力加速度为设月球表面附近的重力加速度为g月月月月221tgh L=v0t 月月RTmmg224 由由解得该卫星的周期解得该卫星的周期RhhvLT20 (2) 由由解得：解得：月月2202Lhvg 代代入入月月mgRMmG 2解得月球的质量：解得月球的质量：22202GLRhvM 14 . ( 14 分分)已知地球质量为已知地球质量为 M ，地球半径为，地球半径为 R ，引，引力常量为力常量为G。(1)试利用上述物理量推导第一宇宙速度的表达试利用上述物理量推导第一宇宙速度的表达式（要写出必要的文字说明）式（要写出必要的文字说明）(2)若已知第一宇宙速度大小若已知第一宇宙速度大小v1= 7.9km/s ，地球半径，地球半径 R=6.4 103 km,引力常量引力常量G =6.6710-11Nm2/kg2，请计算地球的质量（保留两位有效数字）请计算地球的质量（保留两位有效数字） (3)请推导第一宇宙速度的另一种表达式请推导第一宇宙速度的另一种表达式 ，式中式中 g 为地球表面的重力加速度为地球表面的重力加速度gRv 1解：解： ( l )设发射的人造地球卫星质量为设发射的人造地球卫星质量为m、速度为、速度为v，它到地心的距离为它到地心的距离为 r卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供rvmrMmG22 又近地卫星的轨道半径近似等于地球的半径又近地卫星的轨道半径近似等于地球的半径 r=R联立推得第一宇宙速度联立推得第一宇宙速度RGMv 1(2)由上式得：由上式得：GRvM21 代入数据解得代入数据解得 M=6.01024 kg(3)地球表面附近重力近似等于万有引力地球表面附近重力近似等于万有引力mgrMmG 2所以所以gRv 114（14分）分）2003年年10月月15日，我国成功发射了日，我国成功发射了“神神舟舟”五号载人宇宙飞船火箭全长五号载人宇宙飞船火箭全长58.3m，起飞质量，起飞质量为为479.8t，刚起飞时，火箭竖直升空，航天员杨利伟，刚起飞时，火箭竖直升空，航天员杨利伟有较强的超重感，仪器显示他对座舱的最大压力达到有较强的超重感，仪器显示他对座舱的最大压力达到他体重的他体重的5倍飞船进入轨道后，倍飞船进入轨道后，21h内环绕地球飞行内环绕地球飞行了了14圈，将飞船运行的轨道简化为圆形求圈，将飞船运行的轨道简化为圆形求点火发射时，火箭的最大推力（点火发射时，火箭的最大推力（g取取10 m/s2）飞船运行轨道与同步卫星的轨道半径之比飞船运行轨道与同步卫星的轨道半径之比解：解：对宇航员进行受力分析并根据牛顿第二定律对宇航员进行受力分析并根据牛顿第二定律,有有 mgN5 maN-mg 对火箭应用牛顿第二定律对火箭应用牛顿第二定律, 有有MaF-Mg 由上式可以解得由上式可以解得F5Mg2.4107N飞船运行周期为飞船运行周期为 T121/14=1.5h, 轨道半径为轨道半径为r1 ,同步卫星运行周期为同步卫星运行周期为 T224h, 轨道半径为轨道半径为r2，对飞船及同步卫星分别有对飞船及同步卫星分别有1212214rTmrMmG 2222224rTmrmMG 于是有于是有22322131TrTr解得解得321441rr14太空中有一颗绕恒星作匀速圆周运动的行星，此太空中有一颗绕恒星作匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是行星上一昼夜的时间是t,在行星的赤道处用弹簧秤测量在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10，已，已知引力常量为知引力常量为G，求此行星的平均密度。，求此行星的平均密度。行星上一昼夜的时间是行星上一昼夜的时间是t，即行星的自转周期，即行星的自转周期Tt弹簧称在赤道和两极的读数分别为弹簧称在赤道和两极的读数分别为F1、F2 解：解：在赤道上，在赤道上， 在两极上，在两极上，22122244MmGFmRmRRTt 220MmGFR又又 F2 F110% F2则则222410%mMmRGtR 23240MRGt 所以所以232233403044MMVRGtGt 19A（10分）宇航员在地球表面以一定初速度分）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间需经过时间5t,小球落回原处。（取地球表面重力加小球落回原处。（取地球表面重力加速度速度g10m/s2，空气阻力不计），空气阻力不计）（1）求该星球表面附近的重力加速度）求该星球表面附近的重力加速度g ；（2）已知该星球的半径与地球半径之比为）已知该星球的半径与地球半径之比为R星星:R地地1:4，求该星球的质量与地球质量之比，求该星球的质量与地球质量之比M星星:M地地。解：解： （1）gvt02 gvt 025所以所以2251s/mgg （2）2RGMg 所以，所以，GgRM2 可解得：可解得：8014151222地星 RRggMM18(16分分)有人设想在地球赤道上垂直于地球表面竖有人设想在地球赤道上垂直于地球表面竖起一根刚性的长杆，杆子的长度是地球半径的若干起一根刚性的长杆，杆子的长度是地球半径的若干倍。长杆随地球一起自转。在长杆上距地面高度为倍。长杆随地球一起自转。在长杆上距地面高度为h=R(R为地球半径为地球半径)处，处， 悬挂一个摆长为悬挂一个摆长为l，质量为，质量为m的单摆的单摆(l远远小于远远小于R)。设地球半径。设地球半径R、地球表面的重、地球表面的重力加速度力加速度g、地球的自转周期、地球的自转周期T0均为已知，求：均为已知，求： (1)悬挂单摆处随地球自转的向心加速度多大悬挂单摆处随地球自转的向心加速度多大? (2)该单摆的振动周期为多少该单摆的振动周期为多少? (3)单摆悬挂于长杆上距地球表面的高度单摆悬挂于长杆上距地球表面的高度H为多高处，为多高处，单摆就无法振动单摆就无法振动?解：解： （1）由于长杆随地球一起自转，与地球自转角速）由于长杆随地球一起自转，与地球自转角速度相同，度相同，h=R处的向心加速度应为处的向心加速度应为20220218222TRR)T(Ra （2）h=R处的重力加速度就等于万有引力产生的处的重力加速度就等于万有引力产生的加速度减去物体随地球自转时的向心加速度加速度减去物体随地球自转时的向心加速度万有引力产生的加速度万有引力产生的加速度gRgRRGMg4144222 所以所以h=R处的重力加速度处的重力加速度2021841TRgagg 由单摆周期公式求出振动周期由单摆周期公式求出振动周期202842TRglT （3）在地球的同步卫星轨道上引力加速度就是随地）在地球的同步卫星轨道上引力加速度就是随地球自转的向心加速度球自转的向心加速度,则同步卫星轨道上重力加速度则同步卫星轨道上重力加速度01 agg单摆在地球同步卫星轨道上无法振动。单摆在地球同步卫星轨道上无法振动。)HR()T(m)HR(MmG 2022由 RTgRRGMTH 32202322044 题目题目22.2007年年4月月24日，欧洲科学家宣布在太阳之外发现日，欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。这。这颗围绕红矮星颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径光年，直径约为地球的约为地球的1.5倍倍 ，质量约为地球的，质量约为地球的5倍，绕红矮星倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是 ( )A.飞船在飞船在Gliese581c表面附近运行的周期约为表面附近运行的周期约为13天天B.飞船在飞船在Gliese581c表面附近运行时的速度大于表面附近运行时的速度大于 7.9 km/sC.人在人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大上所受重力比在地球上所受重力大D.Gliese581c的平均密度比地球平均密度小的平均密度比地球平均密度小 B C解：解： 周期的平方与轨道半径的周期的平方与轨道半径的3次方成正比，飞船在次方成正比，飞船在Gliese581c表面附近运行的周期的周期应小于表面附近运行的周期的周期应小于13天天，A错错.rvmrMmG22 rGMv 15151 .rMMRvv地地地地v v1=7.9 km/s, B对对mgrMmG 21515222 .MrMRmgmg地地地地地地C对对334rM 15153地3地3地 .MrMR D错错11设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速度，速度为为v，则太阳的质量可用，则太阳的质量可用v、R和引力常量和引力常量G表示为表示为_。 太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的地球公转轨道半径的2109倍。为了粗略估算银河系倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等 于 太 阳 质 量 ， 则 银 河 系 中 恒 星 数 目 约 为等 于 太 阳 质 量 ， 则 银 河 系 中 恒 星 数 目 约 为_。GRv21011解见下页解见下页解：解：设地球的质量为设地球的质量为m,太阳的质量太阳的质量M,由万有引力定律由万有引力定律RvmRMmG22 GRvM2 设银河系的质量为设银河系的质量为M1 R)v(M)R(MMG922911027102 GRvM92110249 1191101098 MMn16（12分）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，分）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒粒A和和B与土星中心距离分别为与土星中心距离分别为rA=8.0104km和和rB=1.2105km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）（结果可用根式表示）（1）求岩石颗粒）求岩石颗粒A和和B的线速度之比。的线速度之比。（2）求岩石颗粒求岩石颗粒A和和B的周期之比。的周期之比。（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推，推算出他在距土星中心算出他在距土星中心3.2105km处受到土星的引力为处受到土星的引力为0.38N。已知地球半径为。已知地球半径为6.4103km，请估算土星质量，请估算土星质量是地球质量的多少倍？是地球质量的多少倍？ 第第3页页解解: 设土星质量为设土星质量为M0 ，颗粒质量为，颗粒质量为m ，颗粒距，颗粒距土星中心距离为土星中心距离为r，线速度为，线速度为v，根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律和万有引力定律：和万有引力定律：rmvrmGM220 解得：解得：rGMv0 对于对于A、B两颗粒分别有：两颗粒分别有：AArGMv0 和和BBrGMv0 得：得：26 BAvv第第4页页设颗粒绕土星作圆周运动的周期为设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：，则：vrT 2 对于对于A、B两颗粒分别有：两颗粒分别有：AAAvrT 2 和和BBBvrT 2 得：得：962 BATT题目题目设地球质量为设地球质量为M，地球半径为，地球半径为r0，地球上物体的重力，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表，在地球表面重力为面重力为G0，距土星中心，距土星中心r0 3.2105 km处的引力为处的引力为G0 ，根据万有引力定律：，根据万有引力定律：2000rGMmG 20000rmGMG 解得：解得：950 MM题目题目第第2页页
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