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2.3.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质教学目标：1、掌握双曲线的范围、对称性、顶 点、渐近线及离心率等性质2、初步解决生活中与双曲线有关的问题教学重点：能利用双曲线的性质求双曲线的标准方程教学难点：与双曲线的渐近线有关的问题22221(0,0)xyabab焦点在焦点在x轴上的双曲线的方程轴上的双曲线的方程22222222:11.xyabxxaxaxaa 由双曲线标准方程可知或.ax,axbyax的外侧的外侧直线直线在两在两双曲线双曲线 12222性质性质1范围范围xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)性质性质2对称性对称性F2F1Oxy.;yxbyax中心中心双曲线的双曲线的双曲线的对称中心叫做双曲线的对称中心叫做关于原点成中心对称关于原点成中心对称成轴对称成轴对称轴轴轴、轴、关于关于双曲线双曲线12222 F2F1Oxy A1A2双曲线的对称轴与双曲线的交点双曲线的对称轴与双曲线的交点,叫做双曲线的叫做双曲线的顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点 0 ,a 0 ,a性质性质3顶点顶点F2F1Oxy A1A2 实轴实轴 b,B 01 b,B 02虚轴虚轴性质性质3顶点顶点叫叫做做虚虚半半轴轴长长虚虚轴轴长长叫叫做做实实半半轴轴长长实实轴轴长长b,ba,a22 Oxy22222221,2 .,xyababxyaaxa ya 在方程中 如果那么方程化为此时实轴和虚轴的长都等于四条直线围成正方形。.叫做等轴双曲线叫做等轴双曲线线线实轴和虚轴等长的双曲实轴和虚轴等长的双曲等轴双曲线等轴双曲线xyoA1A2abB1B2QM(x,y) N Y,x 性质性质4渐近线渐近线xaby xaby 00 MQ,MN,xMNMQ,MNQRt进而进而时时当当中中在在.ON,的的下下方方逐逐渐渐接接近近于于射射线线射射线线从从内内的的部部分分说说明明双双曲曲线线在在第第一一象象限限ON.xaby.叫叫做做双双曲曲线线的的渐渐近近线线于于是是我我们们把把两两条条直直线线的的情情况况在在其其他他象象限限内内均均有有类类似似 双曲线与它的渐近线双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交无限接近，但永不相交.13思考：思考： ayx b 两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？双曲线双曲线 的渐近线方程是什么？的渐近线方程是什么？22221yxab 等轴双曲线 的渐进线方程是)0(22mmyx2222xy=0ab 22220yxab 2222xy=1ab 22221yxab byxa ayx b 等轴双曲线 的渐进线方程是)0(22mmyxyx 14双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace 离心率。ca0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,), 0(), 1 (的夹角增大增大时，渐近线与实轴e性质性质5离心率离心率15()yx 两渐近线互相垂直2e 22(0)(x)xy 焦点可在 轴上，也可在y轴上16YXF1F2A1A2B1B212222byax焦点在焦点在x x轴上的双曲线草图画法轴上的双曲线草图画法12222bxayxbay1ace17双曲线标准方程：双曲线标准方程：双曲线性质：双曲线性质：1.范围：范围：2.对称性：对称性：3.顶点：顶点：4.渐近线方程：渐近线方程：5.离心率：离心率：ya或或y-a关于坐标轴和原点对称关于坐标轴和原点对称A1(0，-a),A2(0,a)A1A2为实轴，为实轴，B1B2为虚轴为虚轴18关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形方程范围对称性离心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称) 1( eace渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或) 1( eacexaby顶点19(2) 的实轴长的实轴长 虚轴长虚轴长 顶点坐标顶点坐标为为_,焦点坐标为焦点坐标为 离心率为离心率为_. 224xy2283 2xy 练习1:的实轴长的实轴长_,虚轴长为虚轴长为_. 顶点坐标为顶点坐标为 ,焦点坐标为焦点坐标为_, 离心率为离心率为_.4280 , 240 ,644(0,2)22, 03242(1)20(3) 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2214xy2244xy的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2214xy 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 的渐近线方程为：的渐近线方程为： 2244xy 2xy 2xy 2xy 2xy 2122916144yx例题例题例例1 求双曲线求双曲线 的半的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程渐近线方程.22. 534. 3, 4,. 134:22222222 bacbaxy虚虚半半轴轴长长实实半半轴轴长长由由此此可可知知把把方方程程化化为为标标准准式式解解23 .34,43.45.5 , 0,5, 0 xyyxace 即即渐渐近近线线方方程程为为离离心心率率焦焦点点的的坐坐标标是是24(1)顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,e=5/4(2)求以椭圆 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程22185xy25oxy解：解：4,2)x21y4xM（的的交交于于与与渐渐近近线线点点作作直直线线过过Q32 1,2Myxx点点在在直直线线 的的下下方方，即即双双曲曲线线焦焦点点在在 轴轴上上2222100(,)xyabab设设双双曲曲线线方方程程为为得得到到入入上上式式代代），把把双双曲曲线线经经过过点点（,)3, 4(34,1, 4)2),122 ba解得解得由由例例2.已知双曲线的渐近线是已知双曲线的渐近线是 ，并且双曲线过，并且双曲线过 点点02 yx)3, 4(M,求双曲线方程。求双曲线方程。Q4M2222431()ab 1)12yx 又又渐渐近近线线是是 21 ab2)4221.xy双双曲曲线线方方程程为为 262244.xy 所所求求双双曲曲线线方方程程为为022 yx双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为：解解2240().xy 可可设设所所求求双双曲曲线线的的方方程程为为)3, 4(M双曲线过点双曲线过点.)3(4422 4 例例2.已知双曲线的渐近线是已知双曲线的渐近线是 ，并且双曲线过，并且双曲线过 点点02 yx)3, 4(M,求双曲线方程。求双曲线方程。27解：由题意可设双曲线方程为解：由题意可设双曲线方程为 ,22(0)4xy 224( 5)4 1 2214xy双双曲曲线线的的方方程程为为45( ,)双双曲曲线线过过点点N N28 22222222222210000210nxyyxmmnxymnxyxyabxyab 共渐近线的双曲线系：渐近线方程为：即的双曲线方程可设为：时表示焦点在 轴上的双曲线；时表示焦点在 轴上的双曲线；与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为：29关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形方程范围对称性离心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称) 1( eace渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或) 1( eacexaby顶点 小结与反思： 1、深刻理解定义中a,b,c,e之间的关系 2、渐近线是刻画双曲线范围的重要概念（1）画草图时，一般先画出渐近线 (2)渐近线方程确定时，双曲线方程的设法课下作业：学案133页12题30
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