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北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系全章热门考点整合应用全章热门考点整合应用习题课习题课 本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角三角本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容其主要考点可概括为：容其主要考点可概括为：两个概念，一个运算，两个概念，一个运算，两个应用，两个技巧两个应用，两个技巧1考点考点两个概念两个概念1如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，AC6，BC 8，CDAB于点于点D，求，求BCD的三个三角函数值的三个三角函数值.概念概念1 锐角三角函数锐角三角函数思路导引：思路导引：求求BCD的三个三角函数值，关键要弄清它们的的三个三角函数值，关键要弄清它们的定义由于定义由于BCD是是RtBCD中的一个内角，根中的一个内角，根据定义，仅一边据定义，仅一边BC的长是已知的，此时有两条路的长是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出可走，一是设法求出BD和和CD的长，二是把的长，二是把BCD转化成转化成A，显然走第二条路较方便，因为在，显然走第二条路较方便，因为在RtABC中，三边的长均可得出，利用三角函数中，三边的长均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案的定义即可求出答案在在RtABC中，中，ACB90，BCDACD90.CDAB，ACDA90，BCDA.在在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得AB 10，sin BCDsin A cos BCDcos A tan BCDtan A解：解：22ACBC+4,5BCAB=3,5ACAB=4.3BCAC=2如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，sinB ，D 是是BC上一点，上一点，DEAB于点于点E，CDDE，ACCD 9，求，求BE，CE的长的长概念概念2 解直角三角形解直角三角形思路导引：思路导引：由由sin B 可设可设DECD3k，则，则DB5k，求得，求得BC8k，AC6k，AB10k.再由再由ACCD9，可列出以，可列出以k为未知数的方程，进而为未知数的方程，进而求出各边的长在求出各边的长在RtBDE中，由勾股定理求中，由勾股定理求BE的长，的长，过过C作作CFAB于点于点F，再用勾股定理求出，再用勾股定理求出CE的长的长353,5DEACDBAB=解：解：sin B ，ACB90，DEAB，sin B .设设DECD3k，则，则DB5k，CB8k，AC6k，AB10k.ACCD9，6k3k9，k1，DE3，DB5，BE 4.过点过点C作作CFAB于点于点F，则，则CFDE，在在RtCEF中，中，CE3535DEACDBAB=2253-5243212,.8555DEBEBDCFBFEFCFBFBC求求得得=22125.5CFEF+=方程思想方程思想是一种重要的思想方法，运用方程是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法的方法2考点考点 一个运算一个运算 特殊角的三角函数值与实数运算特殊角的三角函数值与实数运算3计算：计算： (1)tan 30sin 60cos230sin245tan 45； (2) tan245 3cos230 1421sin 30tan45sin40.cos60cos50鞍-鞍解：解：(1)原式原式(2)原式原式22333213222骣骣鼢珑鼢绱鼢珑鼢鼢珑桫桫1313.2424=+-=2221131131142122骣-寸+-骣桫桫1343213.44=+-+-=3考点考点2 2个应用个应用4如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB4，AD5，P是射线是射线BC 上的一个动点，过点上的一个动点，过点P作作PEAP，交射线，交射线DC于点于点E， 射线射线AE交射线交射线BC于点于点F，设，设BPa. (1)当点当点P在线段在线段BC上时上时(点点P与点与点B，C都不重合都不重合)，试用，试用 含含a的代数式表示的代数式表示CE的长；的长； (2)当当a3时，连接时，连接DF，试判断四，试判断四 边形边形APFD的形状，并说明理由；的形状，并说明理由； (3)当当tanPAE 时，求时，求a的值的值应用应用1 解直角三角形在学科内应用解直角三角形在学科内应用12设设CEy. (1)四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABCD4，BCAD5，BBCDD90.BPa，CEy，PC5a，DE4y.APPE，APE90，APBCPE90.APBBAP90，CPEBAP.ABPPCE. .y ，即，即CE .解：解：BPABCEPC=254aa-+254aa-+(2)四边形四边形APFD是菱形，理由如下：当是菱形，理由如下：当a3时，时， y ，即，即CE . 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBF.AEDFEC. . CF3. 易求易求PC2，PFPCCF5. PFAD. 四边形四边形APFD是平行四边形是平行四边形 在在RtAPB中，中，AB4，BP3，B90， AP5PF. 四边形四边形APFD是菱形是菱形2353342-+=32ADDECFCE=(3)根据根据tan PAE 可得可得 2， 易得易得ABPPCE， 2. 得得 2或或 2， 解得解得a3，y1.5或或a7，y3.5. a3或或a7.APPE12BPABAPCEPCPE=45aya=-45aya=-5【2017成都成都】科技改变生活，手机导航极大方便科技改变生活，手机导航极大方便 了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，游玩， 到达到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行方向行 驶驶4 km至至B地，再沿北偏东地，再沿北偏东45 方向行驶一段距离到达古镇方向行驶一段距离到达古镇C， 小明发现古镇小明发现古镇C恰好在恰好在A地的正地的正 北方向，求北方向，求B，C两地的距离两地的距离应用应用2 解直角三角形实际应用解直角三角形实际应用如图，过如图，过B作作BDAC于点于点D.在在RtABD中，中，ADABcos BAD4cos 604 2(km)，BDABsin BAD4 2 (km)在在RtBCD中，中，CBD45，BCD是等腰直角三角形是等腰直角三角形CDBD.BC BD2 (km)答：答：B，C两地的距离是两地的距离是2 km.解：解：123232666【中考中考泰州泰州】如图，为了测量山顶铁塔如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小的高，小 明在明在27 m高的楼高的楼CD底部底部D测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为45， 在楼顶在楼顶C测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为3652.已知山高已知山高BE为为 56 m，楼的底部，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔与山脚在同一水平线上，求该铁塔 的高的高AE(参考数据：参考数据： sin 36520.60， tan 36520.75)如图，过点如图，过点C作作CFAB于点于点F.设铁塔高设铁塔高AEx m，由题意得由题意得EFBECD562729(m)，AFAEEF(x29)m.解：解：在在RtAFC中，中，ACF3652，AF(x29)m，则则在在RtABD中，中，ADB45，AB(x56)m，则则BDAB(x56)m.CFBD，x56解得解得x52.答：答：该铁塔的高该铁塔的高AE约为约为52 m.294116()m.tan36 520.7533AFxCFx阿4116,33x4两个技巧两个技巧考点考点7如图，在如图，在ABC中，中，A30，tan B ， AC2 ，求，求AB的长的长技巧技巧1 “化斜为直化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧构造直角三角形解三角形的技巧323如图，过点如图，过点C作作CDAB，垂足为，垂足为D.在在RtACD中，中，AC2 ，A30，CD AC ，ADACcos 302 3.在在RtBCD中，中， tan B ，DB 2.ABADDB325.解：解：3312332CDDB3222 333CD=方法总结：方法总结： 在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数值、面积有关的线段长、非特殊角的某个三角函数值、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，作辅助线的技巧题转化为解直角三角形得以解决，作辅助线的技巧是解此类题的关键是解此类题的关键8如图所示，已知四边形如图所示，已知四边形ABCD，ABC120， ADAB，CDBC，AB30 ，BC50 ， 求四边形求四边形ABCD的面积的面积(要求：用分割法和补形要求：用分割法和补形 法两种方法求解法两种方法求解)技巧技巧2 “割补法割补法”构造直角三角形求解的技巧构造直角三角形求解的技巧33如答图如答图，过点，过点B作作BEAD交交DC于点于点E，过点，过点E作作EFAB交交AD于点于点F，则，则BEAB，EFAD.四边形四边形ABEF是矩形是矩形EFAB，AFBE.ABC120，CBE1209030， D18012060. 在在RtBCE中中，BE 100，方法一：方法一：50 350 3coscos3032BCCBE=邪解：解：ECBCtan CBE50 tan 30 50 50.在在RtDEF中中，DF 30.ADAFDFBEDF10030130.S四边形四边形ABCDS梯形梯形ABEDSBCE (ADBE)AB BCEC (130100)30 50 50 4 700 .333330 3tantan603EFABD=12121231233如答图如答图，延长，延长DA，CB交于交于点点E，则则ABE180ABC60，E90ABE30.在在RtABE中，中，AEABtan 6030 90,CEBEBC 60 50 110 .方法二：方法二：3330 360 3.1cos602ABBE =333在在RtDCE中中，DCCEtan 30110 110.S四四边形边形ABCDSDCE SABE DCCE ABAE 110110 30 90 4 700 .33312123312123
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