高考数学复习点拨 简单的规划求范围类型分析

简单的规划求范围类型分析线性规划是直线方程的应用，它研究的线性目标函数在线性约束条件下取最大或最小值的问题但是我们所遇到的目标函数不仅仅有线性的还有非线性的，对于非线性目标函数我们可以参照线性目标函数来求解我们经常遇到的目标函数有三类：分式类型：；二元一次类型：；二元二次类型：下面我们来分类解析这三类型的目标函数在解题中的应用一、 分式类型：求范围根据式子的结构联想斜率公式，表示动点与定点连线的斜率，看成点绕着点旋转形成的无数条直线的斜率的取值范围例1 求在约束条件下，的值域解析：作出约束条件下的可行域，如图1所示，表示定点与动点连线的斜率，动点运动的范围是图1中的阴影部分，很明显，当点与点重合时斜率最小；当点与点重合时斜率最大由于的坐标分别为，于是，故的值域是二、 二元一次类型：求范围将转换为直线方程的截距式：，若求的范围，即求纵截距“”或横截距“”的范围即可例2 设为平面上以三点为顶点的三角形区域（包括边界及内部），试求在上变动时，函数的最大值和最小值分析：连接三点，画出平面区域，表示动点的活动范围，按线性规划的方法求解解：求的最值，相当于求直线中纵截距的最值显然，最大时最小，最小时，最大如图2所示，直线过点时，纵截距最大为6；直线过点时，最小为，的最大值为14，最小值为点评：线性规划问题一般用图解法，注意图形要相对准确，否则答案易出错三、 二元二次类型：求范围将看成动点与定点两点连线的距离的平方，即例3 求的最大值和最小值，且式中的满足约束条件分析：的表达式不是线性的，所以这道题不是线性规划问题，但可以参照线性规划的解题思路来分析若把看作点到点的距离的平方，则问题转换成：可行域内的点到点的距离的平方的最大与最小值问题解：在直角坐标系中作不等式组所表示的可行域，如图3所示设点为可行域内一动点，观察图形可知，当动点运动到点时，取得最大值，此时，又点到直线的距离为，点评：本题的关键是给出目标函数的实际意义也可将目标函数看作是以点为圆心，为半径的圆，转换为圆与可行域有公共点的问题