442参数方程与普通方程的互化

4.4.2参数方程与普通方程的互化1.能通过消去参数将参数方程化为普通方程.2,能选择适当的参数将普通方程化为参数方程.基础初探,a lcos x= x+ 0 l的直线的参数方程为（y）,倾斜角为a 1.过定点P（x, 000 a sin + ly = y o- ）.的数量（P为该直线上任意一点的几何意义：为参数），其中参数l有向线段PP0 , 8x=rcos 222 . =的参数方 程为为参数（8 ）2.圆 x + y 0 sin y= r, cos 8 x+ rx= 0 .8为参数，半径为r的圆的参数方程为）（，圆心为M（xy）- 000 9 sin y+ry=0_ , acos（|）x = 22yx ）.（小为参数的参数方程为 3.椭圆十 =1 22 ba（|）bsin y=探究思考 .普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 1那么所求 得的曲线的参数方如果选用的参数不同，【提示】 不一定惟一. 程的形式也不 同.将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？2用直角坐标变量表（【提示】 代入法.先由一个方程求出参数的表达式 ，再代入另一 个方程.示）程数方对.例如于参式三或角函数中的恒等消去参数用利代数1 , + cos 8=xat _ t 228 + 8 cossin是常数，8是参数，那么可以利用公式如果t1 , 8 tay= - sin t22）n ） （mnm是参数，那么适当变形后可以利 用是常数，消参；如果=18t（+ = 4mn消参.页1第 质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑：疑问2: 解惑：疑问3: 解惑：参数方程化为普通方程1将下列参数方程化为普通方程:1t+ , x= 1t , 0 5cos x=. 8 (1)为参数为参数);(2)(tt21 = 4sin 8y =y . 31-tt+1x+1.=，得 t【自主解答】(1)由 x 1 xt 12 1 +x1 x t2(x*1).代23131X+ t 入y=化简得y=一 5, = 5cos 0 x彳4(2)由 1y+ 1 8 y = 4sin 8 = . sin 42 y+ 1 2X22+得+= 1 1625再练一题1 .将下列参数方程化为普通方程：1 , +X = t 一 t (t 为参数)(1)； 1 2 +ty=t 页 2 第,=2+3cos 0 x (8 为参数)(2). 8 y=3sin 1 1222. +tx = t+,x+=【解】(1)2tt1222.+ =把 yt=+代入得 xy2_ t11 2； +>0 时，x = t>又 = x=t+,当 ttt12. <<0时，x=t +当 t- t2.0 x>2 或 x2 . 2 或 x0 - 2).,.普通方程为 x=y+ 2(x>,=2+3cos 0x (2) 8 y = 3sin2x , cos 0 = 3 可化为 y . = sin 0 - 32xy221. +() =两式平方相加，得() 33229.y即普通方程为(x2) = +卜例普通方程化为参数方程:根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程.22 1- 2 y x-) 8为参数3cos 8 + 1.(= (1)+ = 1, x 532)为参数 + t1.(t1=0,x = (2)xy + x22 21 y- x【自主解答】 将 x = 3cos 9 + 1 代入+=1 得：y=2 + 553sin 9 .,8+x1 = 3cos ).,( 8为参数2+5sin y8= 这就是所求的参数方程.2 得：=0y+ x x = t+ 1 代入 x1 (2)将 222 1, t+3+ + t+ 1 1 = y=x( + x 1 = t + 1)t, 1x = t+, (t为参数.)2 1 + t+3ty= 这就是所求的参数方程.再练一题快，将它化为参数方程.9 = 0 + 2x 62.已知圆的方程为xy + y+ 【导学号：989900292221. 3)=+(y (x 6y + 9 = 0化为标准方程为xx【解】 把+ + y1) + 2, 8=x1 + cos ).参数方程为为参数(8 9 sin y= 3+利用参数求轨迹方程=8x于M ,N的动直线l交抛物线y两点，求MN中点的轨(1,0)过A迹方程.【思路探究】 设出直线MN的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方 程中t的几何意义及根与系数的关系解题.,a+tcos x= 1 2 , 乂=为参数)代入y8【自主解答】直线MN方程w(a0, t a tsin =y 220.= 8cos a a 8tsint 得 a 4cos 1 , )t =则 t( + t=, tGMN, t 对应参数为，设MNt中点的参数为2 200121 a sin2页4 第2 a 4cos ,+x=1 2 a sin 2 .4（x一消去 a 得 y1）=a 4cos ,=y a sin用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变. 1然后再消去参数，从而得到动点的参数方程，量，使动点的坐标分别与参数有关，化为普通方程.的几何意义.2.涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解 参数1再练一题3 22, 3 C、25x相交于3.经过点A+ yB=，倾斜角为a的直线1与圆2 两点.求弦BC的长；（1）的中点时，求直线BC的方程；（2）当A 恰为BC时，求直线BC的方程；（3）当BC = 8 M的轨迹方程.的中点（4）当a变化时，求动弦BC ）, （P为l上的动点【解】 取AP = t为参数，a3+tcosx= 则l的参数方程为3, a tsin y= +222 25代入x,整理，得+ y=5520.= ta + sin a) t3(2cos - 42 55>0 包成立，+ sin a )+A-= 9(2cos a t, 方程必有相异两实根 t, 2155. tt = + t=3(2cos a sin /)，1且十 221142 = 4tt+t| = t |= tt -BC(1)2122112+ 55.a + 2cos 9 a sin页5第0, +BC 中点，. tt=(2)A 为 212. a =a = 0, tan 即 2cos a + sin3 3), + = 2(x+故直线 BC 的方程为 y- 20.15= + 2y+即 4x2 , = 8+55 =9 2cos a+sin a(3)BC32. a= =0 或 a)tan =1. ；cos a . . (2cos a + sin .40.15=4y+ x的方程是x= 3或3+.,.直线BCtt + 321 , ) + sin a对应的参数是t = =（2cos a（4）：BC的中点M 22的轨迹方程为：点 M 3 , sin a2 2cos a + x = 3+ cos - 2 (0< a < TT ). 33 a a + sin + sin a 2cos=y一一 22133 , a cos 2a + sin 2 x + = 222 a 133.a y+ = sin 2 a cos 2 242453322.=y+ )(- -x + )+( 16245333为半径的圆.，一(一)为圆心，以M即点的轨迹是以- - 424真题链接赏析吩链接并说将下列参数方程化为普通方程，题页习题（教材第564.4第2）明它表示什么曲线:,t3x= 4+; )t(1)(为参数 t4y3页6第,13cos 8x=; 8 为参数(2)( 2+= 3sin 8y 2 tl - , x = 2tl+； t 为参数(3)(t4 =y 2t+1 a , x= 0 cos;(4)为参数)(80 tan y=b , sin 8x=).(8 为参数(5) 0 cos 2y=x = 5cos小的右小为参数中，在平面直角坐标系xOy求过椭圆)” v= 3sin, t4x= 2 焦点，且与直线平行的直线的普通方程.(t为参数)t3y=-本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性 【命题意 图】质、直线方程、两条直线的位置关系等知识.b, =3【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a= 5,短半轴长22 ,所以右焦点为a=(4,0)b.=从而c4将已知直 线的参数方程化为普通方程：x 2y+2=0,1故所求直线的斜率为，一 21因此其方程为y = (x 4), 2即x 2y4=0.页7第,=xt 1.将参数方程.(t为参数)化为普通方程为4ty= 2 4. =2代入y= x2t 4得【解析】 将xy = t x>0).,普通方程为2x y4=03 ,.x=t>00)= 0(x>【答案】2x-y-4 2, =tx 2.圆锥曲线.(t为参数)的焦点 坐标是t=2y【导学号：9899003012轴x,表示开口向右，焦点在y【解析】 将参数方程化为普通方程为x = 4 ,则焦点坐标为(1,0). p = 4?p= 2正半轴上的抛物线，由2(1,0)【答案】2, 8sinx=2+.( 8为参数)化为普通方程为3.将参数方程 2 8 siny=.y2,3, C 0,1【解析】 转化为普通方程为y = x 2,且x3) &x2(2&x【答案】y=, x = t t(C的参数方程分别为4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C和21t=y, = 2cos Ox的交点坐标为. 8为参数)，则曲线C与和为参数)C(21 8 =2sin y 2 0), >0, y>C【解析】的普通方程为 yx = x(1222.x= + yC的普通方程为22, 1>0, y0x=>=yx, x 得由22 1.y= = x + y2 ，C与C的交点坐标为(1,1). 21【答案】(1,1) 我还有这些不足：页8第我的课下提升方案：(1) (2) 页 9 第