清华大学路原理于歆杰3

清华大学电路原理教学组 问题的提出问题的提出 3. 1 3. 1 支路电流法支路电流法 3. 3 3. 3 回路电流法回路电流法 第第3 3章章 线性电阻电路的分析方法线性电阻电路的分析方法和电路定理和电路定理 3. 2 3. 2 节点电压法节点电压法 清华大学电路原理教学组 3. 4 3. 4 叠加定理叠加定理 3. 5 3. 5 替代定理替代定理 3. 6 3. 6 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理 3. 7 3. 7 特勒根定理特勒根定理 3. 8 3. 8 互易定理互易定理 3. 9 3. 9 对偶原理对偶原理 清华大学电路原理教学组求图示电路中支路电流求图示电路中支路电流i1i6（各支路电压与电（各支路电压与电流采用关联参考方向）。流采用关联参考方向）。 问题的提出问题的提出 R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234可用可用2b法求解电路。法求解电路。 问题：问题： 方程数多（方程数多（12个方程）个方程）复杂电路难以手工计算复杂电路难以手工计算计算机的存储能力与计算能力要求高计算机的存储能力与计算能力要求高 有必要寻找减少列写方程数量的方法有必要寻找减少列写方程数量的方法 。 清华大学电路原理教学组目的目的：找出求解线性电路的：找出求解线性电路的分析方法分析方法 。对象对象：含独立源、受控源的：含独立源、受控源的电阻网络电阻网络。应用应用：主要用于复杂的线性电路的求解。主要用于复杂的线性电路的求解。电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律定律元件特性元件特性约束关系约束关系基础基础返回目录返回目录清华大学电路原理教学组R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12343.1 3.1 支路电流法（支路电流法（Branch Current Method） 举例说明举例说明 支路数支路数 b=6 节点数节点数 n=4 （1） 取支路电流取支路电流 i1 i6为独立变为独立变 量量，并在图中标定各支路电流参考，并在图中标定各支路电流参考方向；支路电压方向；支路电压u1 u6的参考方向的参考方向 与电流的方向一致（图中未标出）。与电流的方向一致（图中未标出）。 支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程以各支路电流为未知量列写电路方程 分析电路的方法。分析电路的方法。 清华大学电路原理教学组（2） 根据根据KCL列各节点电流方程列各节点电流方程 节点节点 1 i1 + i2 i6 =0(1)出为正出为正 进为负进为负 节点节点 2 i2 + i3 + i4 =0节点节点 3 i4 i5 + i6 =0节点节点4 i1 i3 + i5 =0节点节点 1 i1 + i2 i6 =0节点节点 2 i2 + i3 + i4 =0节点节点 3 i4 i5 + i6 =0 可以证明：对有可以证明：对有n个节点个节点 的电路，独立的的电路，独立的KCL方程只方程只 有有n-1个个 。 R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234节点节点4设为参考节点设为参考节点清华大学电路原理教学组3 （3） 选定选定b- -n+1个独立回路，个独立回路， 根据根据KVL列写回路电压方程。列写回路电压方程。 回路回路1 u1 + u2 + u3 = 0 （2）12回路回路3 u1 + u5 + u6 = 0 回路回路2 u3 + u4 u5 = 0 将各支路电压、将各支路电压、电流关系代入电流关系代入 方程（方程（2） u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = uS+R6i6 用支路电流表出支路电压用支路电流表出支路电压R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0 （3）R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234清华大学电路原理教学组 i1 + i2 i6 =0 i2 + i3 + i4 =0 i4 i5 + i6 =0 R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0 KCL KVL 联立求解，求出各支路电流，联立求解，求出各支路电流， 进一步求出各支路电压。进一步求出各支路电压。 R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234图示电路用支路电流法求解所列写的方程：图示电路用支路电流法求解所列写的方程： 清华大学电路原理教学组独立节点：独立节点：与独立方程对应的节点，有与独立方程对应的节点，有n-1个。个。独立回路：独立回路：与独立方程对应的回路。与独立方程对应的回路。平面电路平面电路：可以画在平面上：可以画在平面上 , 不出现支路交叉的电路。不出现支路交叉的电路。规规 律律 KCL: （n 1）个独立方程。）个独立方程。KVL: （b - - n 1）个独立方程。）个独立方程。好找！好找！如何找？如何找？清华大学电路原理教学组如何选择独立回路如何选择独立回路 平面电路可选网孔作为独立回路。平面电路可选网孔作为独立回路。 一般情况（适合平面和非平面电路）。一般情况（适合平面和非平面电路）。 每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。 非平面电路非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。相互交叉。清华大学电路原理教学组支路法的一般步骤支路法的一般步骤: （1） 标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向； （2） 选定选定(n1)个独立节点，列写个独立节点，列写KCL方程；方程； （3） 选定选定b(n1)个独立回路，列写个独立回路，列写KVL方程；方程； （4） 求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流。个支路电流。 清华大学电路原理教学组如何减少方程的数量？如何减少方程的数量？ 支路电流法需要支路电流法需要（b-n+1）个个KVL方程，方程，（n-1）个个KCL方程。方程。 如果能确定如果能确定(n1)个独立节点的电压，就可以确定电路中所个独立节点的电压，就可以确定电路中所有支路的电压、电流。有支路的电压、电流。以以(n1)个独立节点的电压为变量列写方程个独立节点的电压为变量列写方程方程个数？方程个数？方程形式？方程形式？n1KCL为什么不用列写为什么不用列写KVL方程？方程？选择参考节点，设所有其它选择参考节点，设所有其它节点的电压节点的电压为未知变量。为未知变量。 清华大学电路原理教学组由于由于电位的单值性电位的单值性，节点电压自动满足，节点电压自动满足KVL方程。方程。(UA- -UB)+UB- -UA=0UA- -UBUAUBABo任意选择参考点，任意选择参考点，节点电压节点电压就是节点与参考点的电就是节点与参考点的电压（降），也即是压（降），也即是节点电位节点电位，方向为（独立）节点，方向为（独立）节点指向参考节点。指向参考节点。以节点电压为变量的以节点电压为变量的 KVL自动满足自动满足只需列写只需列写以节点电压为变量的以节点电压为变量的KCL方程。方程。返回目录返回目录清华大学电路原理教学组节点电压法：节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析以节点电压为未知变量列写电路方程分析 电路的方法。电路的方法。 3.2 3.2 节点电压法（节点电压法（Node Voltage Method） 举例说明举例说明 （2） 列列KCL方程方程 iR出出= iS入入 i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3 -i3-i4+i5=-iS3 un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012 （1） 选定参考节点选定参考节点，标，标明其余明其余n-1个独立节点个独立节点 的电压。的电压。 （1）清华大学电路原理教学组将支路电流用节点电压表出将支路电流用节点电压表出 1n11Rui 2n12Rui 3n2n13Ruui- - 4n2n14Ruui- - 5n25Rui S3S2S14n2n13n2n12n11n1iiiRuuRuuRuRu-S35n24n2n13n2n1iRuRuuRuu- - - - - - -将支路电流表达式代入将支路电流表达式代入（1）式式 un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012清华大学电路原理教学组整理，得整理，得 S3S2S1n243n14321)11( )1111(iiiuRRuRRRR - - - - S32n543n143 )111()11(iuRRRuRR- - - -（3）求解上述方程得节点电压。）求解上述方程得节点电压。 （2）式（式（2）简记为简记为 G11un1+G12un2 = isn1 G21un1+G22un2 = isn2 标准形式的节点电压方程标准形式的节点电压方程 清华大学电路原理教学组G11=G1+G2+G3+G4 节点节点1的自电导的自电导，等于接在节点，等于接在节点1上所上所 有支路的电导之和。有支路的电导之和。 G22=G3+G4+G5 节点节点2的自电导的自电导，等于接在节点，等于接在节点2上所有上所有支路的电导之和。支路的电导之和。 G12= G21 =-( (G3+G4) 节点节点1与节点与节点2之间的互电导之间的互电导，等于，等于接在节点接在节点1与节点与节点2之间的所有支路的之间的所有支路的电导之和，电导之和，并冠以负号并冠以负号。 令令 Gk=1/Rk， k=1，2，3，4，5 un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012清华大学电路原理教学组iSn1 = iS1-iS2+iS3 流入节点流入节点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。 iSn2 = -iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。 * 电流源电流流入节点取正号，流出取负号。电流源电流流入节点取正号，流出取负号。 un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012清华大学电路原理教学组将上述结论将上述结论 推广到有推广到有n-1个独立节点的个独立节点的仅含电阻、电仅含电阻、电流源的电路流源的电路 G11un1+G12un2+G1nunn=iSn1 G21un1+G22un2+G2nunn=iSn2 Gn1un1+Gn2un2+Gnnunn=iSnn 其中其中 Gii 自电导自电导，等于接在节点，等于接在节点i上所有支路的电导之上所有支路的电导之 和，总为和，总为正正。 * 当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。 iSni 流入节点流入节点i的所有电流源电流的代数和。的所有电流源电流的代数和。 Gij = Gji 互电导互电导，等于接在节点，等于接在节点i与节点与节点j之间的所支之间的所支 路的电导之和，并冠以路的电导之和，并冠以负负号。号。 清华大学电路原理教学组节点法的一般步骤：节点法的一般步骤： （1） 选定参考节点，标定选定参考节点，标定n- -1个独立节点；个独立节点； （2） 对对n- -1个独立节点，以节点电压为未知量，列个独立节点，以节点电压为未知量，列写其写其KCL方程；方程； （3） 求解上述方程，得到求解上述方程，得到n- -1个节点电压；个节点电压； （4） 求各支路电流。求各支路电流。 清华大学电路原理教学组R111SRuun1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-可可 将该支路进行电源等效将该支路进行电源等效变换后，再列方程。变换后，再列方程。 记记Gk=1/Rk，得，得 (G1+G2+G3+G4)un1- -(G3+G4) un2 = G1 uS1 - -iS2+iS3 - -(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= - -iS3 等效电流源等效电流源 特殊情况特殊情况1：电路中含电路中含 电压源与电阻串联的支电压源与电阻串联的支 路路 清华大学电路原理教学组用节点法求各支路电流。用节点法求各支路电流。例例20k 10k 40k 20k 40k +120V- -240VUAUBI4I2I1I3I5120V240V+- -+- -20k 10k 40k 20k 40k UAUBI4I2I1I3I5清华大学电路原理教学组I1=(120- -UA)/20= 4.91mA I2= (UA- - UB)/10= 4.36mA I3=(UB +240)/40= 5.46mA I4= UA /40=0.546mA 各支路电流：各支路电流：解解 20120101)101401201(BA - - UU40240)401201101(101BA- - - -UUUA=21.8V UB=- -21.82V I5= UB /20=- -1.09mA 120V240V+- -+- -20k 10k 40k 20k 40k UAUBI4I2I1I3I5清华大学电路原理教学组例例 列写图示电路的节点电压方程。列写图示电路的节点电压方程。 方法方法1: 先假设电压源支路的电流为先假设电压源支路的电流为I，列方程如下：列方程如下： (G1+G2)U1- -G1U2+I =0 - -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2- -G4U3 =0 - -G4U2+(G4+G5)U3- -I =0 U1- -U3 = US G3G1G4G5G2+_US231I再增加一个节点电压与电压源间的关系：再增加一个节点电压与电压源间的关系： 特殊情况特殊情况2：两个独立节点之间连接有理想电压源两个独立节点之间连接有理想电压源清华大学电路原理教学组方法方法2： 选择合适的参考点（如图所示）选择合适的参考点（如图所示） G3G1G4G5G2+_US231U1= US - -G1U1+(G1+G3+G4)U2- - G3U3 =0 - -G2U1- -G3U2+(G2+G3+G5)U3=0 清华大学电路原理教学组（1）先）先把受控源当作独立源把受控源当作独立源看待，列方程：看待，列方程： 例例 列写下图含列写下图含VCCS电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。 S12n11n211)11(iuRuRR - - 1Sm2n311n12)11(1iuguRRuRR- - - - -解解 iS1R1R3R2gmuR2+ uR2_n1un2u特殊情况特殊情况3：电路中含有受控电流源电路中含有受控电流源清华大学电路原理教学组（2） 用节点电压表示控制量。用节点电压表示控制量。 S12n11n211)11(iuRuRR - - 1S2n311nm1)11()1(iuRRugR- - - - -uR2= un1整理整理思考：当电路中含有受控电压源时该如何列思考：当电路中含有受控电压源时该如何列 写节点电压方程？写节点电压方程？返回目录返回目录清华大学电路原理教学组3.3 3.3 回路电流法（回路电流法（Loop Current Method） 基本思想基本思想: 以假想的回路电流为未知量列写回路的以假想的回路电流为未知量列写回路的KVL方方程。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性程。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性组合表组合表 示。示。 回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流 进一次，流出一次，所以进一次，流出一次，所以KCL自动满足自动满足。若以回路电流为未。若以回路电流为未 知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。方程。 il1il2 选图示的两个独立回路，选图示的两个独立回路， 设回路电流分别为设回路电流分别为il1、 il2。 支路电流可由回路电流表出支路电流可由回路电流表出 i1= il1 i2= il2- - il1 i3= il2 I1I3US1US2R1R2R3ba+I2清华大学电路原理教学组回路回路1 R1 il1+ +R2(il1- - il2)- -uS1+uS2=0 回路回路2 R2(il2- - il1)+ R3 il2 - -uS2=0 整理得整理得 (R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2 - - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 回路法的一般步骤：回路法的一般步骤： （1）选定）选定l=b- -n+ +1个独立回个独立回 路，路， 标明各回路电流及方向。标明各回路电流及方向。 （2）对）对l个独立回路，以个独立回路，以 回路电流为未知量，列写回路电流为未知量，列写KVL 方程；方程； （3）解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路）解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。电压、电流。 il1il2I1I3US1US2R1R2R3ba+I2清华大学电路原理教学组自电阻自电阻 总为正总为正 令令R11=R1+R2 回路回路1 1的自电阻。的自电阻。 等于回路等于回路1 1中所有电阻之和。中所有电阻之和。 令令R22=R2+R3 回路回路2的自电阻。的自电阻。 等于回路等于回路2中所有电阻之和。中所有电阻之和。 令令R12= R21= R2 回路回路1、2间互电阻。间互电阻。 是回路是回路1、回路、回路2之间公共支路的电阻。之间公共支路的电阻。 当两个回路电流流过公共支路方向当两个回路电流流过公共支路方向 相同时，互电阻取正号；否则为负号。相同时，互电阻取正号；否则为负号。 ul1= uS1-uS2 回路回路1中所有电压源电压升的代数和。中所有电压源电压升的代数和。 ul2= uS2 回路回路2中所有电压源电压升的代数和。中所有电压源电压升的代数和。 当电压源电压升高方向与该回路电流方向一致时，取当电压源电压升高方向与该回路电流方向一致时，取正正号；反之取号；反之取负负号。号。 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 il1il2I1I3US1US2R1R2R3ba+I2清华大学电路原理教学组推广到有推广到有 l 个回路个回路仅含电阻、独立电仅含电阻、独立电压源的电路压源的电路其中其中 Rjk: 第第j个回路和个回路和 第第k个回路的个回路的 互电阻互电阻 + + : 流过互阻的两个回路电流方向相同流过互阻的两个回路电流方向相同 - - : 流过互阻的两个回路电流方向相反流过互阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关无关 R11il1+R12il2+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il2+ +R2l ill=uSl2 Rl1il1+Rl2il2+ +Rll ill=uSll Rkk: 第第k个回路的自电阻个回路的自电阻(为正为正) ，k =1 , 2 , , l uSlk: 第第k个回路中所有电压源电压升的代数和。个回路中所有电压源电压升的代数和。 清华大学电路原理教学组回路法的一般步骤：回路法的一般步骤： (1) 选定选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向；个独立回路，标明回路电流及方向； (2) 对对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写个独立回路，以回路电流为未知量，列写 其其KVL方程；方程； (3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流； (4) 求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)； 对平面电路（对平面电路（planar circuit），若以网孔为独立回），若以网孔为独立回 路，路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称 为网为网孔电流法。孔电流法。 网孔电流法（网孔电流法（mesh current method） 清华大学电路原理教学组例例 用回路法求各支路电流。用回路法求各支路电流。 解解 （1） 设独立回路电流（顺时针）设独立回路电流（顺时针） （2） 列列 KVL 方程方程 (R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2 -R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4 对称阵，且对称阵，且 互电阻为负互电阻为负 （3） 求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic （4） 求各支路电流：求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic IaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4清华大学电路原理教学组方法方法1： (R1+R2)I1- -R2I2=US1+US2+Ui - -R2I1+(R2+R4+R5)I2- -R4I3=- -US2 - -R4I2+(R3+R4)I3=- -Ui IS=I1- -I3 I1I2I3_+Ui例例 列写含有理想电流源支路列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。的电路的回路电流方程。 _+_US1US2R1R2R5R3R4IS+* 引入电流源的端电压变量引入电流源的端电压变量Ui列回路的列回路的KVL方程方程 * 增加回路电流和电流源电流的关系方程增加回路电流和电流源电流的关系方程 特殊情况特殊情况1：电路中含有独立电流源支路电路中含有独立电流源支路 清华大学电路原理教学组方法方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路属于一个回路, 则该回路电流即为则该回路电流即为 IS 。 I1=IS - -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=- -US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1 I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+I3（1) ) 将将VCVS看作独立源建立方程；看作独立源建立方程； （2) ) 找出控制量和回路电流关系。找出控制量和回路电流关系。 4Ia- -3Ib=2 - -3Ia+6Ib- -Ic=- -3U2 - -Ib+3Ic=3U2 U2=3(Ib- -Ia)例例用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。 +_2V- -3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc设回路电流设回路电流Ia、 Ib和和 IC，参考方向如图所示。，参考方向如图所示。 特殊情况特殊情况2：电路中含有受控电压源电路中含有受控电压源 清华大学电路原理教学组4Ia - -3Ib = 2 - -12Ia+15Ib- -Ic = 0 9Ia - -10Ib+3Ic= 0 Ia=1.19A Ib=0.92A Ic=- -0.51A 将将代入代入，得，得 各支路电流为：各支路电流为： I1= Ia=1.19A 解得解得 * 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。 , I2= Ia- - Ib=0.27A , I3= Ib=0.92A I4= Ib- - Ic=1.43A , I5= Ic= - -0.52A 思考：当电路中含有受控电流源时该如何列思考：当电路中含有受控电流源时该如何列 写回路电流方程？写回路电流方程？清华大学电路原理教学组支路法、回路法、节点法的比较支路法、回路法、节点法的比较 （2） 对于非平面电路，选独立回路不容易，选独立节点对于非平面电路，选独立回路不容易，选独立节点较容易。较容易。 （3） 回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络（电网络，集成电路设计等）采用节点法较多。络（电网络，集成电路设计等）采用节点法较多。 支路法支路法回路法回路法节点法节点法KCL方程方程 KVL方程方程 n- -1 b- -n+ +1 0 0 n- -1 方程总数方程总数 b- -n+ +1 n- -1 b- -n+ +1 b （1） 方程数的比较方程数的比较 返回目录返回目录清华大学电路原理教学组叠加定理：叠加定理： 在在线性电路线性电路中，任一支路电流（或电压）都是电路中，任一支路电流（或电压）都是电路 中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流（或中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流（或 电压）的代数和。电压）的代数和。 3.4 3.4 叠加定理（叠加定理（Superposition Theorem） 单独作用：一个电源作用，其余电源不作用单独作用：一个电源作用，其余电源不作用 不作用不作用的的 电压源电压源（uS=0) 短路短路 电流源电流源 (iS=0) 开路开路 清华大学电路原理教学组举例证明定理举例证明定理 ibiaR2+R3+R1+uS1uS2uS3i1i1 = i11 + i12 + i13证明证明 ib2ia2R2+R3R1uS2i12ib3ia3R2R3+R1uS3i13ib1ia1R2R3R1+uS1i11uS1单独作用单独作用 uS2单独作用单独作用 uS3单独作用单独作用 清华大学电路原理教学组R11ia+R12ib=uS11R21ia+R22ib=uS22其中其中R11=R1+R2R12= R21= - -R2R22=R2+R3 uS11=uS1- -uS2uS22=uS2- -uS3S1112S22222212aS11S2211122122 uRuRRRiuuRRRR- -1112212211221221RRRRR RR R -22122212S1S2S3RRRRuuu -uS1- -uS2 uS2- -uS3 由回路法由回路法ibiaR2+R3+R1+uS1uS2uS3i1R11ia1+R12ib1=uS1R21ia1+R22ib1=0R11ia2+R12ib2=-uS2R21ia2+R22ib2=uS2R11ia3+R12ib3=0R21ia3+R22ib3=-uS3S11222a11112212222S10 uRRiRRRRRu S212S222a2111221222212S2S21222S2() uRuRiRRRRRRuuRRu - - - - - -12S322a31112212212S312S30() RuRiRRRRRuRu - - - - ib2ia2R2+R3R1uS2i12ib3ia3R2R3+R1uS3i13ib1ia1R2R3R1+uS1i11清华大学电路原理教学组22122212S1S2S3RRRRuuu -S1112S22222212aS11S2211122122 uRuRRRiuuRRRR- -ia = ia1 + ia2 + ia3证得证得 即回路电流满足叠加定理即回路电流满足叠加定理 。 S11222a11112212222S10 uRRiRRRRRu S212S222a2111221222212S2S21222S2() uRuRiRRRRRRuuRRu - - - - - -12S322a31112212212S312S30() RuRiRRRRRuRu - - - - 清华大学电路原理教学组推广到有推广到有 l 个回路的电路个回路的电路 11S1111S1SljjjjlllllljRuRRuRRuRi 第第j列列12S11S22SSjjjjljjjlluuuu第第 j 个回路的回路电流个回路的回路电流 llllljljljjljljjjjlljjuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiRS11S1111S11111 清华大学电路原理教学组同样同样可以证明可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压：线性电阻电路中任意支路的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压的代数和。的代数和。12S11S22SjjSjjjjljlluuuuuS1 uSb把把 uSi 的系数合并为的系数合并为GjiiijijuGiSb1 b21jjijjiiii 支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。第第i个电压源单独作用时在个电压源单独作用时在第第j 个回路中产生的回路电流个回路中产生的回路电流清华大学电路原理教学组例例1 用叠加定理求图中电压用叠加定理求图中电压u。 +10V4A6 +4 u解解(1) 10V电压源单独作用，电压源单独作用， 4A电流源开路电流源开路4A6 +4 u u =4V (2) 4A电流源单独作用，电流源单独作用， 10V电压源短路电压源短路u = - -4 2.4= - -9.6V 共同作用：共同作用：u=u +u = 4+(- - 9.6)= - - 5.6V +10V6 +4 u清华大学电路原理教学组(1) 10V电压源单独作用：电压源单独作用：(2) 4A电流源单独作用：电流源单独作用：解解例例2用叠加定理求电压用叠加定理求电压US 。+10V6 I14A+US+10 I14 10V+6 I1+10 I14 +US+U16 I1 4A+US +10 I1 4 +U1 US = - -10 I1+U1US = - -10I1 +U1 清华大学电路原理教学组US = - -10 I1 +U1 = - -10 I1 +4I1 = - -10 1+4 1= - -6V US = - -10I1 +U1 = - -10 (- -1.6)+9.6=25.6V共同作用：共同作用：US= US+US = - -6+25.6=19.6V A146101 IA6 . 146441- - - - IV6 . 9464641 U10V+6 I1+10 I14 +US6 I1 4A+US +10 I1 4 清华大学电路原理教学组1. 叠加定理只叠加定理只适用于适用于线性电路线性电路求电压求电压和和电流电流； 不能用叠加定理求功率不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数功率为电源的二次函数)。 不适用于非线性电路。不适用于非线性电路。2. 应用时电路的结构参数必须应用时电路的结构参数必须前后一致前后一致。应用叠加定理时注意以下几点：应用叠加定理时注意以下几点：5. 叠加时注意叠加时注意参考方向参考方向下求下求代数和代数和。3. 不作用的电压源不作用的电压源短路短路；不作用的电流源；不作用的电流源开路。开路。4. 含受控源含受控源(线性线性)电路亦可用叠加，电路亦可用叠加，受控源受控源应始终应始终保留保留。清华大学电路原理教学组齐性原理（齐性原理（homogeneity property) 当电路中只有一个激励当电路中只有一个激励(独立源独立源)时，则响应时，则响应(电压或电流电压或电流)与激励成正比。与激励成正比。RuSrRkuSkr已知：如图。已知：如图。求：电压求：电压 UL。 例例3R1R3R5R2RL+ +USR4+ +UL清华大学电路原理教学组解解设设 IL = 1A法二：分压、分流。法二：分压、分流。法三：电源变换。法三：电源变换。法四：用齐性原理（单位电流法）法四：用齐性原理（单位电流法）例例3R1R3R5R2RL+ +USR4+ +ULILU +- -U K = US/ U UL= K RLIL= K A法一：节点法、回路法。法一：节点法、回路法。可加性可加性 (additivity property)线性电路中，线性电路中，所有所有激励都增大激励都增大(或减小或减小)同样的倍数，同样的倍数，则电路中响应也增大则电路中响应也增大(或减小或减小)同样的倍数。同样的倍数。RuS1r1RuS2r2Rk1 uS1k1 r1Rk2 uS2k2 r2uS1uS2rRk uS1k uS2k rR线性线性例例4例例5例例6r1+ r2uS1uS2Rk2 uS2k1 r1+ k2 r2Rk1 uS1返回目录返回目录清华大学电路原理教学组3.5 3.5 替代定理（替代定理（Substitution Theorem） 任意一个线性电路，其中第任意一个线性电路，其中第k k条支路的电压已知为条支路的电压已知为uk（电流为（电流为ik），那么就可以用一个电压等于），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压的理想电压源（电流等于源（电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。电路中各处电压和电流均保持不变。 替代定理替代定理 Aik+uk支支路路 k A+ukikA清华大学电路原理教学组证明证明:ukukAik+uk支支路路 k+ACBAik+uk支支路路 kABAC等电位等电位+ukAik+ukAB清华大学电路原理教学组例例 已知如图。现欲使负载电阻已知如图。现欲使负载电阻RL的电流为电源支路电流的电流为电源支路电流I的的1/6， 求此电阻值。求此电阻值。4 +- -USRRLII/64 8 方法一：方法一：II/64 4 8 替代替代RLRL=9 RLII/61 2 2 L263IIR 清华大学电路原理教学组替代替代方法二：方法二：LL1.59/6/6RUIRII叠加叠加+LLL4 1241.526412RRRIIUUUI - II/64 4 8 +- -LRUI4 4 8 +- -LRUI/64 4 8 +- -LRU清华大学电路原理教学组注意：注意： 3. 未被替代支路的相互连接及参数不能改变。未被替代支路的相互连接及参数不能改变。 1. 替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。原电路和替代后的电路必须有唯一解。2. 替代定理的应用必须满足的条件替代定理的应用必须满足的条件:返回目录返回目录清华大学电路原理教学组1. 几个名词几个名词 (1) 端口（端口（ port ） 端口指电路引出的一对端钮，其中端口指电路引出的一对端钮，其中 从一个端钮（如从一个端钮（如a a）流入的电流一定等）流入的电流一定等 于从另一端钮（如于从另一端钮（如b b）流出的电流。）流出的电流。 Aabii(2) 一端口网络一端口网络 （network） 网络与外部电路只有一对端钮（或一个端口）联接。网络与外部电路只有一对端钮（或一个端口）联接。 3.6 3.6 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理 （Thevenin-Norton Theorem） 清华大学电路原理教学组2. 戴维南定理戴维南定理 任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源（一端口，对外电路来说，可以用一个电压源（Uoc） 和电和电阻阻Ri的串联组合来等效替代；此电压源的电压等于外电的串联组合来等效替代；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压，而电阻等于一端口中全部路断开时端口处的开路电压，而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻。独立电源置零后的端口等效电阻。 Aabiu+iabRiUoc+- -u+abPi+u证明：证明： （对（对a） 利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u、i值不变。计算值不变。计算 u 值。（用叠加定理）值。（用叠加定理） =+根据叠加定理，可得根据叠加定理，可得 电流源电流源i为零为零 网络网络A中独立源全部置零中独立源全部置零 (a)abAi+uN (b)iUoc+uN ab+RiabA+uRiu = Uoc （外电路开路时（外电路开路时a 、b间开路电压）间开路电压） u = - Ri i 则则 u = u + u = Uoc - Ri i 此关系式恰与图（此关系式恰与图（b）电路相同。）电路相同。 abAi+u清华大学电路原理教学组小结：小结： （1）戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时 的开路电压的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向相同。电压源方向与所求开路电压方向相同。 （2）串联电阻为将一端口内部独立电源全部置零（电压串联电阻为将一端口内部独立电源全部置零（电压 源短路，电流源开路）后，所得一端口网络的等效电阻。源短路，电流源开路）后，所得一端口网络的等效电阻。 等效电阻的计算方法：等效电阻的计算方法： a. 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法 计算；计算； b. 端口加电压求电流法或加电流求电压法（内部独立电端口加电压求电流法或加电流求电压法（内部独立电 源置零）。源置零）。 c. 等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比（内部等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比（内部 独立电源保留）独立电源保留） 。 （3） 当一端口内部含有受控源时，控制支路与受控源当一端口内部含有受控源时，控制支路与受控源 支路必须包含在被等效变换的同一部分电路中。支路必须包含在被等效变换的同一部分电路中。 清华大学电路原理教学组解解 保留保留Rx支路，将其余一端口化为戴维南等效电路：支路，将其余一端口化为戴维南等效电路： ab+10V4 6 6 4 IRxRxIabUoc+Ri例例1 IRxab+10V4 6 6 4 （1） 计算计算Rx分别为分别为1.2 、5.2 时的时的 电流电流I；（2） Rx为何值时，其上获最大功率为何值时，其上获最大功率?电路如图所示电路如图所示清华大学电路原理教学组（1）求开路电压）求开路电压 Uoc = U1 + U2 = -10 4/(4+6)+10 6/(4+6) = -4+6=2V ab+10V4 6 6 +U24 +U1+- -Uoc（2） 求等效电阻求等效电阻Ri Ri=4/6+6/4=4.8 (3) Rx =1.2 时，时， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A Rx =5.2 时，时， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.2A Rx = Ri =4.8 时，其上获最大功率。时，其上获最大功率。 IabUoc+RxRiRiab4 6 6 4 清华大学电路原理教学组含受控源电路戴维南定理的应用含受控源电路戴维南定理的应用 电路如图所示，求电压电路如图所示，求电压UR 。 3 3 6 I+9V+URab+6I例例2 abUoc+Ri3 UR-+解解 （1） 求开路电压求开路电压Uoc。 Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V 3 6 I+9V+Uocab+6I清华大学电路原理教学组（2） 求等效电阻求等效电阻Ri 方法方法1 端口加压求流（内部独立电压源短路）端口加压求流（内部独立电压源短路） U0=6I+3I=9I I=I0 6/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9 (2/3)I0=6I0 Ri = U0 /I0=6 3 6 I+U0ab+6II0方法方法2 开路电压、短路电流开路电压、短路电流 （Uoc=9V） 6 I1 +3I=9 I=-6I/3=-2I I=0 Isc=I1=9/6=1.5A Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6 3 6 I+9VIscab+6II1清华大学电路原理教学组（3） 等效电路等效电路 abUoc+Ri3 UR-+6 9VV39363 RU3 3 6 I+9V+URab+6I3 2 +3V+URab+6I下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。 控制量呢？控制量呢？清华大学电路原理教学组任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端 口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻（电导）口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻（电导） 的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的 短路电流，而电阻（电导）等于把该一端口的全部独立短路电流，而电阻（电导）等于把该一端口的全部独立 电源置零后的输入电阻（电导）电源置零后的输入电阻（电导） 。 3. 诺顿定理诺顿定理 诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效 变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。 证明过程从略。证明过程从略。 AababRiIsc清华大学电路原理教学组例例 电路如图所示，求电流电路如图所示，求电流I 。 12V2 10 +24Vab4 I+4 IabRiIsc（1）求端口的短路电流）求端口的短路电流Isc。 I1=12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A 解解 2 10 +24VabIsc+I1I212Vab端口端口诺顿等效诺顿等效清华大学电路原理教学组（2） 求求Ri：电压源短路，用电阻串并联。：电压源短路，用电阻串并联。 Ri =10 2/(10+2)=1.67 （3） 诺顿等效电路诺顿等效电路: I = - Isc 1.67/(4+1.67) =9.6 1.67/5.67 =2.83A Ri2 10 abab4 I1.67 -9.6A返回目录返回目录清华大学电路原理教学组3.7 3.7 特勒根定理（特勒根定理（Tellegens Theorem） 1.1.具有相同拓扑结构的电路具有相同拓扑结构的电路 两个电路，支路数和节点数都相同，而且对应支路两个电路，支路数和节点数都相同，而且对应支路 与节点的联接关系也相同。与节点的联接关系也相同。 NR5R4R1R3R2R6+us11234NR5R4R1R3R6us6is2+1243清华大学电路原理教学组4651234231NR5R4R1R3R2R6+us11234NR5R4R1R3R6us6is2+12434651234231清华大学电路原理教学组66554433221161)(iuiuiuiuiuiuiukkk 632542421343231114)()()()()()(iuuiuuiuuiuuiuuiuunnnnnnnnnnnn- - - - - - - - - - - - )()()()(5314632365424211iiiuiiiuiiiuiiiunnnn- - - - - - - - - - - 0 解解 NN例例 61)(kkkiu求求46512342314651234231清华大学电路原理教学组2. 特勒根定理特勒根定理 )( 0 0 ,)()()()( 11似似功功率率守守衡衡关关系系和和即即的的乘乘积积之之和和为为零零中中的的电电流流中中对对应应的的支支路路与与电电路路压压支支路路中中的的每每一一支支路路的的电电的的所所有有。电电路路和和的的电电路路两两个个具具有有相相同同拓拓扑扑结结构构 bkkkbkkkkkkkiuiuiiNNuuNNNN注意注意（1）对应支路取相同的参考方向。）对应支路取相同的参考方向。 （ 2）各支路电压、电流均取关联的参考方向。）各支路电压、电流均取关联的参考方向。清华大学电路原理教学组 + ukik证明：证明： + kiku iuuiunnkk)(- - iuiunn- - iuiunn 其中：其中： iiiuuuknnk , - - - - + ukik + ki ku mimu mimu 若节点若节点 接有另一支路接有另一支路m，同理可得：同理可得： iuiuiuuiunnnnmm)( - - iuiuiuuiunnnnkk)( - - )(1 bkkkiu对节点对节点 可得：可得： 0)( iiun对其它节点，有同样的对其它节点，有同样的 结果，故：结果，故： 0)(1 bkkkiu同理可证：同理可证： 0)(1 bkkkiu清华大学电路原理教学组3. 功率守衡定理功率守衡定理 在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时 功率的代数和为零，即功率的代数和为零，即 此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。 将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、电压即可将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。证得上述关系。）则则为为同同一一电电路路（亦亦可可视视为为 , , ,kkkkiiuuNN 清华大学电路原理教学组解解 由特勒根定理由特勒根定理 0 )(0)(32S113221S - - - - bkkkbkkkIUIUIUIUIUIU112IU I2P+US+U2I1P+2 1 US U1 I2 I例例1 1 图示两个电路中方框内为同一电阻网络。图示两个电路中方框内为同一电阻网络。 已知：已知：US=10V， I1=5A，I2=1A ， 。V102 U。求求 :1U清华大学电路原理教学组V11 U )()(022S1121SIUIUIUU - - - - 110)5(021011 - - UU 3333 bkkkbkkkbkkkkbkkkIUUIIRIIU方框内为同一网络方框内为同一网络 2S11221S)()( IUIUIUIU - - - - 得得清华大学电路原理教学组例例2 已知图中：已知图中： （1）当）当R1=R2=2 , US=8V时，时， I1=2A，U2 =2V。 （2）当）当R1=1.4 ，R2=0.8 ，US =9V ，I1 =3A。 求求U2。 无源无源电阻电阻网络网络 P +U1+USR1I1I2+U2R2清华大学电路原理教学组解解 根据特勒根定理根据特勒根定理 由（由（1）得：）得：U1=4V， I1=2A， U2=2V， U2/R2=1A 222211(5/4)/ A,3 V,8 . 4 :2URUIIU ）得）得由（由（ )()(22112211IUIUIUIU - - - -V6 . 15 . 1/4 . 2 128 . 425. 1234222 - - - -UUU 0)(0)(3221132211 - - - - kbkkbkIUIUIUIUIUIU 33 bkkkbkkkIUIU返回目录返回目录清华大学电路原理教学组3.8 3.8 互易定理（互易定理（Reciprocity Theorem） 第一种形式第一种形式: 激励（激励（excitation）为电压源，响应（）为电压源，响应（response）为电流。）为电流。 给定任一仅由线性电阻构成的网络（见下图），设支路给定任一仅由线性电阻构成的网络（见下图），设支路 j中有电压源中有电压源uj ，其在支路，其在支路k中产生的电流为中产生的电流为ikj（图（图a）；）； 若若支路支路k中有电压源中有电压源uk ，其在支路，其在支路j中产生的电流为中产生的电流为ijk （图（图b）。）。 cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)清华大学电路原理教学组当当 uk = uj 时，时，ikj = ijk 。 则两个支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电流有如下关系： jkjkjkkjkjkjiuiuuiui 或或cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)清华大学电路原理教学组 设设a-b支路为支路支路为支路1，c-d支路为支路支路为支路2，其余支路为，其余支路为3b。图。图 （a）与图（）与图（b）有相同拓扑特征，（）有相同拓扑特征，（a）中用）中用uk 、ik表示支路电表示支路电 压和电流，（压和电流，（b）中用）中用 支路电压和电流（支路电压支路电压和电流（支路电压/电流均取为关联电流均取为关联 方向）。方向）。 表表示示kkiu ,证明：证明： 由特勒根定理：由特勒根定理： 0 011 kbkkbkkkiuiu和和cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)清华大学电路原理教学组 0 32211322111 bkkkkbkkkbkkkiiRiuiui