时序列经济学模型

统 计 建 模 (4)-时间序列的经济学模型随机时间序列的计量经济学模型随机时间序列的计量经济学模型 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型 协整分析与误差修正模型协整分析与误差修正模型9.1 9.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验一、一、问题的引出：问题的引出：非平稳变量与经典回归模型非平稳变量与经典回归模型二、二、时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性三、三、平稳性的图示判断平稳性的图示判断四、四、平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验五、五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳随机过程一、问题的引出：非平稳变量与经典一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型回归模型常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： 时间序列数据时间序列数据（time-series data) 截面数据截面数据(cross-sectional data) 平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data) 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析经典回归分析暗含暗含着一个重要着一个重要假设假设：数据是数据是平稳的。平稳的。 数据非平稳数据非平稳，大样本下的统计推断基础，大样本下的统计推断基础“一致性一致性”要求要求被破怀。被破怀。 经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X是非是非随机变量随机变量nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收敛：依概率收敛： (2) 放宽该假设：放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关 Cov(X, )=0 第（第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性一致性”特性：特性：)(limnP第（第（1）条是）条是OLS估计的需要估计的需要nxnuxxuxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2如果如果X是非平稳数据是非平稳数据（如表现出向上的趋势），（如表现出向上的趋势），则（则（2）不成立，回归估计量不满足）不成立，回归估计量不满足“一致性一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。因此因此：注意：注意：在双变量模型中：在双变量模型中： 表现在表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性却有很高的相关性（有较高的（有较高的R2)。例如：例如：如果如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。进行回归也可表现出较高的可决系数。 数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回虚假回归归”问题问题 在现实经济生活中，在现实经济生活中，实际的时间序列数据实际的时间序列数据往往是非平稳的往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。一般不会得到有意义的结果。 时间序列分析模型方法时间序列分析模型方法就是在这样的情况就是在这样的情况下，下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论线而发展起来的全新的计量经济学方法论。 时间序列分析时间序列分析已组成现代计量经济学的重已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性定义：定义： 假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列）生成的，即假定时间序列Xt（t=1, 2, ）的每一个数值都是从一个概率）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：分布中随机得到，如果满足下列条件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是与时间是与时间t 无关的常数；无关的常数； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是与时间是与时间t 无关的常数；无关的常数； 3）协方差）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有有关，与时间关，与时间t 无关的常数；无关的常数； 则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的平稳的（stationary)，而该随机过程是一而该随机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（stationary stochastic process）。）。 例例9.1.1一个最简单的随机时间序列是一具一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：有零均值同方差的独立分布序列： E(Xt)= t ， tN(0, 2)该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise）。 由于由于XtXt具有相同的均值与方差，且协方差具有相同的均值与方差，且协方差为零为零, ,由定义由定义, ,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。 例例9.1.2另一个简单的随机时间列序被称为另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（随机游走（random walk），该序列由如下随机该序列由如下随机过程生成：过程生成： X t=Xt-1+ t 这里，这里， t是一个白噪声。是一个白噪声。 容易知道该序列有相同的容易知道该序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为的初值为X0，则易知，则易知: X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+ +1+2+ +t 由于由于X X0 0为常数，为常数， t t是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此: : Var(Xt)=tVar(Xt)=t 2 2即即Xt的方差与时间的方差与时间t t有关而非常数，它是一非平稳有关而非常数，它是一非平稳序列。序列。 然而，对然而，对X X取取一阶差分一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于由于 t t是一个白噪声，则序列是一个白噪声，则序列Xt是平稳的。是平稳的。 后面将会看到后面将会看到: :如果一个时间序列是非平稳如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列列。 事实上，事实上，随机游走过程随机游走过程是下面我们称之为是下面我们称之为1阶阶自回归自回归AR(1)过程过程的特例的特例: Xt= Xt-1+t 不难验证不难验证:1)| |1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升表现为持续上升( 1)或持续下降或持续下降( -1)，因此，因此是非平稳的；是非平稳的； 2) =1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。9.2中将证明中将证明:只有当只有当-1-1 10，样本自相关系数近似，样本自相关系数近似地服从以地服从以0为均值，为均值，1/n 为方差的正态分布，其为方差的正态分布，其中中n为样本数。为样本数。 也可检验对所有也可检验对所有k0，自相关系数都为，自相关系数都为0的联的联合假设，这可通过如下合假设，这可通过如下QLB统计量进行：统计量进行：mkkLBknrnnQ12)2( 该统计量近似地服从自由度为该统计量近似地服从自由度为m m的的 2 2分布分布（m m为滞后长度）。为滞后长度）。 因此因此:如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平为值大于显著性水平为 的临界值，则有的临界值，则有1-1- 的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k k(k0)(k0)同同时为时为0 0的假设。的假设。 例例9.1.3:9.1.3: 表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通过一是通过一随机过程（随机函数）生成的有随机过程（随机函数）生成的有1919个样本的随个样本的随机时间序列。机时间序列。 表表 9 9. .1 1. .1 1 一一个个纯纯随随机机序序列列与与随随机机游游走走序序列列的的检检验验 序号 Random1 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易验证：该样本序列的均值为该样本序列的均值为0 0，方差为，方差为0.07890.0789。 从图形看：它在其样本均值它在其样本均值0 0附近上下波动，附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到且样本自相关系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近附近波动且逐渐收敛于波动且逐渐收敛于0 0。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC 由于该序列由一随机过程生成，可以认为不由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。该序列为一白噪声。 根据根据BartlettBartlett的理论：的理论： k kN(0,1/19)0,1/19)，因因此任一此任一r rk k(k0)(k0)的的95%95%的置信区间都将是的置信区间都将是: :4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ 可以看出可以看出:k0时，时，rk的值确实落在了该区间内，的值确实落在了该区间内，因此可以接受因此可以接受 k(k0)为为0的假设的假设。 同样地同样地，从从QLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后17期期的计算值为的计算值为26.38，未超过，未超过5%显著性水平的临显著性水平的临界值界值27.58，因此，因此,可以接受所有的自相关系数可以接受所有的自相关系数 k(k0)都为都为0的假设。的假设。 因此因此，该随机过程是一个平稳过程。该随机过程是一个平稳过程。 序列序列Random2Random2是由一随机游走过程是由一随机游走过程 X Xt t=X=Xt-1t-1+ + t t生成的一随机游走时间序列样本。其中，第生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0 0项项取值为取值为0 0， t t是由是由Random1Random1表示的白噪声。表示的白噪声。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 图形表示出：图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数缓慢下降到本自相关图看，虽然自相关系数缓慢下降到0，但随着时间的推移，则在但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋附近波动且呈发散趋势。势。 样本自相关系数显示样本自相关系数显示：r r1 1=0.48=0.48，落在了区间，落在了区间-0.4497, 0.4497-0.4497, 0.4497之外，因此在之外，因此在5%5%的显著性水的显著性水平上拒绝平上拒绝 1 1的真值为的真值为0 0的假设。的假设。 该随机游走序列是非平稳的。该随机游走序列是非平稳的。例例9.1.4 检验中国支出法检验中国支出法GDP时间序列的平稳性时间序列的平稳性。 表表9.1.2 19782000年中国支出法年中国支出法GDP（单位：亿元）（单位：亿元） 图图9 9. .1 1. .5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0年年中中国国G GD DP P时时间间序序列列及及其其样样本本自自相相关关图图 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810 12 14 16 18 20 22GDPACF02000040000600008000010000078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00GDP 图形：表现出了一个持续上升的过程图形：表现出了一个持续上升的过程，可初，可初步判断步判断是非平稳是非平稳的。的。 样本自相关系数：缓慢下降样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的，再次表明它的非平稳非平稳性。性。 从滞后从滞后18期的期的QLB统计量看统计量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒绝拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后期之后的值全部为的值全部为0的假设。的假设。 结论结论:19782000年间中国年间中国GDP时间序列是非平稳序列。时间序列是非平稳序列。例例9.1.59.1.5 检验检验2.102.10中关于人均居民消费与人均中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。国内生产总值这两时间序列的平稳性。 图图 9.1.6 19811996中中国国居居民民人人均均消消费费与与人人均均 GDP 时时间间序序列列及及其其样样本本自自相相关关图图 01000200030004000500060008284868890929496GDPPCCPC-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.212345678910 11 12 13 14 15GDPPCCPC 原图 样本自相关图 从图形上看：从图形上看：人均居民消费（人均居民消费（CPCCPC）与人均国）与人均国内生产总值（内生产总值（GDPPCGDPPC）是非平稳的是非平稳的。 从滞后从滞后1414期的期的QLB统计量看：统计量看：CPCCPC与与GDPPCGDPPC序列的序列的统计量计算值均为统计量计算值均为57.1857.18，超过了显著性水平为，超过了显著性水平为5%5%时的临界值时的临界值23.6823.68。再次。再次表明它们的非平稳性。表明它们的非平稳性。 就此来说，运用传统的回归方法建立它们的就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。回归方程是无实际意义的。 不过，不过，9.39.3中将看到，如果两个非平稳时中将看到，如果两个非平稳时间序列是协整的，则传统的回归结果却是有间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是协整的。意义的，而这两时间序列恰是协整的。 四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验 （unit root test） 1 1、DFDF检验检验 随机游走序列随机游走序列: Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成是随机模型: Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。 （* *）式可变形成差分形式：）式可变形成差分形式： Xt=(-1)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)检验（检验（*）式是否存在单位根）式是否存在单位根 =1，也可通过（，也可通过（*）式判断是否有式判断是否有 =0。对式：对式： Xt=Xt-1+t （*） 进行回归，如果确实发现进行回归，如果确实发现 =1，就说随机变量，就说随机变量Xt有一个有一个单位根单位根。一般地一般地: : 检验一个时间序列检验一个时间序列X Xt t的平稳性，可通过检验的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型：带有截距项的一阶自回归模型： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的参数中的参数 是否小于是否小于1 1。 或者：或者：检验其等价形式：检验其等价形式： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* * *）中的参数中的参数 是否小于是否小于0 0 。 在第二节中将证明，（在第二节中将证明，（*）式中的参数）式中的参数 1或或 =1时，时间序列是非平稳的时，时间序列是非平稳的;对应于（对应于（*）式，则是）式，则是 0或或 =0。 因此，针对式：因此，针对式： Xt= + Xt-1+ t 我们关心的检验为我们关心的检验为：零假设零假设 H0： =0。 备择假设备择假设 H1： 0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。 然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。检验无法使用。 Dicky和和Fuller于于1976年提出了这一情形下年提出了这一情形下t统计量服从统计量服从的分布（这时的的分布（这时的t统计量称为统计量称为 统计量统计量），即即DF分布分布（见（见表表9.1.3）。）。 首先首先,用用OLS法估计法估计（*）式）式,并计算并计算t统计量统计量,与与DF分布表分布表中给定显著性水平下的临界值比较中给定显著性水平下的临界值比较,如果如果t统计量的值小于统计量的值小于临界值临界值,这意味着这意味着 足够小足够小,拒绝原假设拒绝原假设,认为时间序列不存认为时间序列不存在单位根在单位根,是平稳的是平稳的. 因此，可通过因此，可通过OLS法估计：法估计： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 并计算并计算t统计量的值，与统计量的值，与DF分布表中给定显著性分布表中给定显著性水平下的临界值比较：水平下的临界值比较：表表 9.1.3 DF 分分布布临临界界值值表表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 问题的提出：问题的提出： 在利用在利用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t对时间序列进行平稳性对时间序列进行平稳性检验中检验中，实际上实际上假定了时间序列是由具有白噪声随假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。 但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关自相关（autocorrelation），导致导致DF检验无效。检验无效。 2 2、ADFADF检验检验 另外另外，如果时间序列包含有明显的随时如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的容易导致上述检验中的自相关随机误差项问自相关随机误差项问题题。 为了保证为了保证DF检验中随机误差项的白噪声检验中随机误差项的白噪声特性，特性，Dicky和和Fuller对对DF检验进行了扩充，检验进行了扩充，形成了形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验）检验。 ADF ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：模 型1： tmiitittXXX11 （ *） 模 型2： tmiitittXXX11 （ *） 模 型3： tmiitittXXtX11 （ *） 模型模型3 中的中的t是时间变量是时间变量，代表了时间序列随代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。模型时间变化的某种趋势（如果有的话）。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。势项。 检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1: 临界值，不能拒绝存临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。在单位根的零假设。 时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假不能拒绝不存在趋势项的零假设设。需进一步检验模型需进一步检验模型2 。 2）经试验，模型）经试验，模型2中滞后项取中滞后项取2阶：阶：21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90） (3.38) (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM检验表明模型残差不存在自相关性，检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。因此该模型的设定是正确的。 从从GDPt-1的参数值看，其的参数值看，其t统计量为正值，大统计量为正值，大于临界值于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。 常数项的常数项的t统计量小于统计量小于AFD分布表中的临界值分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设。不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检需进一步检验模型验模型1。 3) 3)经试验，模型经试验，模型1中滞后项取中滞后项取2阶阶： 211194. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15） (11.46) (-6.05) LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 LM检验表明模型残差项不存在自相关性，检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。因此模型的设定是正确的。 从从GDPt-1的参数值看，其的参数值看，其t统计量为正值，大统计量为正值，大于临界值，于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。不能拒绝存在单位根的零假设。 可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。时间序列是非平稳的。例例9.1.7 检验检验2.102.10中关于人均居民消费与人中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。均国内生产总值这两时间序列的平稳性。 1) 对对中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC来说，来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为：经过偿试，三个模型的适当形式分别为：模型3： 1103. 115. 036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0.75） (1.93) (-1.04) (2.31) LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 模型 2： 211425. 1040. 0652. 002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78） (3.26) (0.08) (-2.96) 43403. 1412. 0ttGDPPCGDPPC (-0.67) (-2.20) LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=10.92 模型1： 211975. 0875. 0196. 0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63） (2.61) (-2.72) LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 三个模型中参数的估计值的三个模型中参数的估计值的t统计量均大于统计量均大于各自的临界值，因此各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的不能拒绝存在单位根的零假设零假设。 结论：结论：人均国内生产总值（人均国内生产总值（GDPPC）是非）是非平稳的。平稳的。 2 2）对于）对于人均居民消费人均居民消费CPC时间序列来说，时间序列来说，三个模型的适当形式为三个模型的适当形式为 ：模型 3： 114627. 13646. 098.3423.26tttCPCCPCtCPC (-0.477) (2.175) (-1.478) (2.318) LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2： 3211027. 0655. 1508. 0545. 088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37) (3.37) (1.16) (-3.44) (-0.05) 4824. 1tCPC (-3.03) LM(1)=3.57 LM(2)= 4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 模型 1： 4321171. 108. 048. 188. 037. 0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60) (2.37) (-2.97) (0.12) (-2.68) LM(1)=1.83 LM(2)= 1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 三个模型中参数三个模型中参数CPCt-1的的t统计量的值均比统计量的值均比ADF临界值表中各自的临界值大临界值表中各自的临界值大，不能拒绝不能拒绝该时间序列存在单位根的假设该时间序列存在单位根的假设， 因此因此,可判断人均居民消费序列可判断人均居民消费序列CPC是非平是非平稳的。稳的。五、单整、趋势平稳与差分平稳随机五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程过程 随机游走序列随机游走序列Xt=Xt-1+ t经差分后等价地变经差分后等价地变形为形为 Xt= t， 由于由于 t是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此差差分后的序列分后的序列 Xt是平稳的。是平稳的。 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是就称原序列是一阶单整一阶单整（integrated of 1）序序列列，记为，记为I(1)。单整单整 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变次差分后变成平稳序列，则称原序列是成平稳序列，则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列序列，记为，记为I(d)。 显然，I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。 现实经济生活中现实经济生活中:1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等如利率等;2)大多数指标的时间序列是非平稳的，大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些如一些价格指数常常是价格指数常常是2阶单整的，以不变价格表示阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为的消费额、收入等常表现为1阶单整。阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。多次差分的形式变为平稳的。 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的非单整的（non-integrated）。例例9.1.8 中国支出法中国支出法GDP的单整性。的单整性。经过试算，发现经过试算，发现中国支出法中国支出法GDP是是1阶单整的阶单整的，适当的检验模型为：适当的检验模型为： 1212966. 0495. 025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （-5.18） (6.42) 2R=0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 例例9.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。值的单整性。 经过试算，发现经过试算，发现中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC是是2阶单整的阶单整的，适当的检验模型为：适当的检验模型为： 12360. 0ttGDPPCGDPPC （-2.17） 2R=0.2778， LM(1)=0.31 LM(2)= 0.54 同样地同样地，CPC也是也是2阶单整的阶单整的，适当适当的检验模型为：的检验模型为： 12367. 0ttCPCCPC （-2.08） 2R=0.2515 LM(1)=1.99 LM(2)= 2.36 趋势平稳与差分平稳随机过程趋势平稳与差分平稳随机过程 前文已指出，一些非平稳的经济时间序列前文已指出，一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的进行回归，尽管有较高的R2，但其结果是没有，但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称之为任何实际意义的。这种现象我们称之为虚假回虚假回归归或或伪回归伪回归（spurious regression）。 如：用中国的劳动力时间序列数据与美如：用中国的劳动力时间序列数据与美国国GDP时间序列作回归，会得到较高的时间序列作回归，会得到较高的R2 ，但，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。是虚假的。 为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。 然而这种做法，只有当趋势性变量是然而这种做法，只有当趋势性变量是确确定性的（定性的（deterministic）而非而非随机性的随机性的（stochastic），才会是有效的。才会是有效的。 换言之，换言之，如果一个包含有某种确定性趋势如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。来。 1)如果如果=1，=0，则（则（*）式成为）式成为一带位移的一带位移的随机游走过程随机游走过程： Xt=+Xt-1+t （*） 根据根据 的正负，的正负，Xt表现出明显的上升或下降表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为趋势。这种趋势称为随机性趋势（随机性趋势（stochastic trend）。考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：考虑如下的含有一阶自回归的随机过程： Xt= + t+ Xt-1+ t （*） 其中其中: t是一白噪声，是一白噪声，t为一时间趋势。为一时间趋势。2)如果如果 =0，0，则（*）式成为一带时间趋式成为一带时间趋势的随机变化过程：势的随机变化过程： Xt=+t+t （*） 根据根据 的正负，的正负，Xt表现出明显的上升或下降表现出明显的上升或下降趋 势 。 这 种 趋 势 称 为趋 势 。 这 种 趋 势 称 为 确 定 性 趋 势确 定 性 趋 势（deterministic trend）。 3) 如果如果 =1，0，则，则XtXt包含有包含有确定性与随机确定性与随机性两种趋势。性两种趋势。 判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所检验中所用的第用的第3个模型进行。个模型进行。 该模型中已引入了表示确定性趋势的时间该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量变量t，即分离出了确定性趋势的影响。，即分离出了确定性趋势的影响。因此因此： (1)如果检验结果表明所给时间序列有单位如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势列显示出随机性趋势; (2)如果没有单位根，且时间变量前的参数如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。 随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分的方法消除例如：对式：例如：对式：Xt=+Xt-1+t 可通过差分变换为：可通过差分变换为： Xt= +t 该时间序列称为该时间序列称为差分平稳过程（差分平稳过程（difference stationary process）；确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项消除通过除去趋势项消除例如：对式：例如：对式：Xt=+t+t可通过除去可通过除去 t变换为：变换为：Xt t =+t该时间序列是平稳的，因此称为该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳过程趋势平稳过程（trend stationary process）。）。 最后需要说明的是，最后需要说明的是，趋势平稳过程代表了趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的。进行长期预测则是更为可靠的。 9.2 9.2 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型一、一、时间序列模型的基本概念及其适用性时间序列模型的基本概念及其适用性二、二、随机时间序列模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性条件三、三、随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的识别四、四、随机时间序列模型的估计随机时间序列模型的估计五、五、随机时间序列模型的检验随机时间序列模型的检验说明说明 经典计量经济学模型与时间序列模型经典计量经济学模型与时间序列模型 确定性时间序列模型与随机性时间序列模型确定性时间序列模型与随机性时间序列模型一、时间序列模型的基本概念及其一、时间序列模型的基本概念及其适用性适用性1 1、时间序列模型的基本概念、时间序列模型的基本概念 随机时间序列模型（随机时间序列模型（time series modeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为来的模型，其一般形式为: Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：个问题： (1)模型的具体形式模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（机扰动项（ t = t），模型将是一个），模型将是一个1阶自回阶自回归过程归过程AR(1)： Xt=Xt-1+ t，这里，这里， t特特指指一白噪声一白噪声。 一般的p阶自回归过程阶自回归过程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)如果随机扰动项是一个白噪声如果随机扰动项是一个白噪声( t= t)，则称则称(*)式为一式为一纯纯AR(p)过程（过程（pure AR(p) process），记为记为: Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)如果如果 t不是一个白噪声，通常认为不是一个白噪声，通常认为它是一个它是一个q阶的阶的移动平均（移动平均（moving average）过程）过程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该式给出了一个纯该式给出了一个纯MA(q)过程（过程（pure MA(p) process）。 将纯将纯AR(p)AR(p)与纯与纯MA(q)MA(q)结合，得到一个一般的结合，得到一个一般的自自回归移动平均（回归移动平均（autoregressive moving average）过程过程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该式表明：该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会即它的行为并不会随着时间的推移而变化，随着时间的推移而变化，那么我们就可以通那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。过该序列过去的行为来预测未来。 这也正是随机时间序列分析模型的优势这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。所在。 经典回归模型的问题：经典回归模型的问题： 迄今为止，迄今为止，对一个时间序列对一个时间序列Xt的变动进的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为此也常称为结构式模型（结构式模型（structural model）。 2 2、时间序列分析模型的适用性、时间序列分析模型的适用性 然而，然而，如果如果Xt波动的主要原因可能是我们波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释等，则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。并建立令人满意的回归模型是很困难的。 有时，有时，即使能估计出一个较为满意的因果即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。及其预测技术就不适用了。 例如例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？ 或者时间序列显示出循环周期性行为或者时间序列显示出循环周期性行为，我们我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？ 另一条预测途径另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。 随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势的变化特征来预测未来的变化趋势。 使用时间序列分析模型的另一个原因在于使用时间序列分析模型的另一个原因在于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。 例如，例如，对于如下最简单的宏观经济模型：对于如下最简单的宏观经济模型： 这里，这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收分别表示消费、投资与国民收入。入。 Ct与与Yt作为内生变量，它们的运动是由作作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资为外生变量的投资It的运动及随机扰动项的运动及随机扰动项 t的变的变化决定的。化决定的。tttCYC12110tttICY上述模型可作变形如下上述模型可作变形如下： 两个方程等式右边除去第一项外的剩余两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项依赖于投资项It的行为。的行为。ttttICC1111011211111tttttIIYY11121101121111111 如果如果It是一个白噪声是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均阶的自回归移动平均过程过程ARMA(1,1)。二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件 自回归移动平均模型（自回归移动平均模型（ARMA）是随机时）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。）是它的特殊情况。 关于这几类模型的研究，是关于这几类模型的研究，是时间序列分析时间序列分析的重点内容的重点内容：主要包括主要包括模型的平稳性分析模型的平稳性分析、模模型的识别型的识别和和模型的估计模型的估计。 1 1、AR(p)AR(p)模型的平稳性条件模型的平稳性条件 随机时间序列模型的平稳性随机时间序列模型的平稳性，可通过它所可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断生成的随机时间序列的平稳性来判断。如果如果一个p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳生成的时间序列是平稳的，就说该的，就说该AR(p)模型是平稳的。模型是平稳的。 否则，就说该否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。模型是非平稳的。 考虑考虑p阶自回归模型阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*)引入引入滞后算子（滞后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p( (* *) )式变换为式变换为： (1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 记(L)= (1-1L- 2L2- - pL p ),则称多项式方则称多项式方程：程： (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0为为AR(p)的的特征方程特征方程(characteristic equation)。 可以证明，如果该特征方程的所有根在可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于单位圆外（根的模大于1），则），则AR(p)模型是模型是平稳的。平稳的。 例例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。模型的平稳性条件。对对1阶自回归模型阶自回归模型AR(1)tttXX1方程两边平方再求数学期望，得到方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差：的方差：)(2)()()(122122tttttXEEXEXE 由于由于Xt仅与仅与 t相关，因此，相关，因此，E(Xt-1 t)=0。如。如果该模型稳定，则有果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式，从而上式可变换为：可变换为：22201X在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 |1。 而而AR(1)的特征方程：的特征方程：01)(zz的根为：的根为： z=1/ AR(1)稳定，即稳定，即 | | 1，意味着特征根大于，意味着特征根大于1。例例9.2.2 AR(2)模型的平稳性。模型的平稳性。 对对AR(2)模型：模型： ttttXXX2211方程两边同乘以方程两边同乘以XtXt，再取期望得：，再取期望得： )(22110ttXE又由于：又由于：222211)()()()(tttttttEXEXEXE于是于是： 222110同样地，由原式还可得到同样地，由原式还可得到：0211212011于是方差为于是方差为 ：)1)(1)(1 ()1 (21212220 由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有数，于是有 1+ 21, 2- 11, | 2|1 这就是这就是AR(2)的平稳性条件的平稳性条件，或称为平稳域平稳域。它是一顶点分别为（它是一顶点分别为（-2,-1），（），（2,-1），（），（0,1）的三角形的三角形。 2 (0,1) 1 (-2, -1) (2, -1) 图图 9.2.1 AR(2)模模型型的的平平稳稳域域 对应的特征方程对应的特征方程1-1- 1 1z-z- 2 2z z2 2=0=0 的两个根的两个根z z1 1、z z2 2满足：满足： z z1 1z z2 2=-1/=-1/ 2 2 , , z z1 1+z+z2 2 =-=- 1 1/ / 2 2 ttttXXX2211AR(2)模型模型：解出解出 1 1， 2 2：2121zz21211zzzz 由由AR(2)的平稳性，的平稳性，| 2 2|=1/|z z1 1|z|z2 2|1，有：，有：1)11)(11 (112121212121zzzzzzzz0)11)(11 (21zz于是于是| z z2 2 |1。由。由 2 2 - - 1 1 1可推出同样的结果。可推出同样的结果。 对高阶自回模型对高阶自回模型AR(p)来说来说，多数情况下没多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p)模型稳定的必要条件是模型稳定的必要条件是： 1+2+p1 (2)(2)由于由于 i i(i=1,2,(i=1,2,p)p)可正可负可正可负，AR(p)模模型稳定的充分条件是：型稳定的充分条件是： |1|+|2|+|p|1 对于移动平均模型对于移动平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中其中 t是一个白噪声，于是：是一个白噪声，于是： 2、MA(q)模型的平稳性模型的平稳性 0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1 (varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX 当滞后期大于当滞后期大于q时，时，XtXt的自协方差系数为的自协方差系数为0。因此因此: :有限阶移动平均模型总是平稳的有限阶移动平均模型总是平稳的。 由于由于ARMA (p,q)模型是模型是AR(p)模型与模型与MA(q)模型的组合：模型的组合：Xt= 1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性 而而MA(q)模型总是平稳的，因此模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平稳