热点总与强化训练二

热点总结与强化训练(二)潘瑜热点热点1 1 三角恒等变换三角恒等变换 1.1.本热点在高考中的地位本热点在高考中的地位 三角恒等变换是每年高考必考的一个知识点，是综合考查三三角恒等变换是每年高考必考的一个知识点，是综合考查三角函数的图象性质、三角恒等变换的技巧方法的重要载体，其中角函数的图象性质、三角恒等变换的技巧方法的重要载体，其中利用三角关系式、恒等式化简函数解析式，进一步研究函数性质利用三角关系式、恒等式化简函数解析式，进一步研究函数性质是高考热点是高考热点. . 2. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度本热点在高考中的命题方向及命题角度. . 从高考来看，对三角恒等变换的考查，主要有以下几种方式：从高考来看，对三角恒等变换的考查，主要有以下几种方式： (1)(1)填空题中，利用三角恒等变换化简求值或求角填空题中，利用三角恒等变换化简求值或求角. . (2) (2)解答题中，利用三角恒等变换化简函数解析式，进而研解答题中，利用三角恒等变换化简函数解析式，进而研究函数究函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )的有关性质的有关性质. . (3) (3)解答题中，与正、余弦定理结合，解三角形解答题中，与正、余弦定理结合，解三角形. . (4) (4)解答题中，往往与平面向量相结合解答题中，往往与平面向量相结合. . 1. 1.两角和两角和( (差差) )的正弦、余弦、正切公式：的正弦、余弦、正切公式： sin(sin()=sincos)=sincoscossincossin cos( cos()=coscos)=coscossinsinsinsin tan( tan()=)=tantan1tan tan 2. 2.二倍角公式二倍角公式: : sin2=2sincos sin2=2sincos cos2=cos cos2=cos2 2-sin-sin2 2=2cos=2cos2 2-1=1-2sin-1=1-2sin2 2 tan2= tan2= 3. 3.公式的逆用和变形用：公式的逆用和变形用： asin+bcos= asin+bcos= 其中其中tantan= = cos cos2 2= sin sin2 2=22tan1tan22ab sin() ，bacos2121 cos22 本专题中，公式的灵活应用至关重要，在备考时，要加强本专题中，公式的灵活应用至关重要，在备考时，要加强对公式的记忆，弄清各公式之间的联系和区别，注意角的配凑对公式的记忆，弄清各公式之间的联系和区别，注意角的配凑技巧，如技巧，如 等等. .2()()()22222 1.(20111.(2011北京高考北京高考) )已知函数已知函数f(x)=f(x)=(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期；的最小正周期；(2)(2)求求f(x)f(x)在区间在区间 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)先把先把 展开，再降幂化简；展开，再降幂化简；(2)(2)求出角的范围是解题的关键求出角的范围是解题的关键. . 4cosxsin(x) 1.6,6 4 sin(x)6【解析】【解析】(1)(1)因为因为f(x)=f(x)=所以所以f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为.4cosxsin(x) 162314cosx(sinxcosx) 1223sin2x2cos x13sin2xcos2x312(sin2xcos2x)222sin(2x)6(2)(2)因为因为 所以所以于是，当于是，当 即即x= x= 时，时，f(x)f(x)取得最大值取得最大值2 2；当当 即即x= x= 时，时，f(x)f(x)取得最小值取得最小值-1.-1.x,6422x.6632x62，62x,66 62.(20112.(2011江西高考江西高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别是的对边分别是a,b,c,a,b,c,已知已知sinC+cosC=1-sinC+cosC=1-(1)(1)求求sinCsinC的值；的值；(2)(2)若若a a2 2+b+b2 2=4(a+b)-8,=4(a+b)-8,求边求边c c的值的值. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)先利用倍角公式把先利用倍角公式把sinC,cosCsinC,cosC用用 表示，表示，再利用再利用 =1-sinC=1-sinC求解；求解；(2)(2)由由a a2 2+b+b2 2=4(a+b)-8=4(a+b)-8求求a,ba,b，再利用余弦定理求解再利用余弦定理求解. .Csin.2CCsin,cos222CC(sincos)22【解析】【解析】(1)(1)已知已知sinC+cosC=1-sinC+cosC=1-整理即有：整理即有：又又C C为为ABCABC中的角，中的角，Csin22222CCCCCCC2sincoscossincossinsin22222222CCCC2sincos2sinsin02222CCCsin(2cos2sin1)0222Csin022CC1CC1sincos(sincos)222224131 sinCsinC.44，(2)a(2)a2 2+b+b2 2=4(a+b)-8=4(a+b)-8aa2 2+b+b2 2-4a-4b+4+4=0-4a-4b+4+4=0(a-2)(a-2)2 2+(b-2)+(b-2)2 2=0=0a=2,b=2,a=2,b=2,又又cosC=cosC=c=c=271 sin C,4 22ab2abcosC71.3.(20113.(2011湖南高考湖南高考) )在在ABCABC中，角中，角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c且满足且满足csinA=acosC.csinA=acosC.(1)(1)求角求角C C的大小；的大小；(2)(2)求求 的最大值，并求取得最大值时角的最大值，并求取得最大值时角A,BA,B的大的大小小3sinAcos(B)4【解析】【解析】(1)(1)由正弦定理得由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.sinCsinA=sinAcosC.因为因为0A,0A0.sinA0.从而从而sinC=cosC.sinC=cosC.又又sinC0,sinC0,所以所以cosC0,cosC0,所以所以tanC=1,tanC=1,则则C=C=.4(2)(2)由由(1)(1)知知B= B= 于是于是从而当从而当即即A= A= 时，时， 取最大值取最大值2 2综上所述，综上所述， 的最大值为的最大值为2 2，此时，此时A= B=A= B=3A.43sinAcos(B)3sinAcos(A)43sinAcosA2sin(A).63110A,A,46612A,6232sin(A)63sinAcos(B)4,35.124 4已知函数已知函数f(x)=2cos2x+sinf(x)=2cos2x+sin2 2x-4cosx.x-4cosx.(1)(1)求求 的值；的值；(2)(2)求求f(x)f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值. .f( )3【解析】【解析】(1)(1)(2)f(x)=2(2cos(2)f(x)=2(2cos2 2x-1)+(1-cosx-1)+(1-cos2 2x)-4cosxx)-4cosx=3cos=3cos2 2x-4cosx-1x-4cosx-1因为因为cosxcosx-1,1-1,1, ,所以，当所以，当cosx=-1cosx=-1时，时，f(x)f(x)取最大值取最大值6 6；当当 时，时，f(x)f(x)取最小值取最小值22f( )2cossin4cos333331914.424 2273(cosx),xR332cosx37.35.5.ABCABC的面积是的面积是3030，内角，内角A,B,CA,B,C所对边长分别为所对边长分别为a,b,ca,b,c，cosA=cosA=(1)(1)求求(2)(2)若若c-b=1c-b=1，求，求a a的值的值. .【解析】【解析】由由cosA= cosA= 得得sinA=sinA=又又 bc=156.bc=156.(1)(1)(2)a(2)a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA=(c-b)-2bccosA=(c-b)2 2+2bc(1-cosA)=1+2+2bc(1-cosA)=1+2156156 a=5. a=5.12.13AB AC ；1213，21251 ().13131bcsinA302，12AB ACbccosA156144.13 12(1)25,136.6.在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别为内角分别为内角A A、B B、C C的对边，且的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)(1)求求A A的大小；的大小；(2)(2)若若sinB+sinC=1sinB+sinC=1，试判断，试判断ABCABC的形状的形状. .【解析】【解析】(1)(1)由已知，根据正弦定理得由已知，根据正弦定理得2a2a2 2=(2b+c)b+(2c+b)c=(2b+c)b+(2c+b)c，即即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2+bc+bc由余弦定理得由余弦定理得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA故故cosA= A=120cosA= A=120(2)(2)由由(1)(1)得得sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C+sinBsinC.C+sinBsinC.又又sinB+sinC=1sinB+sinC=1，得，得sinB=sinC=sinB=sinC=因为因为0 0B90B90,0,0C90C90, ,故故B=CB=C所以所以ABCABC是等腰的钝角三角形是等腰的钝角三角形. .1,212热点热点2 2 平面向量的数量积平面向量的数量积 1.1.本热点在高考中的地位本热点在高考中的地位 平面向量的数量积是平面向量应用的主要体现，在高考中平面向量的数量积是平面向量应用的主要体现，在高考中对本部分知识的考查主要集中在数量积的计算，应用数量积求对本部分知识的考查主要集中在数量积的计算，应用数量积求角、求距离角、求距离( (模模) )上，常以填空题的形式出现，难度不大上，常以填空题的形式出现，难度不大. . 2. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度本热点在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对平面向量数量积的考查主要有以下几种方从高考来看，对平面向量数量积的考查主要有以下几种方式：式： (1)(1)数量积的计算：主要有两种：图形中计算数量积的计算：主要有两种：图形中计算ab= =| |a|b|cos(|cos(为为a与与b的夹角的夹角) )；坐标形式计算；坐标形式计算ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2( (其其中中a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2).). (2) (2)利用数量积求角：考查利用数量积求角：考查 的应用的应用. . (3) (3)利用数量积求模：利用数量积求模：| |a| |2 2= =aa. . (4) (4)与三角函数、解三角形结合与三角函数、解三角形结合. .cos| a ba b 1. 1.数量积的定义：设数量积的定义：设a与与b的夹角为的夹角为，则，则ab=|=|a|b|cos|cos，其几何意义为其几何意义为| |a| |与与| |b| |在在a方向上的投影的积，满足交换律和数方向上的投影的积，满足交换律和数乘结合律、分配律乘结合律、分配律. . 2. 2.数量积的运算：向量形式下，关键是确定数量积的运算：向量形式下，关键是确定| |a| |，| |b| |及及a与与b的夹角的夹角. .坐标形式下，是对应坐标乘积的和坐标形式下，是对应坐标乘积的和. . 3. 3.数量积的应用：把定义式变形，可得数量积的应用：把定义式变形，可得cos=cos=|，a ba b|0.，aa aaba b 在备考中要理解数量积的概念和运算法则，把握数量积的在备考中要理解数量积的概念和运算法则，把握数量积的几何意义，掌握数量积在解决垂直、夹角、长度等方面的应用，几何意义，掌握数量积在解决垂直、夹角、长度等方面的应用，并且加强对数量积与直线、三角函数、圆锥曲线、数列等知识并且加强对数量积与直线、三角函数、圆锥曲线、数列等知识的综合问题的训练的综合问题的训练. .1.(20111.(2011安徽高考安徽高考) )已知向量已知向量a，b满足满足( (a+2+2b) )( (a- -b)=)=6 6，且，且| |a|=1|=1，| |b|=2|=2，则，则a与与b的夹角为的夹角为_._.【解题指南】【解题指南】由由( (a+2+2b) )( (a- -b)=)=6 6，且，且| |a|=1|=1，| |b|=2|=2，求出，求出ab是解答本题的关键是解答本题的关键. .【解析】【解析】因为因为( (a+2+2b) )( (a- -b)=-6)=-6，所以，所以a2 2+ +ab-2-2b2 2=-6,=-6,即即1 12 2+ +ab-2-22 22 2=-6,=-6,所以所以ab=1,cos=1,cosa，b= = 故故a, ,b=60=60. .答案：答案：60601,| |2a bab2.(20112.(2011江西高考江西高考) )已知两个单位向量已知两个单位向量e1 1，e2 2的夹角为的夹角为 若向量若向量b1 1= =e1 1-2-2e2 2，b2 2=3=3e1 1+4+4e2 2，则，则b1 1b2 2=_.=_.【解题指南】【解题指南】把把b1 1，b2 2直接代入计算直接代入计算b1 1b2 2. .3，【解析】【解析】b1 1b2 2=(=(e1 1-2-2e2 2) )(3(3e1 1+4+4e2 2) )=3=3e1 12 2-2-2e1 1e2 2-8-8e2 22 2=3-2=3-21 11 1答案：答案：-6-6cos86.3 3.(20113.(2011大纲版全国卷大纲版全国卷) )设向量设向量a，b, ,c满足满足| |a|=|=|b|=1|=1，ab= =a- -c, ,b- -c=60=60, ,则则| |c| |的最大值等于的最大值等于( )( )【解析】【解析】选选A.A.如图，构造如图，构造 BAD=120BAD=120,BCD=60,BCD=60, ,所以所以A A、B B、C C、D D四点共圆，四点共圆，可知当线段可知当线段ACAC为直径时，为直径时，| |c| |最大，最大值为最大，最大值为2.2.1,2(A)2(B) 3(C) 2(D)1AB, aAD,AC, bc4.4.若向量若向量a=(1,1)=(1,1)，b=(2=(2，5)5)，c=(3=(3，x)x)满足条件满足条件(8(8a- -b) )c=30=30，则则x=( )x=( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3(A)6 (B)5 (C)4 (D)3【解析】【解析】选选C.8C.8a- -b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，所以，所以(8(8a- -b) )c= =(6,3)(6,3)(3,x)=30.(3,x)=30.即：即：18+3x=30,18+3x=30,解得：解得：x=4x=4，故选，故选C.C.5.(20125.(2012广州模拟广州模拟) )在四边形在四边形ABCDABCD中，中， 则四边形则四边形ABCDABCD的面积是的面积是_._.ABDC(1,1), 113BABCBD|BA|BC|BD| ，【解析】【解析】 表示与表示与 同向的单位向量同向的单位向量. .又又BDBD为为ABCABC的平分线的平分线四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形. .其边长为其边长为 且对角线且对角线BDBD等于边长的等于边长的 倍，倍，即即BD=BD=BA|BA| BA 113BABCBD|BA|BC|BD| ，2,36.所以所以cosBAD=cosBAD=故故sinBAD=sinBAD=答案答案: :2261,2222 3,22ABCD3S( 2)3.236.6.已知平面向量已知平面向量 则则 的值的值是是_._.【解析】【解析】由题意可知由题意可知 结合结合 解得解得所以所以 开方可知答案为开方可知答案为答案：答案：, ,| 1,| 2,(2 ), |2| 20， 2|1 ， 12， 222|2|4442410， 10.107.7.如图，在如图，在ABCABC中中,ADAB,ADAB, 则则【解析】【解析】由已知得：由已知得：答案：答案：BC3BD, |AD| 1, AC AD_. AC AD(ABBC) AD AB ADBC AD 203(BAAD) AD3 |AD|3. 3